Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 37
Текст из файла (страница 37)
у каа(гяннаты тачек М («,у ) и М,(«,,у,) Каэффнцнентм «„у, Опрсдаопат точгм на ююрдвпатпых осях, через ые ходят Упювой коэффвпуипт к, Ь=гва, Окасп, а С-; Уев 2' ардвната точим пересечения прямой а осью ординат с серединным перпендикуляром к отрезку АВ (направление на оси ординат выбирается так, чтобы система координат была правой, хотя для ртпениа задачи зто не важно). Обозначим через 2а>0 длину отрезка АВ, тогда точкиА и В имеют координаты А(-а,О) и В(а, 0). Пусть М(х,у) произвольная точка искомого множества.
По условию задачи МА -МВ = с или МВ -МАг =с. Зашппем равенство МА — МВ = 1 с в координатной фор- т ме: (х-(-а))г+(у-0)г-(х — а)г-(у-0)г =хе. Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем хс у 4ах=хс еэ х= —. 4а (х, у) Это уравнение определяет пару прямых, х перпендикулярных оси абсцисс (нли ось с А а В с ординат при с=О). Следовательно, иско4а 4а мое геометрическое место точек — сере- динный перпендикуляр к отрезку, соедиРнс3.29 лающему заданные точки (при с = 0 ), или два перпендикуляра х= — ' и х= — — ' к 4е 4е прямой, проходящей через заданные точки.
° Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов по уравнениам образующих нх прямых. 1. Расстояние Ы ож точки М'(х',у ) до прямой А х+В у+С=О еычислненин по фо)ьиуле: )А.х'+В.у'+С И— ~Аг+ Вг 2 Расстояние между параллельными прямыми А х+В ° у+С =0 и А х+В .у+С =0 находюнся как расстояние И от точки М (х,у ), координаты которойудоелетеоряют~уаенению Аг х +В .у +С =О, до %~ямой А,.х+В, у+С, =0 по формуле: (г аз~в,,у,сс~~,~ ,Дг+В1 Ф Ф 3.
Осгнрый угол ~р между двумя прямыми 1, и 1 находится но форл0 а, 'аг+Ь~ 'Ьг — т ,если Р~ =а,.1+Ь|'3 и Рз =аз.г+Ьз зч— 2 2 2 2 а) сезар= наяривающие векторы нрямых 1, и 1 соответственно (в случае задания прямых каноническими или параметрическими ура внениями); й,=А !+В, у б) сезар= если и ЗЯз+Вз ЗЯ+В~ йз = Аз за+ Вз ~ч — ноуаиии к нРЯмым 1, и 1з соответственно (вслУчаезадания прямых общими уравнениями); в) тбир=, если К, =тйа, и )~ =(йа -уаювые коэффициен- ) 1+й, кз ты нрямых 1 и 1 соответственно (в случае задания прямых уравнениями с угловыми коэффиииенниьии).
При решении задач свойства 1-3 используются наряду с метрическнми приложениями векторной алгебры (см. равд.1.6.2). Пример 3.16. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найти расстояние от точки пересечения медиан до центра вписанной в треугольник окружности. П Пусть АВС вЂ” заданный треугольник с катетами АС=9 см и ВС=12 см. Введем прямо- О с угольную систему координат Сху (рис.3.30): начапо координат совпадает с вершиной прямого угла треугольника АВС; ось абсцисс содержит катет 1 АС (г ТТ СА), ось ординат — катет ВС (уТТСВ).
Тогда вершины треугольника вмеют О координаты А(9,0), В(0,12) С(0,0). По коорди- 9 х натам вершин треугольника находим координаты Рис.330 точки М пересечения его медиан: М( — з — ", " 'з+ ), т.е. М(З. 4) (см. разд.2.1.1). Найдем юординвты центра О вписанной окружности. Поскольку центр принадлежит биссектрисе 1 прямого угла, уравнение которой у = х, то абсцисса и ордината точяи О равны, т.е. О(г, г), где г — радиус вписанной окружности. Выразим радиус г как расстояние от точки О до гипотенузы АВ. Уравнение прямой, содержашей гипотенузу, имеет вид х у -+ — =1.
9 12 Это уравнение прямой "в отрезках". Запишем его как общее уравнение прямой ф+,г -1=0, и по свойству 1 выразим расстояние от точки О до л+ г гипотенузы: г= . Отсюда г= — ее 15 ° г=~ 21 г — 108~, 9 12 [ г(. -(аз[ ИИ т.е. г =3 (радиус вписанной окружности) или г =18 (радиус вневписанной окружности с центром О,, касающейся гипотенузы). Следовательно, точка О имеет координаты О[3, 3). Осталось найти искомое расстояние ом =Дз-з~+(~-зг =1. ° сыстнвзы лннкйных углнннннй с днувгн нкнзнкспгывпг Сисшаией и лиивйиых алгебраических уравнений с двуми ивизввсшими» называется система уравнений вида й„«( + а(з «з = Ь,, йы «(+йп «з Ьз (3.26) й ( х,+а з хз=Ь Числа йв, 1 = 1,...,ш, 7' = 1,2 называются коз(р(рицивишами система; Ь(, Ьз,..., Ь„- свебедиыми членами, х,, «з — ивизввсюиыми (см. равд.П.10, а также [101). Рвизвиивм системы называется упорядоченная пара чисел [а,,а ) такая, что после замены неизвестных х,, хз соответственно числами а(,с(з каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.
Система называется свеивсшией, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется ивсвемвсшией. Система (3.26) называется едиередией, если все свободные члены равны нулю: ан «,+йз «а =О, йи «,+йж ха =О, (3.27) йщ('«(+йчз'ха =О. В отличие от однородной, систему общего вида (3.26) называют неоднородной. Систему (3.26) принято записывать в матричной форме. Для этого из коэффициентов системы составляем матрицу сис1немы ап а,з н1 ю2 свободные члены записываем в сталбец свободных членов Ь = а неизвестные — в сннтбец неизаестнмх х = 2 =( 3 Блочная матрица (А ~ Ь)= а11 а!2 называется расширенной анз матрицей системы (3.26).
Рассматривается случай, когда все уравнения системы первой степени, т.е. коэффициенты при неизвестных ка2кдого уравнения не равны нулю одновременно. Поэтому матрица А системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые. В соответствии с матричной записью решением системы (3.28) называ- 1!2,1 ется столбец х = ', при подстановке которого в (3.28) получаем верное Ы равенство для столбцов в левой и правой частях. В частности, нулевой столбец о является решением однородной системы (3.29), т.е. любая однородная система уравнений совместна. Рангом системы уравнений (3.26) называется ранг матрицы А системы: г =гйА, т.е.
максимальное число линейно независимых строк матри- 239 Матричная занись неоднородной системы уравнений (3.26) имеет внд Ах=Ь, (3.28) а однородной: Ах=о, (3.29) где символ о в правой части обозначает нулевой столбец размеров тх1! цы А (максимальное число линейно независимых уравнений системы). Поскольку матрица системы (3.26) ненулевая и содержит два столбца, то ее ранг г =гйА ь 2.
Ранг может быть равен либо единице (г =1, если все строки матрицы А пропорциональны), либо двум ( г = 2, если имеются две линейно независимые строки). Выясним геометрический смысл и свойства решений системы уравнений (3.26). Пуси. на плоскости задана аффинная система координат Ох,х . Как показано в разд.3.2.1, множеспю точек Х (х, „х ), координаты которых удовлетворяют линейному уравнению с двумя неизвестными а, х, +ад з = Ь,, или ап х, +ам х -Ь, =О, представляет собой прямую. Поэтому множество решений системы уравнений является пересечением прямых ап х,+ам х -Ь,=О, 1=1,...,ю.
Рассмотрим примеры пересечения прямых. Если ранг системы (3.26) равен 1, то коэффициенты прн неизвестных всех уравнений пропорциональны. В этом случае любые две прямые параллельны (система уравнений несовместна (рис.3.31,а)) или совпадают (в этом случае вся система (3.26) равносильна одному, например, первому ее уравнению (рис.3.31,6)). Если ранг системы равен 2, то в системе имеются хотя бы два линейно независимых уравнения. Прямые, соответствующие этим уравнениям, пере- секаютсЯ, напРимеР, в точке Хо(хю,х,). ПоэтомУ множество Решений системы (3.26) либо одна точка (система совместна, все прямые проходят через точку Хо, т.е. все прямые принадлежат собственному пучку прямых (рис.3.31,в)), либо пусто (сисгема несовместна (рис.3.31,г)).
1г 2 Г .З.З1 Для решения системы (3.26) обычно применяется завлод Гаусса исключения неизвестных (10), при котором уравнения системы заменяются линейными комбинациями уравнений (см.разя.3.2.5), содержащими меньшее количество неизвестных, при этом расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду. Продемонстрируем этот метод на примере. Пример 3.17. Решип системы уравнений х +22 =3, х,-4х =-3, г) х-2х = — 1; 2 х,— 2х =1, 2х,-4х =2, в) -х,+2х = — 1; 2 Пзобразнть множество решений на координатной плоскости Ох,хг.
П а) Составляем расширенную матрицу системы (А ~ Ь)= ПосколькУ ац =1еО (элемент ац — ведУщий), пРибавим ко втоРой н к третьей строкам первую, умноженную на (-2) н на (-1) соответственно: 2 - 0 0 (А ~ Ь)= Последюш строка соответствует уравнению 0 х, +О.хг — — — 2, которое не имеет решений.
Следовательно, множество решений системы пустое (прямые, задаваемые уравнениями системы, изображены на рис.3.31л). б) Составляем расширенную матри505 системы (А ~ Ь)= Поскольку ац — — 1550 (элемент ац — ведущий), прибавим к третьей строке первую, а ко второй- первую, умноженную на ( — 2): (А ~ Ь)= 1 — 2 0 0 0 0 Система равносильна одному уравнению х — 2х =1. Множество ее решении представляет собой прямую на координатнои плоскости Ох,х . Координаты любой точки этой прямой удовлетворяют системе уравнений, следовательно, система имеет бесконечно много решений (рис.3.31,б). в) Составляем расширенную матрицу системы (А ~ Ь)= 1 2 1 -4 1 -2 16 — 5550 х -2х =1, 5 2 а) 2х, -4хг 2' б) х,-2х = — 1; 2 1 -2 2 — 4 -1 2 3 1 — 2 2 -4 1 -2 1 -2 2 -4 1 -2 1 — 2 2 -4 -1 2 3 3 3 х, +2хг =3, х,-4х = — 2, 2 х -2х = — 1. г Поскольку ац =1аО (злемент ац — ведущий), прибавим ко второй и к третьей строкам первую строку, умноженную на (- 1): (А ) Ь)= 1 2 1 2 1 — 4 1 -2 0 -6 0 — 4 Разделим вторую строку на (- 6), а затем к первой и третьей строкам прибь вим вторую, умноженную на (-2) и на 4 соответственно: (А ) Ь)- ')-( 1 2 0 -6 0 — 4 Подучили единственное решение х, =1, х =1, которому соответствует точка Хе(1, 1) на координатной плоскости (рис.3.31,е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
