Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В частности, равносильные уравнения, описывающие одно и то же геометрическое место точек, получаются при тождественных алгебраиче- ских преобразованиях равенств, например, при умножении обеих частей уравнения на отличное от нуля число, при приведении подобных членов, при переносе членов из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный и т.п. Полученные соотношения, сводящие операции с множествами на плоскости к алгебраическим операциям с уравнениями зтнх геометрических мест точек, не зависят от выбора системы координат. Например, в прямо- угольной системе координат Оху аналогичные соотношения получаем, по- лагая х, =х, х = у, а в полярной системе координат Опр при х, =г, Х2 ~ф.
203 3.1.2. Параметрические уравнения геометрическая мест точен (3.3) Функциональная зависимость между координатами точек плоскости, например в прямоугольной системе координат Оху, может быть задана в лараметрической фо)ьне, в которой обе координаты выражаются в виде функций вспомогательной переменной, называемой ларамелграм: с х= у(г), у=а(г), где г — параметр, принимающий действительные значения. Систему (3.3) называют параметрическим уравнением геометрического места точек. Пример 3.4. Изобразить на координатной плоскости Оху (в прамо- угольной системе координат) множества точек, координаты которых удов- лепюряют следующим параметрическим уравнениям: х = созг, ~ х=г — зюг, ~ х=соз г, з а) ' б) ' в) у=ешь; ( у =1-созг; 1 у=аюдаг.
П а) Исюпочим из заданной системы уравненнй параметр г. Возведя обе части каждого уравнения в квадрат и сложив почленно результаты, по- лучим уравнение окружности х + у =1 (см. пример 3.1,г). Параметром г служит величина угла поворота радиус-вектора изображающей точки, изме- ряемого от положительного направления оси абсцисс (рис.3.4,а). б) Уравнения задают циклвнду — линию, которую описывает точка, принадлежащая окружности при качении этой окружности (без проскальзы- вания) по прямой (оси абсцисс).
Построение одной арки цнююнды выполня- ется по точкам при 0 < г ь 2п. Затем зта арка "переносится" вдоль оси абс- цисс (рис.3.4,б). Параметром г служит величина угла поворота радиуса катящейся окружности. б Риаз.4 в) Уравнения задают асюролду (гнвоциклонду) — линию, которую описывает точка, принадлежащая окружности при качении этой окружности (без проскальзывания) по другой неподвижной окружности, касаясь ее внутренним образом. Астроида и обе окружности изображены на рис.3.4,в (астроида полужирной линией, неподвижная окружность сплошной, а подвижная — пприховой).
Построение выполняется по точкам при О<з < я, а затем продояжастся свммстрвЧНО Координатным ОСЯМ. ° 3.1З. Алгебраические уравнении ливий иа плоскости Напомним. что многочленам стенени п одной юмраненной х назы- вается выражение вида р(х)=а„х" +а„,.х" '+...+а, х+а, где а, а,,..., а„— действительные числа (коэффициенты многочлена), а„а Π— старший коэффициент, а„— свободнэгй член. Степень много- члена обозначается бей р(х) = н. Многочленвт двук нераненнмх х,, х называется выражение вида р(х, х )=а, х,' х'+а .х 2.з г+ +а .х .х.' где а,,а,...,а — действительные числа (коэффициенты мнегочлена), 1,,...,к, 1,,...,! — целые неотрицательные числа Число бейр(хт,х )= (1,+1,;1 ь1~;...;1 +( Алгебраической линией на нлоекости называется множество точек, которое в какой-либо аффивной системе координат Ох,х может быть зада- но уравнением вида (3.4) где р(х,х ) -многочлен двух переменных х,,хз.
Уравнение вида (3.4) нажвается аягеераичвским уравнением с двумя неизвестным». Стененьт Лнинения (3.4) называется степень многочлена р(х,,хз). Одна и та же линия может быть задана уравнением вида (3.4) с многочленами разных степеней. Порядком алгебраической ливии называется наименьшая из степеней зтнх многочленов.
Всякую неалгебраическую линию называют трансцендентной. В примере 3.1л,б.в.г,е — линии алгебраические: а — первого порядка, б,в,г,е — второго порядка. Примером трансцендентной ливии служит синусоида, т.е. график функции у=мах. Эту пению нельзя задать уравнением вида (3.4). Теорема 3.1 (об иивариантиостн порядка алгебраической иннин). Если в некоторой аффинной системе координат на плоскости линия задана уравнением (3.4), то и в любой другой аффинной системе координат эта линия задается уравнением того же вида (3.4) и той же стенени. Действительно, пусть в аффинной системе координат Ое, е уравнение имеет вид (3.4): а х' х'+а х' х'+...+а х," хг" =О.
1 ! е 1 2 2 1 2 Получим уравнение этой линии в другой (новой) аффинной системе коор- Р l динат 0 е, е . Старые координаты точки связаны с новыми ее координатами выражениями (2.8): ! Ф Х! = 31 +Х11 Х1+згг Хг, Р Хг 2 2 «1 22 2 ' где з,,з — координаты вектора переноса начала координат з =00, а АЗ!1 З12 зп, з,, зг,, з — элементы матрицы перехода Я от старого !~~ +(~ ) 21 22 базиса (е)=(е, ег) к новому (е )=(е, е ). Подставим эти выражения в одночлен а, хх! 2А: й 1, ! ! / а1'х! '«г =а!'(з1+зп'«!+в!2'хгl '(зг+зг!'х1+згг'хг/ .
Ф Р Раскрывая скобки, получаем многочлен двух переменных х,, х, степень которого не больше, чем (х! +1,). Аналогичные многочлевы получим из других одночленов, входящих в левую часп (3.4). Сложив эти многочле1г г! ны, получим многочлен р(х,,х )!, степень которого не превосходит степени исходного многочлена р(х,, хг): бей р < бек р .
Таким образом, при замене системы координат порядок алгебраической линии не увеличивается. Но он не может и уменьшиться, так как если порядок уменьшится при переходе к новой системе координат, то он должен увеличиться при обратном переходе к старой системе координат. Следовательно, порядок алгебраической линии остается неизменным в любой аффниной системе координат (говорят, что порядок алгебраической линии является ннвврнаншам). Теорема доказана. В аналитической геометрии на плоскости изучаются: — аяеебранческне линни нерва!о норядка, описываемые алгебраическим уравнением первой степени с двумя неизвестными: а, х,+аг хг+аз— - О; — аяеебранчеекне линни вшорвго нарядна, описываемые алгебраическим уравнением второй степени с двумя неизвестными: 2 2 а, х, +аг х1 хг+аз «2+ах.«!+аз.«2+не=О.
Замечания 31. 1. Теорема 3.! фактически выражает свойство многочленов: нри линейной невырохсденной замене переменных 206 Р / г!+г!!'х!+г!з'хг ° „„+б „' ха=гз+гз! х!+гзз хз, ~г! ~х!! г!2 где г= ), Я= , пегб и О, ствнень многочггна р(х,х ) не из~гз ~гз! «22~ меняется. Действительно, преобразование уравнения р(х,, х ) = 0 при переходе от одной системы координат к другой соответствует линейной невырожденной замене переменных х,,х многочлена р(х,,х ) в левой части уравне- 2.
Алгебраическое уравнение (3.4) может не иметь действительных решений. Например, на плоскости Ох,х нег точек, координаты которых удовлетворяют уравнению х, +«э+1=0. Однако в области комплексных чисел, согласно основной теоремы алгебры (3,8,10), любое алгебраическое уравнение имеет решения. Поэтому каждое алгебраическое уравнение (3.4) р(г!,гз)=0, где г, =х,+! у!пС, «э =х +! у нС, задает некоторую алгебраическую линию на двумерной комплексной плоскости Сз (см. п.2 замечаний 2.9). Если все точки этой линии вещественные (действительные), т.е. г, = х,, гз = «з, а у, = уз = О, то линию называют вв!Пвстввниой (двйсюнвтнвлыюй). В противном случае линию называют мнимой.
3. Алгебраическими нвраввнснюаин с двумя неизвестными называются неравенства вида р(х„х )аО, р(х„х )<О, р(х,,х )>О, р(х,х )<О, где р(х,,х ) — многочлен двух переменных х,, х . Стенанью аягвбраичвского ивраввисюнаа называется степень многочлена р(х„х ). 4. Многочлены первой степени и алгебраические уравнения (неравенсп!а) первой степени называются линейными. 5. Многочлен второй степени Р(х,, хз) = ап х, + 2 а!з х, «~ + аэз хз + 2 а, х! + 2 !~ . хз + ао 2 2 называется также квадратичной функцией двух нвреивниых; многочлен ап.ха+2.а, х, «+а .хз называетсЯ квадРаюннчной фобаюй (кват!атнчной частью функции), многочлен а, х,+а х — линейной формой (линейной частью функции), коэффициент ас — свободиааи членом. По сравнению со стандартной записью многочлена некоторые коэффициенты квадратичной функции удвоены для удобства выполнениа алгебраических преобразований.
207 б. Квадратичную функцию можно записать а) в матричном виде ап а12 а12 гг 2 р(х)= р(х,,хг)=(х, г 1) х =х ° Р.х, — мширица каадршничивй функции; х = где Р= а11 а12 а1 а12 а22 а1 2 120 расширенный (дополненный единицей) сшвлбец переменных; б) выделяя квадратичную и линейную части: =х .А х+2 а х+а, где А=( " '2 ) -мвшрица квадратичной формы; а=( 1 — сшалйвц Лг а22,1 (,аг) квзффнциеншоа линейной формы; х = — ешвлйвц ивременнагх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
