Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Требуется: а) вывести формулы (2.29) преобразования координат; б) вывести формулы (2.31) локального преобразования координат; в) указать особые точки полученного преобразования координат. С) а) Найдем полярный радиус г точки М . По теореме синусов для треугольника ООМ: Расз.39 «зо г 1 ивф =з в1п(й гр~ яп ~ОМД в1п(гр ф) так как гр=.г.ОМД+ф (внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ннм) н, следовательно, х'.ОМД = гр-ф. Теперь, используя связь (2.17) прямоугольных и поларных координат, полу- чаем б) Найдем матрицу Якоби г( ) '(ф-ф) ипг ф ипг ф ипг(ф-1р) япг(ф — ф) дф дгр Следовательно, локальное преобразование координат (2.31) в окрестности точки М имеет внд вшф.совф япф совф ип (1р-ф) яп (зр-ф) ип ф яп~ф Ф яп'(ф-ф) яп'(ф-ф) в) Находим якобнан преобразования: вшф.совзр в1пф совф Яп (1Р-1Р) Яп (1Р-ф) яп ф в1п ф ип (ф-ф) вш (гр-ф) вшф вш ип (ф-1р) пжгжход к поллгной систжмж коотдииат Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат Оху и соответствующая ей полярная система координат Огф, для которых (см.
Равд.2.3.1) < х = г.совф. у=г.вшф, (2.32) 191 Он равен нулю илн не имеет смысла для точек, принадлежащих осн абсцисс, т.е. при ф=гр=О, ф=гр=п, 1р=О и гр=п. Остальные точки плоскости яввпотся неособыми. ° з и / и те. в(229) х, =х, х =у, х, =г, х =ф, я,(х)=г.соз<р, я (х)=г з(п<р. Найдем матрицу Якоби нуля всюду ( г > О), за исключением начала координат О, где г = О . Следовательно, точка Π— единственная особая точка преобразования (2.32).
Вычислим коэффициент искажения плопрди в окрестности произвольной неособой точки Хе. Пусть точка Хе имеет прямоугольные координаты х . уе и полярные координаты г„,фс, причем гс >О. В окрестности точки Х введем две аффинные системы координат ХеЬхбу и Хебгйр (см. рис.2АО,а), связанные локальным преобразованием координат (2.31): (2.33) уо О 6 х И Аффннное преобразование (2.33), описываемое матрнцей Якоби, можно представить в виде композиции двух преобразований: поворота на угол <ре и сжатия к оси Хе Ьг с коэффициентом г (см. раза.2.2.4): хо О з1п<ра ге сезара з(пф сезара О ге Базисные векторы системы координат Ха Ахи совпадают со стандартным базисом г, 1 прямоугольной системы координат Оху, а базисные векторы 1', 7 системы координат Хе йгйр сввзаны с ними соотношениями ах,у) р -'з(пр Якобиан преобразования б — ' =г.соз ~р+г з(п ф=г отличен от Га(х,у)1 "~ д(г,<р),3 Ортоюнавьность базисных векторов при такой композиции преобразований естественно сохраняется: 1 .Е 7.
Поэтому квадрат, построенный на базис- ных векторах ~, г' (изображен на рис.2.40,а штриховой линией), единичной плошади У»1 -. =~1' Ц 3~ =1 преобразуется в прямоугольник (изображен на рнс240л сплошной линней) плопщли Я' . =~Г~ ~7~=г ~вЦ1~=г. Та- ким образом, в окрестности неособой точки коэффициент искаженна пло- щади г„равен модулю лкобиана преобразования (2.32): ~~31,„„,=1-: . =::1=" Коэффициент искажения площади равен ге н применается при вычислении двойных интегралов [19,23,40).
Сравнзп» теперь полное искажение площади в результате преобразова- ния (2.32) и при локальным преобразовании (2.33). Рассмотрим множество игр точек, полярные коордннаты г, <Р которых удовлетворают условиям ге й г й г + Ьге, <Ре ( ~Р б <Ре + ЬРе . Это множество представляет собой криволинейный четырехугольник (за- штрихованный на рис.2.40,6), ограниченный дугами окружностей г= ге, г=га+Ьгю н отРезками лУчей ~Р=~Ре, 'Р=ро+ЬРе. Найдем площавь ~ этой фигуры: 1 г н 1 з 1 г 'Ьфе '~ге+Ьге/ 'Ь'Ре 'е = 'е '~Ре 'Ьге+ Ь'Р Ь'е . 2 2 2 В аффинной системе коордннат Хе ЬгЬгр множество УЬгЬф точек, коор- динаты Ьг, Ь<р которых удовлетворяют условиям О Ь ~Ьге, О~Ьр1йре, лредставлает собой прямоугольник (изображен сплошными ливиями на рис.2.36,6) площади Я» = ге . Ь Ре Ьг .
Искомал разность площадей Я-Я = —.Ьр Ьг . 2 2 Так как относнтельнал ошибка э» з '~гре ' е стремится к нулю при Ьге -» О, то прн вычислении искажения площадей можно использовать локальное преобразование координат (2.33) вместо преобразования (2.32). 193 ~З вЂ” н50 ПЕРЕХОД К ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Охух и соответствующая ей цилицарическая система координат О гф в, для которых (см. равд.2.3.2) х= г.совф, у=г в(пф, е=е. (2.34) Найдем матрицу Якоби совф -г.япф 0 в1пф г.совф 0 . 0 0 1 от ~уля всюду ( г > 0), за исюпочением оси Ое, где г = 0. Следовательно, все точки оси аппликат (и только опи) являются особыми точками преобра- зования (2.34). Коэффициент искажения объема равен г и применяется при вычислении тройных интегралов [19,23,40].
пкгеход к секгической систкмк КООРДИИАТ Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Олух и соответствующая ей сферическая система координат Орфб, длв которых (см. равд.2.3.3) с х=р совф.в(пО, у=р япф.вшО, е =р СОЕО. (2.35) Найдем матрицу Якоби совф в(пО -р япф.вшО р.совф сов8 ЕЫр 1пО р ф 1пО р Ыр О. О 0 -р яп8 (а$,~,в)) ( Вычислим якобнан преобразования совф япО -р япф.япО р.совф.совО япф япО р.совф яп8 р вшф.сов8 =-р япО. сов О 0 -р.япО 194 д(х,у,е) Якобиан преобразования б~ ' — -' — =(г сов~ф+г яп~ф) 1=г отличен '(.а(;ф, )! Нри р>0 и при О а О или О ее н якобиан отличен от нуля. Следовательно, все точки оси аппликат Ох (и только они) являются особыми точками преобразования (2.35).
Коэффициент искажения объема равен р зш 6 и применяется при вычислении тройных интегралов 119,23,40]. Задачи для самостоятельного решения 2.1. На координатной плоскости Ое,е заданы вершины А(1,2), В(3, 5), С(5, — 1) треугольника АВС. Найти координаты: а) середины К стороны ВС; б) точки М пересечения медиан; в) середины Ж средней линии треугольника, параллельной стороне ВС; г) точки Е., которая делит сторону ВС в отношении ВЬ." ЕС = 2: 3. Ответ: а) К(4,2); б) М(3, 2); в) Ж(~,2); г) Ь(5, '5).
2.2. В координатном пространстве Ое, е е заданы вершины А(4. 4, б), В(12,10,2), С(20,-2,4) треугольнойпирамиды ОАВС.Найтикоординаты: а) точки М пересечения медиан грани АВС; б) точки Ж, которая делит отрезок ОМ в отношении ОМ ! УМ = 3:1. в) середины У отрезка, соединяющего середины проппюположных ребер пнрзмнды.
Ответ: а) М(12,4,4); б) И(9,3,3); в) Е(9,3,3) — совпадаетс ет'. 2З. На коордннатной плоскости О!' ! заданы векторы ~! =3 ! + 2. 1, У = 2 ! +1 г', д! = 2 ! -2 !, К = — 1 ! + б,!. Доказать, что каждая из систем Д) = Я,,г" ) и (й) =(В!,д ) является базисом", найти матрицу перехода от базиса (~) к базису (д); определить координаты вектора а = 2 я! +1 я в базисе (г').
)-б 13 ! О вет: Я =( ),а=1 У+О ~~. ' И й) (10 -20!' ! 2 2.4. На плоскости заданы две системы координат Ое, е и Ое, е с общим началом О и взаимными базисами: (е!,е!)= (е,е')=1, (-,.- —,,",— е!,г )=(ез,е! )=О. Найти матрицу Я преобразования координат„если (е)-Ф(е ) известно, что единичные векторы е, и е образуют угол <р. !95 1 СО~ Ф Г)=1~) 2.5. На плоскости заданы две системы координат Ое, е и О е, е . Начало 0 второй системы координат относительно первой системы координат имеет координаты (-1,3), а базисные векторы е, н е имеют в базисе е,, ег координаты 2, 3 и 1, 1 соответственно.
Найти: а) координаты х,х точки в первой системе координат Ое,е, если / известны координаты х,,х этой точки во второй системе координат 0~ ~~ е,ег., б) координаты х,, х точки во второй системе координат 0 е, ег, если известны координаты х,, х этой точки в первой системе координат Ое, е; в) координаты точки 0 во второй системе координат 0 е, е .
Омвелк а) х =2.х,+х -1; х =З.х+х +3; б) х =-х,+х -4; хг -— 3 х,-2 хг+9; в) 0(-4,9). 2.6. В пространстве заданы две системы координат Ое,е е и г г г 0 е, е е . Начало О второй системы координат относительно первой системы координат имеет координаты (1,1,2), а базисные векторы е,, е н е имеют в базисе е,, е, е координаты 4. 2, 1; 5, 3, 2 и 3, 2, 1 соответственно. Найти: а) координаты х,,х,х точки в первой системе координат Ое,е е, если известны координаты х,, х, х этой точки во второй системе коордн- / Р Р Р О,е / Ф Ф ~ гГ ~ б) координаты х,, х, х точки во второй системе координат 0 е, е е, если известны координаты х„х, х этой точки в первой системе координат Ое сглаз; в) координаты точки 0 во второй системе координат 0 е, е е . Оглвевг: а) х,=4 х,+5 х +З.х +1; х =2 х +З.х +2.х +1, х =х,+2 х +х +2; б) х,=х -х -х +2, х =-х +2.х -3, х =-х,+3 х — 2.х +2; в) 0(2,-3,2).
2.7. Найти координаты неподвижной точки собственного ортогональ- ного преобразования х = х.сезар- у.мп~р+ хв, у юх.з1п<р+у совр+ус, где ф и и. л, л а 2; система координат Оху прямоугольная. Отвввс х= — ьте — У .сг8-), У= — (хе.сГ8~+У ). 2.8. На координатной плоскости Оху (в прямоугольной системе коор- динат Оз) ) задана точка Х(4, 6).
Найти координаты образа У этой точки при следующих преобразованиях плоскости: а) поворот плоскости на угол дз вокруг начала координат; б) отражение в оси абсцисс параллельно оси ординат; в) отражение в осн абсцисс параллельно прямой у = х; г) сжатие к оси абсцисс (адоль оси ординат) с коэффициентом Л =-'; д) сжатие к оси абсцисс вдоль прямой у = х с коэффициентом Л =-'; е) гомотетия с центром в точке О и коэффициентом Л = 2; ж) параллельный перенос на вектор а = 2 г — у; з) ортогональная проекция на ось абсцисс; и) проекция на ось абсцисс параллельно прямой у = х.
Для каждого из преобразований а,б,в,гд,е,ж определить коэффициент А ис- кажения площади. Оглввлс а) у(2-3 тГЗ, 2 т13+3), А' =1; б) У(4, -6), А =1; в) у(-8,-6), А =1; г) у(4,3), А = з; д) У(1,3), А = г ' е) Г(8,12), А =4; ж) У(6,5), А =1; з) У(4,0); и) У( — 2,0). 2.9. В прямоугольной системе координат Оху заданы точки А(3,4) и В(12,5). Найти координаты этих точек в полярной системе координат Огф, а также угол <р между векторами ОА и ОВ. Омвввп А(5,агсг8А), В(13,агст8 з), ф=агсг84 агст8 з .
2.18. В прямоугольной системе координат Охут заданы точки А(3,4,5) н В(6,6,-7). Найти коордннаты точки А в цилиндрической системе коор- динат Огас, а координаты точки В в сферической системе координат Ор рЕ. Отвали А(5,агс18А~,5), В(1 А в,и-ап:соз ~,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
