Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Через точку О перпендикулярно основной плоскости проведем ось Ох (ось аииликаиз) и выберем ее направление так, побы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси Ох происходило против часовой стрелки (рис.2.3б,а). В сферической системе координат положение точки М, не лежащей на оси аппликат, хараатервзуется расстоянием р = ~ ОМ ~ до начала координат, полярным углом ф точки ̄— ортогональной проекции точки М на основную плоскость, и углом 8 между вектором ОМ и положительным направлением осн аппликат [15,40].
Таким образом, сферические координаты точки М вЂ” зто упорядоченная тройка чисел р,<р,8 — радиус (р<0), долгоиза (-п«р<н) и юироаза (058ьн). У точек, првнадлежащих оси 171 влпликат, не определена долгота, их полажение задается радиусом р и широтой 8 = 0 для положительной части оси Ох и О = и для отрицательной ее части. Начало координат задается нулевым значением радиуса р. Иногда (2,3) вместо угла 8 широтой называют угол 1р = д — 8, принимающий зна- чения — д<1р<д.
2— Гае2ЗВ < х=р сов1р вш8, у=р вш1р вшО, х=р сов8. (2.21) Зтн формулы позволяют найти прямоугольные координаты по известным сферическим координатам. Обратный переход выполняется по формулам 172 Со сферической системой координат Ор1рбможно связать прямоугольную систему координат 01' 1 х (рис.2.36,б), у которой начало и базисные векторы 1,я совпадают с началом сферической системы координат и единичными векторами на полврной оси Ох и оси аппликат Ох соответственно, а базисный вектор х выбирается так, чтобы тройка 1, 1,)г была правой (при этом базис оказывается стандартным). Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим сферическую систему координат (связанную с данной лрямоугольлой). Получим формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты х,у,х точки М и ее сферические координаты р,ф,О.
По рнс.2.3б,б получаем р= ха+у +х созр = — ' (7+„У' з)п<р ~ л ,~л +х 8 = ап:созх = агссоз Р 2+ 1+1 (2.22) Формулы (2.22) определяют долготу ф с точностью до слагаемых 2ил, где лп У.При хмО из них следует,что щд= —. Главное значениедолготы ф У х (-и «р ~ и ) находится по формулам (см. Рис.2.29). Пример 2.13. В сферической системе координат Ору 8: а) построить координатные поверхности р = й, <р = дс, х = хо; б) найти сферические координаты р,<р,8 точки А, если известны ее прямоугольные координаты А(4,-3, 12); в) найти прямоугольные координаты х,у,х точки В, если известны ее сферические координаты: р=4; ~р= зя 8=2и з' П а) Координатной поверхностью р = й, т.е. геометрическим местом точек М(й,<р,О) при фиксированном значении радиуса р = й, является сфера с центром в начале координат (рис.2.37).
Этим объясняется название сферической системы координат. Координатной поверхностью ф = фе, т.е. геометрическим месгом точек М(р,фе,б) при фнксированном значении долготы ~р= ф, явкяется полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.37 изображена полуплоскость О = 0). Координатной поверхностью О = 8„, т.е. геометрическим местом точек М(р, <р, Ое) при фиксированном значении шиРоты 8 = Ое е з, является конус, ось которого совпадает с осью аппликат, а вершина — с началом координат.
При 8 =-" получаем основную плоскость. з Парис 2 37 изображены конус 8= Ое ми и основная плоскость О =и. 2 б) Найдем сферические координаты точки А(4,— 3, 12). По формулам (2.22), учитывая рис.2.29 (см. пример 2.12), получаем 3 12 р= 4 +(-3)з+12 =13; ф=-атеей —; й=мссоз —. 4 13 б) По формулам (2.21) получаем х = р созф зш 6 = 4 — — ~ — = -з(2; 2)~2~ у = р. вп ар пп 6 = 4. — ° — =з1б; ( 2)( 2~ (,61 г=р соз6=4 — — =-2зГ2. ° 2~ 2.4.
КООРДИНАТНОЕ ПРОСТРАНСТВО М" 2А.1. Точки, векторы и операции иад ними В равд.2.1 подчеркивалось, что введение аффинной системы координат на прямой, на плоскости, в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками и их координатами. Эта идея, лежащая в основе аналитической геометрии, обобщается в данном разделе. Рассмотрим множеспю Я" упорядоченных наборов л действительных чисел х,,х,...,х„, которое будем называть и-мерным а44иинмм лресвизавзваа (и-мерным декараеяим лрослйнзислмвм, л»мерным нрнфмелшческим лресазранстнвам), а его элементы — мочками и обозначать их прописными буквами, например, А(а,,...,а„). Две точки А(а,,...,а„) и В(Ь,,...,Ь„) называются севнадаюн(ммн, если а, =Ь,,...,а„=Ь„. Число и называется числом измерений или равиерносшью пространства й" .
Например, в силу введения аффинных систем коордннат на прямой, на плоскости и в пространстве (см. разд.2.1) можно говорить, что прямая, плоскость, пространство являются одномерным ( й ), двумерным ( и ) и трехмерным ( Я~) аффинными пространствами соответственно. Примером четырехмерного пространства служит пространственно-временной континуум, используемый для описания физических процессов, в котором каждо- мУ "событию" ставитсл в соответствие набоР четыРех чисел (г,х,,хз,х ), где г — момент времени, в который произошло "событие", а х,,х,х координаты "места события" (15]. Упорядоченная пара точек пространства й называется ввкнюрам.
Первая точка называется началам ввюнара, вторая — концам ввкнюра. Начало вектора называют также его нючквй нрнлвжвння. Вектором АВ с началом в точке А(а,,...,а„) и концом в точке В(Ь,,...,Ь„) называется матрица- столбец (см. разд.П.1) АВ = ( Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулввагм и обозначается о = (О " 0)г .
линкйнык опквации над виповами Операции сложения векторов н умножения векторов на число определаются как соответствующие операции над столбцами [8,10,371: суммой ввюнврвв х = [х " х„)г и у = [у, " у„) называется вектор х~+у1 х„+ у„ х+у= нрвнзввдвннвмввюавра х=(х " х„)" на число Л называетсявек- 175 Эти операции удовлетворяют свойствам 1-8 линейных операций над векторами в разд.1.1.2. Поэтому пространство и" можно рассматривать как линейное (векторное) пространство [8,101. Два ненулевых вектора называются квллннварнымн, если существует такое число Л, что у = Л х. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Каждый вектор коллннеарен самому себе. Замечании 29.
1. Совершенно так же, как в равд.1.1.2, 1.1.3, 1.2.1, вводятся следующие, смгзанные с линейными операциями над векторами, понатия: противоположных векторов, разности векторов, отношения коллинеарных векторов, линейной зависимости и линейной независимости векторов. Свойства 1 — 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов (см. разд.1.1.3) пере- носятся иа векторы пространства к" без изменений. СТАНДАРТНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В и Назнеап пространства й" называется упорядоченная система н линейно независимых векторов (базисных ввк7воуов). Упорядоченный набор векторов 1 0 0 0 1 в = О,...,е„= 0 (2.23) 0 0 1 называются с1иаидарюиым базисом в пространстве й" . Вехторы стандартного базиса линейно независимы и любой вектор х=(х, " х„)~ может быль разложен по базису, т.е.
представлен в виде линейной комбинации базисных векторов: 0 1 +...+х„. 1 0 Хз Х1 Е1+ 22 В2+"'+Хв Еи 2 0 0 1 0 Как и ранее (см. равд.1.3), коороиназнами веювора х относительно базиса (е) = (е1 ". е„) называются коэффициенты х,, х,..., х в разложении (2.24). Ках видим, в стандартном базисе (2.23) координаты х,, хз,..., х„ 176 2.
Рассматривая множество упорядоченных наборов и комплексных чисел 21, 22,..., 2„, приходим х поиатию и-мерного каннлвксного арифмеиичвского щиюирансива С", где 2, =х, +1у1Н С,...,х„=х„+1у„н С; С вЂ” множество комплексных чисел. Все точки пространства и" содержатся в С" (при у, = ... = у„= 0) и называются ввщвсн2ввннымн (двйс1нвнн2вланымн) точками пространства С".
Понятия векпюа, размерности пространства С", линейных операций над векторами и их свойства аналогичны соответствующим поияпим и свойствам действительного арифметического пространства к" . вектора х = (х, " х„) совпадают с его элементами, а кеердннвюиый сюалбец (х, " х„~ -ссамнмвектором х. Например, в одномерном пространстве М вектор х представляется столбцом х= (х,), в двумерном пространстве  — столбцом х = (»1 хз "), 2 в тр~х~~р~ом ~ространстве Ю - столбцом х = (», »2 »5)~ . Совокупносп точки О и базиса (е)=(е, " е„) называетсяа44нлней (декарюееей) сисюелюй координаю пространства М".
Точка О называется началам системы координат. Вектор ОХ, начало которого совпадает с началом О системы координат, а конец — с точкой Х(х,,...,х„) пространства, виываетсл рвдлусеекюорем точки Х . Хеердннаюахзн юечкн Х(х,,...,х„) в пространстве В" называются координаты ее радиус-векзора ОХ относительно базиса е,,..., е„. Разумее5ся, что соответствия (точка) ~ (радиус-вектор точки) ~ (координаты точки) ++ (координатный столбец радиус-вектора точки) взаимно однозначные. Система координат с началом в точке О(0,...,0) и стандартным базисом е,,..., е„(2.23) считается сюаиддрюлей системой вюрдинлю пространства Я" и обозначается Ое,...е„или Ох, х„. В этой системе координат точка Х(х,,...,х„) нместкоордннаты х,...,х„,так как ОХ =х,.е, +...+х„е„.
Заметим, что правило нахождения координат вектора (см. разд.2.1.1), согласно которому нз координат конца вектора нужно вычесть координаты его начала, было фактически принато в качестве определения векторов в Ю" . Действительно, в стандартной сисгеме координат вектор АВ с началом в точке А(а,,...,а„) и концом в точке В(Ь,,...,Ь„) обозначается матрицейстолбцом =Ь вЂ” а=О — ОА где а=ОА и Ь=ОВ -радиус-векторыточек А и В соответственно. 177 12 — 5150 ЛИНЕЙНЫЕ, НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ, АФФИННЫЕ И ВЫПУКЛЫЕ КОМВИНАЦИН ВЕКТОРОВ Вектор л пространства к" ыазыматся лннейнай комбинацией вектоРов У,, лз,..., У», если он может быль пРеДставлен в виДе У вЂ” »Х~ 'У1 + С»з 'Уз +- +С1» 'У» где а,, аз,..., ໠— некоторые числа.
Множество линейных комбинаций векторов У»,лз,...,л называется их линейной айалачкай и обозначается Ин(гпгз,...,л»)=1»: У=а, г1+а У +...+а У»; а,.нй, 1=1,...,к). Векторы у,,уз,...,у называются айрана»имн линейной оболочки »»н(УР Уз г» ) Линейная комбинация а, ОА,+а .ОА +...+а ОА» радиус-векторов ОА,,ОА,...,ОА называется неон»рина»неявной, если все ее козффицие»~- ты — неотрицательнь»е числа. Множество неотрицательных комбинаций радиус-векторов ОА»,ОАз,...,ОА называется их конической аеалачкай и обозначается: Сон(ОА,,ОАз,...,ОА» 1=1ОМ: ОМ =а1 ОА,+а .О»з+...+о .ОА; а, >О,а еО...,а кО. а»,аз,...,а ой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
