Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Чтобы задать аффинное преобразование плоскости по определению, достаточно указать систему координат Ое, ез и формулы (2.11), т.е. задать невырожденную матрицу А преобразования и координатный столбец а в (2.11). ~о. 147 (2.15) у=в+ 5 ° х (г) (г) (г) (у) (г) вида (2.11) с невырожденной матрицей А = В и столбцом а = з . Су(ч) (е)-+(У) (е) (8) ществование аффинного преобразования доказано.
Докажем единственность от противного. Пусть преобразование Я удоваетворяет тем же условиям, что и оз, но для некоторой (хотя бы одной) точки Х образы ыУ(Х) и Я(Х) г гг не совпадают. Тогда в новой системе координат 0 е, е разные точки оз(Х) и Я(Х) будут иметь равные координаты (такие же, как координаты точки Х в старой системе координат О е, е ), чего быль не может (см.
п.1 замечаний 2.1). Полученное противоречие доказывает единственность аффннного преобразования. Таким образом, аф финнов преобразов аде (2.15) может быть задано указанием двух аффннных систем координат. Говорят, что аффннное нреобразование задано нерекодам от одной аффинной сно тены координат к другой.
У = сй(Х) "З ЕЗ Ез Риа2.18 Второй снособ. Пусть на нлоскости заданы две аффинные системы координат: старая Ое,е и ноет О е,ез (рис.2.18). Тогда существует единственное аффинное нреобразование оз неоскости, которое каждой точке Х ставит в соответствие точку У = чй(Х), координаты которой в новой системе координат О е,е совнадтот с координатами точки Х в старой системе координат. Действительно, пусть 7=00 — вектор переноса начала координат, 5 — матрица перехода от старого базиса (е) = (е, е ) к новому базису (8)-Ф(г ) (е )=(е, е ).
Тогда, учитывая (2.8), имеем у = й+ 5 у . Подставлзн (г) (') (' ') (У) у = б (коордннаты образа У = а(Х) в новой системе координат совпада(-') (л) ют с координатами прообраза Х в старой системе координат), получаем аффннное преобразование х 149 Третий способ. Аффинное преобразование плоскости вполне определяемая обраюми трех данных точек, не лежащих на одной прямой, т.е. сущетвуеп! единственное аффинное преобразование, переводящее три точки Р / Ф О, А, В, не лежащие на одной прямой, в три !ночки О, А, В, также не лехсащие на одной прямой. В самом деле, заданные точки О,А,В и О,А,В порождают две аффинные системы координат Ое,е и О е,е, где е, =ОА, е =ОВ, е~ = О А, е, = Π — пары базисных (нсколлинсарных) векторов, и тем са- ! мым однозначно определяют аффннное преобразование.
Пример 2.7. В прямоугольной системе координат у 01,! заданы точки (рис.2.19): 8 с' 'ч~ у (2(2, 1), А(6,4), В( — 2,4), Д (10,3), А (10,5) . В'(6,6), Х (2 7) ' 1 Ребуегся в! )вести 4е4 ! 2 формУлы (2.11) аффннного ! — ! е 2 преобразования от, отображающего точки Д, А, В в ! ) (т 1 ! точки Д, А,В, и найти ко- -2 О," 2 6 10 ординаты образа Г = оз(Х) Рис.2.19 точки Х: а) в снстемекоординат Де!аз, е, =(д4, ез =ДВ: б) в заданной прямоугольной системе координат. С) а) Искомое преобразование И отображает систему !кюрдинат Р~ Ф ДЕ!Ез В СИСтЕМу КООрдИНат Д Е,Е2, ГдЕ Е! — — ДА =сб(Е~1, Ез =ДВ =сб(вз). Формулы, задающие такое преобразование сб, имеют вид (2.15), где з— координатный столбец вектора з =Ще в базисе (е)=(е е ), а Я гн.-.) матрица перехода от базиса (е)=(е, е ) к базису (е)=(е, е ). По РИС2.19, уЧИтЫВая, Чта ! =-'.(Е,-Е ), т = 4.
(Е, +Е ), ОнрсдспяЕМ РЕЗЛОжсния векторов У,е,,е по базису (е): 7=8.!+2 2=-.(е — е )+ — (е+е )= —.е — е; 2 ! ! 1 1 г е!=2.1=- (е +аз)=-.е +- ез; ез=е2=0е+1 ез. 6 ' 2 3 ' 3 Следовательно, в системе координат Щ е преобразование (2.1З) имеет вид Ж=Ж (~ 'Ю поскольку согласно (2.2) матрица перехода формируется путем записи по столбцам координат векторов е,, е в базисе (е) . Найдем координаты образа точки Х . В системе координат Де, ез точка Х имеет координаты х, =1, з =1, так как ДХ =1.е, +1.е .
Подставляя в найденные формулы координаты прообраза, получаем искомые координа- ты образа ж=(4(Г) ~)=(=:)- (-:-:) Заметим, что в новой системе координат Д е, ез точка У = Я(Х) имеет координаты У (1, 1), которые совпадают с координатами точки Х(1,1) в старой м) системе координат Де, е . б) Подставляя в (2.11) координаты образов и прообразов, получаем: 1О, „„г А =еУ(А): = + В=Я(В): = + Вычитая первое уравнение из второго и третьего, получаем 4 ап+З.ад =О, 4 аз,+З.а =2, — 4 а„+З.а =-4, -4 аз~+3 ам =3.
Решая зту систему, находим элементы матрицы А = з, з, после чего $ б определяем столбец а = = з ~ . Таким образом, искомое преобразою- ние И в заданной прямоугольной системе координат имеет вид 150 (::]-4Н-'..']('.] Найдем координаты образа точки Х(2, 7): —, т.с. У(б,8). Получим теперь формулы аффинного преобразования ог в системе координат Де, е, используя свези (2.12).
Учитывал, что переход от прямоугольной системы координат О("'7п к системе координат Де, е определяет- 14 -4) Ы ся матрицей Я = ~ ! и столбцом з = ~ ~, поскольку з = ОД, ~3 3! У е =4.1+3 ), ез =-4 1+3 7',находим ! Г) 3 3 — 2 3 3 24 -34 г 3 -й(,'.'Н ',] Я ( А*-*(='( ) ц ] ~ ].Я)] -ы;:Н=.".—.—;]-.(;:]а=-.(;.Н',] что совпадает с результатами п."а".
° Аффннные преобразования плоскости обладают следуюп(ими свойствамн. 1. Аффинное преобразование взаимно однозначное, кроме того: а) преобразование, обратное к аффинному, является пнисзсе аффинным; б) композиция аффинных нреобраюваний является янтже аффинным преобразованием. 2. При аффинном преобразовании векторы преобразуются следуюи~им образом: а) равные векторы — в равные; б) коллинеарные — е коллинеарные, причем отновзение коллинеарных веюяоров сохраняется; в) неколлинеарные — в неколлинеарные. 151 3 При аффинном преобразовании сохраняется отношение, в котором точка делит отрезок.
4. При аффинном преобразовании (2.11) площадь любого параллелограмма изменяется в одном и том жв отношении, т.е. умножается на одно и то ясе число (называемое коэффициентам искаясвния площади): Я ° =~де1А~-Я», где 5» — площадь параллелограмма. а Я„.
— площадь образа этого параллелограмма. Другими словами, коэффициент искажения площади при аффинном преобразовании равен модулю определителя матрицы этого лреобраэоеания. Первое свойство следует нз обратимости матрицы А аффинного преобразования, поскольку нз (2.11) можно выразить координаты прообраза через координаты образа: х= — А' а+А' у. Заметим, что эти формулы имеют тот же внд, что и (2.11), т.е.
преобразование, обратное к аффинному, является аффинным преобразованием с матрицей А и вектором переноса ( — А ' а). Композиция аффинных преобразований у=а+А х и г=Ь+В у: г=Ь+В.(а+А.х)=Ь+В а+В.А.х У также является аффинным преобразованием с матрнцей В. А (невырожденной в силу невырожденности В и А) и вектором переноса Ь+В а.
Докажем второе свойство. Пусть ненулевые векторы Р и м коллинеарны, причем — = Л . Надо доказать, по их образы ч = аг(й) и м = аг(й) У также коллинеарны и г = Л . Действительно, если ч и м — координатные столбцы векторов й и й, то э =Л м. Тогда для координатных столбцов ч н м (векторов э и и ) по формуле (2.14) получаем (см. п.4 замечаний 2.4): э =А э=А (Л ю)=Л.А и =Л.п~ .
ч Ю Ф l т.е. э =Л.м . Следовательно, ч =Л и, т.е. векторы ч и и коллинеарны У и т = Л . Если же хотя бы один нз векторов нулевой, например, В = о, то и его образ (по свойству 2) также нулевой вектор э =о, который коллинеарен любому вектору м . При Л = 1 получаем, по равные векторы преобразуются в равные. Наконец. неколлинеарные векторы не могуг преобразоваться в коллинеарные, поскольку в этом случае при обратном преобразова- 152 ,и коллинеарные векторы преобразукпся в неколлинеарные, что противоречит п.2,"б". Третье свойство следует из второго (см. п.2,"б"). Действительно, пусть точки А, В, С отображаются в точки А, В, С соответственно.
Если точка С делит отрезок АВ в отношении АС:СВ=а:[3, то векторы АС и А — а коллинеарные и АС = — АВ (см. разд.1.6.1). По свойству 2 п."б" вектоа+р х О Рис.2.20 гзз ры А С н АВ также коллннеарны и А С = —.АВ, т.е. точка С де- в' лнтотрезок АВ вотношении АС:СВ =а:р=АС:СВ. Обсудим четвертое свойство. На рис.2.20 заштрихованы параллелограмм, построенный на базисных векторах е,, е, и его образ (параллелограмм, построенный 2 х Р хз на базисных велюрах е,,е ). Справедливость утверждения для параллелограммов следует вз свойства 3 матрицы перехода от одного базиса к другому (см.
2 разд.2.2.1). Любой параллелограмм разбивается диагональю на два равных треугольника. Следовательно, угверждение справедливо для треугольников, а значит и для многоугольников, поскольку любой многоугольник разбнвается на конечное число треугольников. Средствами математического анализа это свойство может быть распространено на произвольную измеримую плоскую фигуру [19].
Замечании 25. 1. Третье свойство является характеристическим для аффинного преобразования и может быть взято в качестве эквивалентного определения [14]. 2. Преобразование (2.11) для произвольной квадратной матрицы А (быль может, вырожденной) называегся лннейимм, при этом матрица А называется миигриг(ей линейного иреойризооииия [10]. Любое аффинное преобразование является линейным, но не всякое линейное преобразование является аффинным.
3. Квадратные матрицы А и А, связанные соотношением А = Я '.А.Я, называются иооойнььин [10], а матрица Я -иреооразующей. Е силу (2.12) матрицы аффинного преобразования в разных базисах оказываются подобными, причем преобразующей матрицей служит матрица перехода от одного базиса к другому. Рассмотрим примеры преобразований. 1. Движением называется преобразование плоскости, прн котором со храняются расстояния между точками, т.е. расспжнне между образами Х н У равно расстоянию между нх прообразами Х и У: Х У = ХУ. Из определения следует, что при движении сохраняются углы, так как нз равенства треугольников АВС н А В С (по трем сторонам) следует равенство соответствующих углов. Таким образом, прн движении прямоугольнвл система координат переходит в прямоугольную (рнс.2.21,а).
Учитывая (2.9), (2.10), а также п.З замечаний 2А, получим формулы, выражающне координаты образа через координаты прообраза: < х =х,+х совр-у яшар, Р у =у,+х.в(п<р+у сов1р, (такое движение называется себсшеенным); < х =х,+х совр+у яшар, Р у = у, + х вш р- у сокр, (такое движение называется иесебслвеениым). О Ез О е 1 о е е, =)1.е, Рве2.21 Сравнивая с (2.11), делаем вывод. что собственное движение является аф- 1 сов41 — 31пф~1 фннным преобразованием с матрицей А =, а несобственное < вшу сов1р,) (сов1р вшф ) — с матрипей А= ). На рис.2.21л изображены исходная снс<,вш1р -совгр) тема координат Ое, е н новая система координат 0 е ез, в которой координаты образа Х любой точки совпадают с координатами прообраза Х в старой системе координат Ое,е (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
