Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Точка О называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются коорди- х А(а) О нотными осями: Ох, — ось абсцисс, Ох — ось ординат, Ох — ось аннлнкат. Плоскости, проходящие через две координатные оси, называются координатными нлоскостями. Аффиннаа система координат в пространстве (нли на плоскости) называется ираеой, если ее базис является правым, и леоой, если ее базис— левый.
121 КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ И ТОЧЕК Координатами веюнора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3). Дшг любой точки А в заданной аффиниой системе координат можно рассмотреть вектор ОА, начало которого совпадает с началом координат, а конец — с точкой А (рис.2.1,а,б,в). Этот вектор называетсл радиус. ввктораы точки А . Координатами точки А в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса.
В пространстве это координаты вектора ОА в базисе е, в, е, т.е. коэффициенты а,,а,а в разложении ОА=а, е,+а .е +а .е (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде А(а,,а,а ). Первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, третья — анняикатой. На плоскости и на прямой координаты записывают в виде А(а,,а ) и А(а) согласно разложениям ОА = а, е, + а е (рис.2.1,б). ОА = а е (рис.2.1,а). Координаты точки А, или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора ОА представшпот в виде координатного столбца (матрицы-столбца): на плоскости. в пространстве Найдем координаты вектора АВ с началом в точке А А(аг,аз,аз) и концом в точке В(Ь1,Ь,Ь ).
Рассмотрим В треугольник ОАВ (рис.2.2). Радиус-векторы ОА и ОВ пРедсгавлзютсЯ в виде ОА = а, е, +аз ез+ аз.ез, О ОВ=Ь|.е, +Ьз ез+Ьз ез. По правилу треугольника (см. равд.1.1.2) вычитания векторов получаем АВ=ОВ-ОА =(Ь,-а,).е, +(Ь -а ).е +(Ь -аз) ез, т.е. вектор АВ имеет координаты Ь,-а,, Ьз — аз, Ьз-аз. Этим доказано следующее правило: чтобы найти коордитины вектора, нужно из координат его конца вычесть соответстеующае координаты его начала. Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой. Замечании 21. 1. В заданной системе координат каждой точке можно поставить в соответствие ее координаты, причем зто соответствие взаимно однозначное: 122 (точка) ьь (ее координаты).
В частности, разным точкам соответствуют разные наборы координат. 2. Если вектоР Р с кооРдинатами ч,,чз,ч отложить от точки А(а,,аз,аз), то конец вектора АВ = В будет иметь координаты В(а, +ьь,,аз+ььз ьрз+ "з). 3. Координаты точки М, копюрая деаин отрезок АВ в отнорнении — = — (а > О, р > 0), находятся но координатам его концов А(а,, аз, аз) АМ О МВ рх и В(Ь,, Ьз, Ьз ) М <ь р+р р, +р.ь,, р.ь,) р В частности, координаты середины М отрезка АВ равны среднему арифметическому соотеетствукнцих координат конькьв отрезка (а = ~3 ): М с а+Ь а+Ь а+Ь 2 2 2 Координарны точки М, которая "делит" нлои(адь треугольника АВС е опинннении Ямлс:Ямсл:Я =а:1):У (а>0, (З>0, У>0), находатсЯ по координатам его веринрн Ар(рр, аз, аз), В(Ьр, Ьз, Ьз), С(с,, сз, сз): ьь < ~ ~ +р .ь, ь ч ~р , ь, ь , , ч ~ р .ь, ь , ) ~р ь ' ~+р ь ' р~ь В частности, координаты точки М пересечения медиан трериольника АВС равны среднему арифметическому соотвепрстеуюиррх координат лерман треугольника ( Ср = р = у ): с~+Ь +с, а +Ь +с аз+Ьз+сз М | ь ь 3 3 3 Эти формулы следуют из свойств 2,4 аффинных и выпуклых комбинаций (см.
разд.1.б.1). Они остаются справедливыми и на координатной плоскости, если аппллкаты всех точек положить равными нулю. Например, коордщюты середины М отренга АВ М('~ "~ 'ь "ь1 щщ координаты 1 2 ' 2 /' точки М пересечения медиан треугольника АВС: М(-ь-зь — ', ' з ') . Пример 2.1. В некоторой аффинной системе координат известны ко- ординаты вершин треугольной пирамиды АВСР(см.
рис.2.3): А(1,1,3), 12з В(3,5,4), С(- 1,3,2), 0(5, 3,- 1). Найти координаты (в той же системе координат): а) точки М пересечения медиан треутольника С АВС; б) точки Е, которая делит отрезок ОМ в отношении зхс:2М =3:1 (р=З; а=1). 0 Учитывая п.З замечаний 2.1, получаем: Г 2.З а) М~ — '~~~ -'+221 'ф2),т.е. М(1,3,3); б) 2(и+24 зз+з.з 'Щз'з) с т(2 3 2) ° ЫЗ ' 1+З ' 1+З 2.1.2.
Примоутольпме системы коердииат Аффинная система координат называется прямоуеольной, если ее базис ортонормированный. Выбирая стандартные базисы (см. равд.1.3.5), получаем: 01 — прямоугольную систему координат на призкт — зто точка 0 и единичный вектор з на прямой. Точки О и А (рис.2.4) на координатной оси Ох обозначаются 0(0) и А(1); О А -2 — 1 0 1 1 2 Рис.2.4 01 З вЂ” прямоуеоеьную систему координат на пхоскости — зто точка О и два взаимно перпендикулярных единичных вектора 1 у 2 и ) на плоскости (вектор (в П первый базисный вектор, а 3 1 --- А(1;1) — второй; пара векторов з, )т 1 "равен). Координатные оси .) Ох (абсцисс) и Оу (ординат) -2 -1 О 1 2 х разбивают плоскость на 4 части, называемые четеертлмн (рис.25).
Точка А(1.1), на- Ш пример, принадлежит 1 чет- В езл верти; 124 ОЦй — прямоугольную систему координат е пространстве — зто точка О и три попарно церпендикулцрных единичных вектора 1, ), к (вектор 1 — первый базисный вектор, ) — второй, а й — третий; тройка векторов ;, ), К вЂ” правая). Координатные оси обозначаются: Ох — ось абсцисс, Оу— ось ординат, Ог — ось апплнкат.
Координатные плоскости Оху, Охг, Оуг, проходящие через пары координатных осей, разбивают пространство на 8 октаитое (рис.2.6). Точка А(1, 2, 2), например, принадлежит 1 октанту. Прямоугольные системы координат обозначают также указанием начала координат и координатных осей, например, Ох, Оху, Охуг .
Координаты векторов и точек в прямоугольной системе координат называются ирамоуганьнммн коордннатамн. Рас.2Д Координатами гектора а прямоугольной системе координат называются козффициенты в разложении вектора по стандартному базису (см. разд.
1.3.5). Координатами точки А а прямоугольной системе координат называются координаты ее радиус-вектора ОА в стандартном базисе. В пространстве зто коэффициенты х, у, г в разложении ОА = х. 7+ у )и+ г к, на плоскости — козффициенты х, у в разложении ОА = х з + у 3, на прямой— 125 коэффициент х в разложении ОА = х.1 . Прямоугольные координаты точки (или ее радиус-вектора) можно представить координатным столбцом: Е на плоскости. в пространстве, Замечании 22. 1.
В прямоугольной системе координат расстояние АВ между точками А(х„. У„. Хл) и В(хв, Ув, Хв) тгходитсв по формуле Для координатной плоскости и координатной прямой соответственно полу- чаем АВ= =!".-".! 2.Ориентированнойнлои(адьго Я" треугольника АВС называется его площадь Я„вс, взятая со знаком плюс, если ориентация пары векторов АВ, АС правая, и со знаком минус, если ориентация — левая.
Если на плоскости известны пРЯмоУгольные кооРдинаты ееРшин А(хл, Ул), В(хв, Ув), С(х., у ) треугольника АВС, то его ориентированная плоиГадь вычисляетсп по формуле 1 Ул 1 элвс = ' хв Ув 2 хс Ус 1 Действительно, по свойствам определителя (см. разд.П.6) получаем половину ориентированной площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС (см. разя.15.3): Ул 1 хв ув 1 хс ус 1 У„ хв- л Ув-Ул () хс-х„ус-У„О 1 ~хв хл Ув Ул 1 ~~~ АС) 2 ~хс — хл Ус Ул~ 2 1 2 1 2 3. Ориентированным объаиам г "всо тпнраэдра (треугольной пирамиды) АВСХ> называется ее объем, взятый со знаком плюс, если ориентация тройки векторов АВ, АС, АО правая, и со знаком минус, если ориентация — левы. Если известны прямоугольные координаты вершин А(х„, У„, хл), В(хв, Ув гв) С(хс Ус хс) О(хо Уо го) тетРаэдРа АВСЭ, то его ориентированный объем вычисляется по формуле 126 Ув "в Ув Вв «с Ус «с «и Уп хп л '4ВСП 6 Действительно, вычитая первую строку определителя из остальных строк н раскладывая затем определитель по последнему столблу, получаем -' 3АВВ, АС, АО), т.е.
одну шестую ориентированного обьема параллелепи- 6 леда. построенного на векторах АВ, АС, АО (см. разд.1.5.3). Пример 2.2. Известны прямоуголыше координаты вершин А(1,1),В(4,5),С(13,6) треугольника АВС (рис.2.7). Требуетсл найти: а) длину медианы АМ; б) длину биссектрисы АЬ; в) высоту Ь,, опущенную из вершины А . С) а) Учитывая п.З. замечаний 2.1, находим координаты точки М вЂ” середины стороны ВС: М14+'1 544), т.е. М(11 11) Учитывая п.1 замечаний 2.2, получаем: В Е М С РИ42.7 б) Найдем координаты точки Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
