Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пример 1.28. На веаторах ОА=4.г+3. г и ОВ=12 7-5 3 построен треугольник ОАВ (рис.1.60). Требуется найти: а) длины сторон треуговьника; б) длину медианы ОМ; в) длину биссеатрисы ОЕ; г) величину угла АОВ; д) площадь треугольника; е) координаты вектора ВН (в стандартном базисе), где отрезок ВН- высота треугольника.
С) Для решения поставленной задачи используем приведенные в данном разделе свойства с учетом п.1 за- М мечаний 1.14. а) Длины сторон ОА и ОВ находим по свойству 5: ~ ОА~=ДОАс,ОА)=з/4 +3 =5; О Н ~ОВ~ 3558,ОВ)=~~12 3-5~ =13. Чтобы найти длину стороны АВ, определим сначала координаты вектора АВ=О — ОА=12.!-5 1-(4.в'+3 1)=8 ю-8 г', а затем — его длину ~ АВ ~-31348 АВ) 3 88' 3 — ВГ В/2. б) Найдем координаты вектора ОМ, учитывая, что М вЂ” середина отрезка АВ (по свойству 2 аффниных и выпуклых комбинаций (см.
рвзд.1.6.1)): ОМ =-' ОА+-'.ОВ=-' (4 в'+3,1)+-'.(12 в'-5.3)=8 в-1.у, А 3(ОО~=,/8' 3-11 = /85. в) По свойству биссектрисы точка Ь делит отрезок АВ в отношении АЕ: ЕВ = ОА: ОВ = 5: 13. Поэтому для вектора ОЕ справедливы разложения Ой=-в- ОВ+ — 'з.ОА= в- (12.8'-5 2)+1з (4.в'+3.5)= — ".г+ 4 г'. 1В ' 1В ' 1В ' ' ' А 1В ' ' ' ~В ' 1В ' Теперьнаходимдлинуэтоговектора ОЕ= ()ыз~ +~ ) = —. г) Величину «р угла АОВ находим по формуле п.б: 4 12 3 ~-5) ЗЗ сов <р = 5 13 65 Следовательно, ~р = агссов — .
зз бз " д) Площадь Я треугольника ОАВ равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах ОА и ОВ: Я =-'Я вЂ” — (см. п.2 заме«ожов чаний 1.14). Чтобы найти площадь параллелограмма, воспользуемся формулой п.11. Добавляя к векторам ОА и ОВ нулевые аппликаты: ОА=4 и+3.1+О я; ОВ=12.5' — 5.1+О.К, вычисляем их векторное произведение: й 4 3 О [ОА, ОВ) = — 5 О 12 О 12 — 5 12 -5 О = О г' - О. р'+ (-56). к .
Отсюда получаем 5 — — =$!ОА.005/=~0! 0 5 [-56) 6/=~~0 55~[-56) =56. Значит, площадь треугольника Я = -' 56 = 28 . е) Найдем вектор ВН =ОН-ОВ. Проекцию ОН вектора ОВ на ось, задаваемую вектором ОА . находим по формуле п.8: — [ОВ,ОА) — 12.4+( — 5) 3 1 -. тз 132 -. 99 -, ОА, ОА 25 25 25 Отсюда Вн =+~! +ф,1-(12 5'-5 Д=-ф Г+~~ ), следовательно, его координаты — —, —. Вычислим длину этого вектора, т.е.
высоту тре- 163 666 5: ~ВН(-,Я~+$~=ф.З . 0~- ка Я = 28, поэтому высоту можно вычислить по формуле 2 Я 2.28 56 ВН = — = — = †. Результаты совпадают. ° ОА 5 5 Пример 1.29. На векторах ОА=1.5+3 Ун-1 к, ОВ= 2.7+1 3-2 К, ОС=3.0 — 2.у+4.Т построена треугольнаа пирамида ОАВС [рис.1.61). Требуется найтии: а) длины ребер ОА, ОВ, ОС; б) величину 09 угла АОС; в) площа~ Яовс треугольника ОАС; г) обьем пиРамиды ОАВС; д) высотУ пирамиды Ьв, опущеннУю из веРшины В; е) высоту Ь треугольника ОАС, опущенную нз вервершины А; ж) угол у между ребром ОА и плоскостью грани ОВС; з) величину б Угла между плоскостями граней ОАС и ОВС; и) радиус-вектор ОМ, где М вЂ” точка пересечения медиан треугольника АВС; Ш1 2 7О К ~ОА,ОС)ВО 1 3 — 1 3 — 2 4 =10 2 — 7.7'-11 к,  — (1ОАОС3) 7«00(-7 +(-11~ = Г270.
а затем его модуль Искомая площадь треугольника в 2 раза меньше: Я = .Я вЂ” — = ,/Ю ОАС 2 «ОА, ОС 2 1см. п.2 замечаний 1.14). г) По формуле п.12 найдем объем У вЂ” — — параллелепипеда, посгро- «ОА,ОВ,ОС енного на векторах ОА, ОВ, ОС: (ог к) радиус-вектор ОФ, где точка Ф делит отрезок АМ в отношении АУ:ФМ =3:4; л) направляющие косинусы вектора ОВ; м) алгебраическое значение ортогональной проекции вектора ОА на направление вектора ОВ; н) ортогональную проекцию вектора ОА на прямую, перпендикулярную грани ОВС; о) единичный вектор е (орт), имеющий направление вектора АВ; п) вектор а, имеющий длину вектора АВ и направление вектора АС.
П а) Длины ребер ОА, ОВ и ОС находим по формуле п.5: (ОА(=(7А.ОА)=~(1 3 (-1Г= 61; (ОВ(=Д7В ОВ)= (2 1 (-2( =3: (ОС(=ЯС.О~~О~~3 З( — 2(А = (23. б) Величину ф угла АОС находим ках угол между векторами ОА и ОС по формуле п.б: ОА,ОС 1 3+3 -2)+ -1) 4 7 ОА ОС 11 29 з 619 т.е. гр = и-агссоз-„ 7319 ' в) Сначала вычислим площадь параллелограмма, построенного иа векторах ОА и ОС по формуле п.11.
Для зтого найдем векторное произведе- ние 3 -1 (ОА. ОВ,ОС )= = -35 ОВ,ОС ) У вЂ” — — =~(ОА, (=[-35[=35. 1 35 Искомый объем пирамиды в б раз меньше: У =- 'г' — — — = — (см. «ОА оа,ос п.З замечаний 1.14). д) Высоту пиРамиды «а находим по формуле п.15: — — Гг7о ' «ол, ос е) Высоту Ь, треугольника ОАС, опущенную нз вершины А, находим по формуле п.14: «оа,ос з/270 ГОС~ 4~20 ж) Сначала найдем вектор л, перпендикулярный грани ОВС: г' К 2 1 — 2 в =[ОВ,ОС) = = 0.1 — 14. 7'-7. к . 3 -2 4 Затем вычислим угол ц~ между вектором ОА и плоскостью грани ОВС по формуле п.16: (ОА,ОВ,ОС) (ОАА,й) з[пЧг = ОА ° [ОВ,ОС] ОА .~в) 35 ч5 ЕЯ-нУ Г7У ч'5 т.е.
у = агсзш —. 67' з) Найдем вектор яз, перпендикулярный плоскости грани ОАС: 1 е =[ОА,ОС)= 1 3 -1 =10.ю'-7 7ч-11 1. 3 — 2 4 Вектор л, перпендикулярный грани ОВС, найден в п."ж". Искомый угол б вычисляем по формуле п.17: ((1в, л) 1 НВ! сов б= 5 Зч'6 (ОВВХ) -г сову = Цв 3 Заметим,что сов а+сов Д+сов у=(з7'+(з)з+(-гз) =1 (см.разд1.35). м) Алгебраическое значение лр — ОА длины проекции находим по ов формуле п.7 ( а = ОА, Ь = ОВ ): — ~ОА.ОВ 1 1 1 1(-1Ц-В 7 О,В З 3' 5 т.е. б = агссов —. Зч6 и) Радиус-вектор ОМ находим по свойству 4 аффинных и выпуклых комбинаций (см.
Равд.1.6.1): — 1 — 1 — 1 — 1г, -~ 1г ОМ = — ОА+ — Ов+ — ОС= — ~1.(+3.7-1 Х)+ — (2 1+1.,(-2 й 1+ 3 3 3 3 3 1г -, -, -~ -. 2т 1— +- (3 1-2.г+4 1)=г.г'+- 7+- й. 3 3 3 к) Радиус-вектор ОУ находим по свойству 2 аффинных и выпуклых комбинаций (см. равд.1.6.1): — 4 — 3 — 4I —, -, -~ 3( - 2т 1-1 ОУ = —.ОА+- ОМ = — 11 в+3 г-1 х)+ — ~г.г+- 7т+- А ) = 7 7 7 7 ~ 3 3 10т -, 3— = — 1+2 7' — я. 7 7 л) Направляющие косинусы вектора ОВ находим по формулам пвс (ОВЯ) 2 1+1 О+(-2) 0 2 сова = — -' ~ОВ~ гз+1з+( 2)з З ' 11 совр= з н) Искомую ортогональную проекцию лрп ОА найдем по формуле п.8 ( л = ОА, Ь = л ), используя вектор л, найденный в п. "ж": — — ЯА,л) 1.0+3 (-14+ — 1 ° -7) ( -, ( ) -, ( ) -) (л,л) Оэ+( 14)з+( 7)' =2 г+1.
о) Най,пем координаты вектора АВ и его длин)с АВ = ОВ - ОА = (2 7+ 1 1- 2 Х)- (1 ! + 3 ~'-1 к )= 1. 7+ 4 7' — 1 К; ~АВ~= /1 4 ~~-1) =ЗГ2. АВ 1 -, 4 -. 1 а затем искомый вектор е = — = — э + — тт — к . ~ АВ ~ ЗтГ2 ЗэГ2 ЗтГ2 п) Найдем координаты вектора АС и его длину АС=ОС вЂ” ОА=(3 ~ — 2.Г'+4.к)-(1 г+З.у-1.К)=2.~-5 от+5.К; ~АС~ /2 +~-5г 5 3/6, а затем искомый вектор =Н вЂ” Зэ/2 ! -. -. -~ 2 - 5 -, 5 АС= — 12 1-5 г+5 1)=-в 1 — -л 7+ —.М. ° 1.6З. Приложении векторной алгебры в механике Опишем применение векторной алгебры в механике для решения задачи приведения системы сил.
Будем использовать элементарные механические понатия, опираясь иа их физический смысл, не придерживаясь формального изложения теории. В частности, сипы будем рассматривать как скользящие векторы (см. п.5 замечаний 1.1), не определяя вх свойства аксиомами, как зто принято в теоретической механике. Положение точки А твердого тела будем задавать ее радиус-вектором г = ОА с началом в некоторой заданной точке О пространства.
Силы, действующие на тело, будем обозначать прописными буквами (например, сила Р). Напомним, что сила является не свободным, а скользящим вектором (см. п.5 замечаний 1.1). Силу можно переносить, не изменяя длины и направления, только вдоль содержащей ее прямой (вдоль лилии дейавеия силы), при этом механическое воздействие силы на тело остается неизменным [6). Поэтому, задавая силу Р, указывают точку ее приложения (либо линию ее действия). огоменаньн снам Т, приложенной в точке А, относительно центра 0 называется векторное произведение [т, Т) радиус-вектора т = ОА на силу Р (рис 1 62 а) и обозначается йго(Р) = [ т, Т) .
Из определения векторного произведения следует, что модуль момента силы равен произведению модуля силы на расстояние ОР от точки О до линии действия этой силы, называемое влечем (рнс.1.62а): [вг (Р)~=~[т,р[[=[т~.~р~ зш<р=ОР~ Р'~. вг Р =[т,Р] Рас.1.62 Система сил Р;, Р,..., Р'„, приложенных к твердому телу, характеризуетса главным веннюром: Р1+Рг+-+Р и главным мвменюом оюносганельно аючкн О: Мо =юой+нго[рг)+-'+ого(~а) [т1'Ч+[тг рг[+-'+[тл,Рп)' (1.25) где Р = ОА,,...„т„=ОА„— радиус-векторы точек А,,А,...,А„приложения сил Р;, Р',..., Р„.
В (1.24) сложение сил выполняется как сложение свободных векторов (см. равд.1.1.2). Парой снл (рис.1.62,6) называется система двух параллельных сил Р и -Р (линии действия которых параллельны). Главный вектор пары сил, разумеется, нулевой. Найдем главный момент.
По формуле (1.25), учитывая свойства векторного произведения, получаем М=[т,,Р)+[тг,-р)=[т1,Р1-[тг,р[=[т1-тг,7)=[а.Р1, (1.26) где а = т -т = А А, . Как видим, главный момент пары сил не зависит от точки 0 (поэтому она и не указана в (1.26)). Следовательно, момент пары сил — свободный вектор, который может быть приложен к любой точке.
Механическое воздействие на тело различных пар сил с одинаковыь1 главным моментом одно и то же [61. 1Об ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К ТВЕРДОМУ ТЕЛУ Рассмотрим задачу ириввдвиня сисшаиы сил, которая формулируетсл ледующнм образом. Пусть к твердому телу в точках А,, А,..., А„, определяемых радиус-векторами г = ОА,,7 = ОА,...,г„=ОА„, приложены силы р;, гз,..., г„соответственно. Требуется упростить эту систему сил, т.е. заменить ее минимальным количеством сил так, чтобы их механическое воздействие на тело совпадало бы с действием заданной системы сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
