Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Следовательно, с = -б, что и требовалось доказать. Доказательство остальных свойств приведено ниже (см. п.1 замечаний 1.13). Замечании 1.12. 1. Свойства аддитивности и однородности векторного произведения означакгг линейность ееюнорного произведения но нереому мионснтелю: (а.а+р.Ь,~=а.(а,~+р (Ь,~~ для любых векторов а, Ь, с и любых действительных чисел а и р. 2 В силу антисимметричности векторное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно но любому мнонсителю.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1. Модуль веюнорного лроизведения численно равен нлощади нараллелограмиа, настроенного на мнознижелях (рис.1.42,б). 2. Векторное нроизведение равняется нулеваиу вектору тогда и жалько тогда„когда множители коллинеарны, т.е.
[аЬ)=о е> а1Ь, в частности, [а,а1= о . Первое свойство следует из определения. Докажем второе свойство. Равенспю [а ЦЬ~ зш<р=О возможно в трех случаях: а =о, или Ь =о, или ыпИ=О. В каждом нз этих случаев векторы а и Ь коллинеарны (см. разд.1.1.1). 70 Пример 1.19. Вычислить площади параллело.рмма и рус н ~ по расиных на ве ор 'У у=т+2 л, д =т-З.«, где [т~ =3, [й~ = 2, угол и Р между векторами т и л равен — (рис.1.44). Ряс.1.44 б П Используя алгебраические свойства, найдем сначала векторное произведение [р,а[=[т+2 л, т-3 й[=[т, т-3 й[+[2 л, т-3 й[= =[т, т -З.й[+2 [л, т-З.л[=[т, т)-3 [т, й[+2.[[й, т[-3 [л.
й[)= = [т, т[ — 3 [т, й[+ 2 [л, т[ — 6.[й, л[ = -5 [т, й[, в -1Н, «~ о а затем его модуль [[р, д)~ =[-5[.[[т,й)~=5 ~т~ ~л ~ гйп — =5.3 2 — =15. и 1 б 2 По первому геометрическому свойству векторного проюведения искомая площадь параллелограмма равна Я =15, а площадь треугольника в 2 раза меньше: Я =- Я =-. ° 1. 15 а 2 ь 2 ' ВЫРАЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО НРОИЗВЕДЕНИЯ ЧЕРЕЗ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис ь', (,/с.
Векторные произведения базисных векторов находятся по определению: .1 [ь',Я=/с; [ь,Ц=ь'; [А,ь[= ь'; [,Г, 1[ = -Х; [Х, Я = -ь'; [ь', Ц = — ь'; (1.14) Рис.1.45 [ь', ь' [ = Ц, Я = [1, Ц = о . Формулы (1.14) можно получить, используя диаграмму (рис.1.45): если на этой схеме кратчайший поворот от первого множителя ко второму совершается в положительном направлении (указанном стрелкой), то проюведение равно третьему вектору, а если — в отрицательном направлении, то произвеление равно третьему вектору, взятому со знаком минус (противоположному вектору). Найдем выражение векторного произведения через координаты множителей.
Пусть в стандартном базисе ь', [,1 векторы а и Ь имеют коор- ДииатЫ Х,, У,, Хь И Х, У, 2 СООтВЕтСтВЕННО. ТОГДа, ИСПОЛЬЗУЯ ЛИНЕйНОСтЬ векторного произведения по любому множителю (см. п.2 замечаний 1.12) и формулы (1.14), получаем [а, ь[ =[х,.ь + У, '(+ х,.х, хь '+ Уь ')+хь '"[ = 21 хь Й.ьь)+х уь'И.Л+х г Й.И+у хь'ОЯ+у уь'0 Л+ +У гь 'Й к)+г хь '(к'1+2 Уь '(к Л+г гь '(к к) =ь '(У,гь — Уьг )-У (х гь -хьг )+к.(х Уь-хьу ). Запишем зто рааенспю при помощи определителей второго порлдка: х, г, — х, (1.15) Правую часть (1.15) можно предствлить как результат разложении симаоли- ческого определители третьего парилка по первой строке х, у, г, хь Уь гь Теорема 1.8 (формула вьзчвелеввв иеитервеге произведении). Если веюноры а и Ь в цравст ортоноратроеаннаи базисе 1, 1, А имеют координаты х,, у,, г, и хь, уь, гь соответственно, то векторное нроизведение этих векторов находинюн но фораьуле (1.15), конюрую нринлто зонисыаинь в виде (1.16) Га,Ь1= х, у, гь Ес™ а =(х, У, г,)~ и Ь=(хь Уь гь7 — кооРдинатные столбцы векторов а и Ь в снюндарниньм базисе, то координаниьыб сннтбец с =(х, у, х,)) векторного нроизведения с = (а,Ь1 находинмзь но формуле О х, О -х, -у, х, О В самом деле, выполнил умножение матрицы на столбеп„получаем У гь Уь'г Хьх -Х, гь х.
Уь-хь у. ьда с=(а,ЬЬ)=(у, гь-уь.ге).3+(хьг,-хе гь) Ук+(хд Уь-хь У,) А, что совпадает с (1.15). 72 Пример 1.20. АВСО построен О С АВ = !+2.]+2.Ь, [рнс.146). Найти: А В а) векторные произведения [АВ, АО] ! и [АС,ВО]' Рггу.1.46 б) площадь параллелограмма АВСО; в) направляющие косинусы такого вектора л, перпендикулярного плоскости параллелограмма АВСО, для которого тройка АВ, АО, л — ле- П а) Векторное произведение [АВ, АЩ находим по формуле (1.16): Параллелограмм на векторах АО=З ~-2 )+Гс 1 Г 1 2 2 — у +/с ° =б.!+5 ]-8 А. [АВ, А.Щ = 3 -2 1 Для нахождения векторного произведения можно использовать мат- ричную запись формулы [1.15) [см.
теорему 1.8). Векторам а=АВ и Ь = АО соответствуют координатные столбцы г). ь=( По указанной формуле получаем координатный столбец с вектора с=[о Ь]: 0 3+(-2) (-2)+ 2 1 2.3+О (-2)+( — 1).1 ( — 2) 3+1 (-2)+0.1 2 0 -1 -г) т.е.
с=[а,Ь]=6 г+5 г'-8 Ь.результатысовпадают. Векторное произведение [АС, ВО] находим, используя алгебраические свойства: [АС, ВЩ=[АВ+АО,АΠ— АВ]=[АЗ,АЩ-[АВ,АВ]+[АО,АО]-[АО АВ]= к Л 1лв хо) =[АВ, АО]+[АВ, АО] = 2 [АВ, АО]. Следовательно, [АС,Вщ=2.(6 и+5.3-8.Г)=12 г'+10 3-16.К. 73 6) Площадь параллелограмма АВСВ находим как модуль векторного произведения [АВ, АВ): с,=)!ааас!)=)с 1+5 7-~ с)=,/~*+~*+~-~)' =|о . в) Вектор, противоположный вектору [АВ, А17], удовлетворяет пере- численным в условии требованиям, поэтому л =-[АВ,АЩ= — (6 с'+5.3-8.7с)= — 6 с' — 5.)з+8.1 . Разделив этот вектор на его длину ) л ( = ~ [АВ, АО) ~ = 55Г5, получим единич- л -6 5-5 7'+8 1 б -.
5 -. 8 ный вектор: — = = —.Г- —.)т+ — 1. Согласно ) л ) 5 55Г5 55Г5 55Г5 -б [1.6), его координатами служат направляющие косинусы: сова= —, 5а'5 созр= — 1, сову= з . ° 1.5.2. Смешанное произведение н его свойства Смеьнанным произведением лектория а, Ь, с называется число ( а, [Ь,с)), равное скалярному произведению вектора а на векторное произведение векторов Ь и с . Смешанное произведение обозначается (а, Ь, с). ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1. Модуль смешанного ироизведения некомпланарных ветл оров а, Ь, с равен обеему У вЂ” параллелепипеда, построенного на этих векЕа,Ь,с жорах. Произведение (а, Ь, с) пололсительно, если тройка векторов а, Ь, с — правая, и отрицательно, если тройка а, Ь, с — левая, и наоборот.
2. Сиеинисное произведение (а, Ь, с) равно нулю тогда и только тогда, когда векторы а, Ь, с комлланарны: (- -= а,д,с)=0 еь векторы а,Ь,с компланарны. Докажем первое свойство. Найдем по определению смешанное произведение: (а,Ь,с)=[а ~ [[Ь,с)[ созж, где ж — угол между векторами а и [Ь,с) .
Модуль векторного произведения (по геометрическому свойству 1) равен площади 5 = параллелограмма, построенного на векторах Ь и с: ЬЬс 74 ([Ь,снЬ! ~ с).з1п<р = б =. Поэтому (а,Ь,с)=б„=.~а ~ сощ. Алгебраическое значение (а ~ созц» длины проекции вектора а на ось, задаваемую вектором [Ь.сь, равно по модулю высоте Ь=(а Нсоз1р~ параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь,с (рис.1.47).
Поэтому модуль смешанного произведения равен объему У вЂ” этого параллелепипеда: »Е,Ь,Р ((а,ЬЙ=Б»= РН .»И(=Б»ь- "=".-ь-. 3нак смешанного произведения определяется знаком косинуса угла 1у. Если тройка а,Ь,с правая, то ц» < — и смешанное произведение 2 Ь (а,Ь,с) положительно. Если же тройка и а, Ь,с левая, то ц» > — и смешанное произ- 2 О ведение (а,Ь,с) отрицательно. Докажем второе свойство. Равенспю Риь. К47 (а,Ь,Е)=[а[.[[Ь,с)[ соз1у=О возможно в трехслучаях: а =о,или [Ь,с)=о (т.е.
Ь |~с),или созИ=О (т.е.вектор а принадлежит плоскости векторов Ь и с ). В каждом случае векторы а, Ь, с компланарны (см. равд.1.1.1). АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 1. При нерестановке двух множителей смешанное нроизведение изменяет знак на нротивололожный: (а, Ь,с) =-(Ь,а,с), (а, Ь,с)=-(с, Ь,а), (а, Ь,с) =-(а,с,Ь); нри циклической (круговой) нересониизвке множителей смешанное произведение не изменяется: (а,Ь,с)=(Ь,с,а)=(с,а,Ь). 2. Смешанное нроизведениелинейно но любому множителю. Первое свойство следует нз геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. равд.1.3.3), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется. Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.
75 Пример 1Л1. Объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ь, с . равен У . Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах р=а+Ь+с,д =а+Ь-с,г =а-Ь+с. П Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем сме- шанное произведение (р,д,т)=(а+Ь+с,а+Ь -е,а-Ь+с)= = (а, а + Ь вЂ” с, а — Ь + с )+ (Ь, а + Ь вЂ” с, а — Ь + с )+ (с, а + Ь вЂ” е, а — Ь + с ) = =(а,а,а -Ь+с +(а,Ь,а — Ь+е) — (а,е,а-Ь+с)+ о +Ь.т.с-ь+ )+~,ь,ю-ь -)-с,с,с-ь о +Кс,с-ь+ Ц.ь.с-ь )-)ссс-ь+.)= о = (а, Ь, а - (а, Ь, Ь~+ (а, Ь, с )- (а, с, а )+ (а, с, Ь )- (а, с, с )+ о о о о + ~, а, а )- ~, а „Ь )+ (о, а, с)- (сс, с, а )+ (Ь, с, Ь )- (Ь, с, с)+ о о о о + (с, а, а)-(е, а, Ь)+ (с, а, с)+ р, Ь, а)- ~с, Ь, Ь)+ (е, Ь, с = о о о о =(а, Ь,с)+(а',с,Ь)+ГЬ,а,е — (Ь,с,а1 — (с,а,Ь +(с,,Ь,а = — 4 (а,Ь,с), -(а, Ь,с) -(с, Ь, с) Га,Ь отс) (а, Ь.
с) -(а,Ь, с) а затем его модуль )(р,с),Р)(=)-4( ((а,Ь,с)(=4.г . По первомугеометри- ческому свойству смешанного произведения искомый объем равен 4. У . ° х, у, г, а, Ь, с ) = хь уь х, у, (1.17) В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определенню находим: х, ь'+у, 3+с,.К,Г "ь ь -ь ь ~+1 7б Теорема 1.9 (формула вычислении смешанного произведении). Если векторы а, Ь, с в правам ортонормированном базисе с', ),(с имеют «а'Уа'Хс' ХЬ УЬ'ХЬ' Хс'Ус'Сс ЕООНМЕСПСНЮЕННСЬ та ЕМЕ исанное произведение этих векторов находится по фо)пауле -у. ~ ~+г, ~ ~ =«ь уь с с е что и требовалось доказать. Замечании 1.13.
1. Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторного произведения по первому множителю (см. п.1 замечаний 1.12 в разд.1.5.1): [а а+р Ь,с]=а.[а,ц~+р.[Ь,с[. Для этого найдем скалярное произведение вектора в левой части равенства и единичного вектора г стандартного базиса. Учитывая линейность смешан- ного произведения по второму множителю, получаем (1,[а.а+р Ь,сз)=(г,а.а+р Ь,с)=а (г,а,с)+~3 (г,Ь,с)= = а (г,[а,с[)+ [5 (г'.[Ь,с[)= (и',а [а,с1+ [3.[Ь,ц~), т.е. абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства рав- на абсциссе вектора в правой его части [см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
