Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 8
Текст из файла (страница 8)
вектор имеет неравные координаты относительно разных базисов. ° 1З.2. Базис иа плоскости. Координаты вектора иа плоскости Базисом на ллоскас2нн называются два неколлинеарных вектора е,, е на этой плоскости, взятые в определенном порядке (рис.1.29). Эти векторы е,, е называются базнснммн. Пусть на плоскости задан базис е,, е . Построим прямые 1, и 1, содержащие базисные векторы е, и е соответственно. Эти прямые пересекаются, так как базисные векторы неколлинеарные. Согласно п.1 теоре- 42 (1.3) Теорема 1.4 (о разложении вектора по базису на плоскости). Любой ввюнор а, нринадлвжаият" нлоскости, мажет бьинь разложен но базису в,,в на этой плоскости, т.е. нрвдставлвн в виде (1.3), гдв числа х и хз рд од Коэффициенты х, и х в разложении (1.3) называются координатамн вектора а относительно базиса в,,в (число х, называют абспнссой, а хз — ордннатой вектора а ).
Например, числа 2 и — 3 являются координатами вектора а = 2.в, — 3 е (х, = 2 — абсцисса, х = — 3 — ордината вектора а=2в-Зв). 1 2 Базисные векторы в,, е, отложенные от одной (произвольной) точки плоскости, называются репером на нлоскости [2,3,14). ОРИЕНТАЦИИ БАЗИСОВ НА ПЛОСКОСТИ Базис на плоскости называется правым (или, что то же самое, упорядоченная пара неколлинеарных векторов называется правой парой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки (зто направление поворота считается положительным).
Базисные векторы в,,в (рис.1.30,а) правого базиса расположены соответственно как большой и указательный пальцы правой руки, если. смотреть на ее ладонь. АЗ мы 1.1, ВЕКТОР а МОЖНО ПРЕДСтаВИтЬ В ВИДЕ а = а, + аз, ГДЕ а, — ПРОЕКЦИЯ вектора а на 1, вдоль 1; а — проекция вектора а на 1 вдоль 1,, причем проекции определяются однозначно. ВектоР а, принадлежащий прямой 1,, можно разложить по базису в, на этой / а а / прямой (см. Равд.1.3.1), т.е. предста/ / вить в виде а1 = х. в,, причем число х / в / определяется однозначно. Вектор а, е, / — / принадлежащий прямой 1, можно 1 разложить по базису в на этой пря- Рксдлл мой (см. Равд.1.3.1), т.е. представить в виде а = х в, причем число х определяется однозначно.
Подставляя эти разложения в равенство а = а +а, получаем Х2 Е2+Хз'Вз Таким образом, справедлива следующая теорема. Левым базисом на плоскости (левой ларой) е е, называется такой базис, у которого кратчайший поворот от вектора е, к вектору е происходит по часовой стрелке (такое направление вращее ния считается отрицательным). Базисные вектов ры е,,ег (рис.1.30.б) левого базиса расположеРнс 1.30 ны соответственно как большой и уыпательный пальцы левой руки, если смотреть на ее ладонь.
О е, Пример 1.9. В параллелограмме О С ОАСВ: точка 2т делит сторону АС в отношении АЖ: с(С = 2:1; точка Э вЂ” се- — ~~, (3 редина стороны ВС; М вЂ” точка пересечения медиан треугольника ОАВ ~ М (рис.1.31). Разложить векторы Ж0 и МФ О а А Ряс.1.31 по векторам а =ОА и Ь =ОВ. П Чтобы разложить вектор ЛЮ, применяем правило ломаной: вектор ОО замыкает ломаную ОВО и ломаную ОАЬ(О. Поэтому ОО = ОВ+ ВО и 00=ОА+А)(1+М), т.е.
ОВ+ВО=ОА+Ас(+М). Выразим все векторы этого равенства, за исключением искомого вектора МВ, через векторы а и Ь . Учитывая, что ВО =.1" ВС =-1" а; Ас( = а. АС = л. Ь, получаем 2 2 ' 3 3 г Ь+-' а =а+ 2.Ь+М). Отсюда М)=Ь+-' а — а -- Ь . Приводя подобг' з' 2' З' ные члены, окончательно получаем МЭ = — ' а+2" Ь .
2 3 Так как точка Д пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую диагональ пополам, а точка М делит медиану ОД треугольника ОАВ в отношении ОМ: МО = 2: 1, заключаем, что ОМ: ОС = 1: 3, т.е. ОМ =~з ОС =.з~ (ОА+ОВ)=~з (а+Ь). По правилу сложения векторов имеем ОМ+ МИ = ОА+ Ас(.
Следовательно, -' (а +Ь)+МИ =а+2~ Ь . Отсюда находим искомое разложение МУ=а+ э Ь -1 1а+Ь1=2 а+1.Ь. ° Отметим следующее свойство: если неколлинеарные векторы а, Ь образуют яровую лару, то лары, лояучаюи1иеся лерестановкой векторое (лара Ь,а) или заменой одного вектора лротивололожным (налример, а, (- Ь )), образуют левую лару. 1.3.3. Базис в пространстве.
Координаты вектора в пространстве Ряса.эг х е, + "г'ег+ "з'ез. (1.4) Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 1.5 (о разложении вектора по базису в пространстве). Пюбой вектор а может быть разяолсен по базису в,в,е в пространстве, т е. представлен в виде (1.4), гдв числа х,, х, х определяются однозначно. Коэффициенты х,, х, х в разложении (1.4) называкпся координатами вектоРа а относительно базиса в,,вг,ез (число х~ называют абс Массой, хг — ордннатой, а х — аннликатвй вектора а ).
Например, числа 45 Базисны в пространства называются три некомпланарных вектора в, в, вз, взятые в определенном порядке (рис.1.32). Эти векторы в,, е, в ~ ° г з называются базиснммн. Пусть в пространстве задан базис е,,вг,е . Построим вз прямые 1,, 1, 1, содержащие базисные векторы в,, е, в соответственно. Без ограниче- / ния общности можно считать, I l А что зги прямые пересекаются в аз l одной точке (в противном слу- г а чае можно было выпь любые г I пересекающиеся в одной точке а г прямые 1,, 1, 1, параллель- г г ные прямым 1,, 1, 1 соответственно, поскольку проекции вектора на параллельные пря- 1, мыс равны (см.
свойство 1 проекций в равд.1.2.2)). Тогда любой вектор а можно однозначно представить в виде суммы своих проекций: а = а + а' + аз, где а, аг, аз — векторы, принадлежащие прямьпв 1, 1г, 1з соответственно (см. п.2 теоремы 1.1). Раскладывая проекции а,, а, а по базисам на соответствующих прямых (см.
равд.1.3.1), находим: а, =х, в,, аг = хг . е, а = х е . Подставляя эти разложения в равенспю а =а, +аз+а,, получаем 3, 2, — 1 яалвотся координатами вектора а = 3 е, +2 е -е (х, = 3 — абсцисса, хз =2 — ордината, х =-1 — аппликатавектора а =3 е,+2 е -е ). Базисные векторы е,,ез,е, отложенные от одной (произвольной) точки, называются ренерем [2,3,14).
Замечании 16. 1. Базис на прямой, на плоскости, в пространстве определяется неоднозначно. Например, если е,, е, е — базис в пространстве, то система векторов Щ,2ез, Хез при любом Х в О ~~~~с ~~~~~~с~ базисом. 2. Следующие свойства выражают геометрический смысл линейной зависимости и линейной независимости векторов: а) два (и более) коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны; два линейно независимых вектора не ксллинеарны; б) три (и более) комнланарных вектора линейно зависимы, н наоборот, три линейно зависимых ееюнора комнланарны; три линейно независимых вектора не комнланарны; в) четыре (и более) вектора линейно зависимы. Докажем, например, последнее свойство.
Пусть а, Ь, с, ~7 — произвольные векторы. Если первые три вектора а, Ь, с линейно зависимы, то н вся система а, Ь, с, с7 — линейно зависима (см. свойство б в разд.1.1.3). Бели же векторы а, Ь, с линейно независимы, то согласно п.2,"б" онн не компланарны и, следовательно, образуют базис в пространстве. Тогда вектор ~Т можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде линейной комбинации векторов а, Ь, с . В этом случае система векторов а, Ь, с, а также линейно зависима (см. свойство 4 в разд.1.1.3).
3. Понятие базиса непосредственно связано с понятием линейной независимости. Базис представляет собой упорядоченную совокупность линейно независимых векторов: на прямой — это один линейно независимый вектор (см. п.1 замечаний 1.2); на плоскости — это два линейно независимых вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке (см. п.2,"а"); в пространстве — это три линейно независимых вектора, взятые в определенном порядке (см. п.2,"б").
4. Теоремы 1.3-1.5 позволяют говорить, что базис — это нолная система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве) в том смысле, что любой вектор (на прямой, на плоскости, в пространстве) линейно выражается через базисные векторы. 46 5. Теоремы 1.3-1.5 позволяют говорить, что базис — зто максимальная линейно независимая система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве), так как базис — это линейно независимая система векторов, и ее нельзя дополнить каким-либо вектором без потери линейной независимости.
б. Базис — зто полная линейно независимол система векторов (на прямой, на плоскости, в пространстве). отнкнтлции нлзисов н пюсплнствн Базис в пространстве называется правмм (или, что то же самое, упорядо- 1 ченная тройка некомпланарных векторов ез называется правой тройкой), если, наблюдая из конца третьего вектора, кратчай- р, ез шнй поворот от первого вектора ко второ- ез му виден происходящим против часовой стрелки (рис.1.33,а). Если описанньй поворот виден происходвцим по часовой стрелке, то базис называется левым (упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левой тройкой) (рис.1.33,6).
Отметим следующие свойства: если тройка некомнланарных веюнорое а, Ь,с — правая, то тройки, пагучаюигиеся "циклической" перестановкой трех векторов ( Ь, с, а; с, а, Ь ) — также правые, а тройки, псяучаюиуиеся перестановкой двух веюноров (В,а,с; а,с,Ь; с,Ь,а) или заменой одного вектора противоположным (например, а, (-Ь), с ) -левые. 1ЗА. Линейные операции в координатной форме Равенспю векторов и линейные операции (сложение векторов и умножение вектора на число) удобно представлять в координатной форме. Прн этом справедливы следующие свойства 1.
Равные векторы имеют равные координаты (в одном и таи же базисе). 2. Каждая координата суммы векторов равна сумме соответствуюи1их координат слагаемых. 3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению этого числа на соответствуюи(ую коордшнипу вектора. 4. Каждая координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации соответствукпцик коордитин векторов. Докажем, например, последнее свойство. Проекция линейной комбинающ векторов на прямую, содержащую базисный вектор е,, равна линейной комбинации проекций векторов (составляющих линейную комбинацию) на эту прямую (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
