Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 5
Текст из файла (страница 5)
а+о =а; 4. а+(-а)=о; 5. (аР) а=аФ а): б. (а+[3) а =а.а+р.а; 7. а (а+Ь) =а.а+а.Ь; 8. 1 а=а. Свойства 1, 2 выражают коммутативность н ассоциативность операции сложения векторов, свойство 5 — ассоциативность операции умножения на число, свойства 6, 7 — законы дистрибугивности, свойспю 8 называется унии [10). Свойства линейных онераций устанавливают такие же правила действия с веюнорами. как с алгебраическими выражениями. ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ ВЕЕГОРОВ Применяя линейные операции, можно составлять суммы векторов, умноженных на числа.
Вектор а называется линейной комбинацией векторов а,, аз,..., аэ, если он может быть представлен в виде а =пэа1+«эаэ+...+пэна, где а,, аэ,...„а„— некоторые числа. В этом случае говорят, что вектор а разложен но векторам а,а „...,а, а числа а1,аэ,...,аэ называют коэффициентами разложения. Линейная комбинация О а, +О а +...+О а с нулевыми коэффициентами называется тривиальной. Отметим следующие свойства линейных комбинаций векторов. 1. Если векторы аы аэ,..., аэ — коллинеорны, то любая их линейная комбинация им колэи неарнгь 2. Если векторы а,, а,, а — комнланарны, толюбая ихлинеиная комбинация им колиианарна. Докажем, например, первое свойство. При умножении вектора на число получаем (по определению) вектор, коллннеарньй данному. При сложении двух векторов, параллельных некоторой прямой, получаем (по определению) вектор, параллельный той же самой примой.
Поэтому линейная комбинация а,а1 + а а двух коллинеарных векторов а, и а коллинеарна им. По индукции свойство распространяется на любое конечное число коллинеарных векторов. Аналогично доказывается второе свойство. 23 1.1З. Лниейнан зависимость н лннейнан независимость векторов Набор векторов а,, а,..., а, называетсл системой векторов. Система из 1 векторов а,,а,...,ал называется линейно зависимой, если существуют такие числа а,,аз,...,ал, не все равные нулю одновре- менно, что а, а,+а .а +...+а .а =о. (1.1) Система нз 1 векторов а,,а,...,а называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при а, =аз =...=ах =О, т.е.
когда линейная комбинация в левой части (1.1) тривиальная. Замечании 12. 1. Один вектор а, тоже образует систему: при а, = о — линейно зависимую, а прн а, Ф о — линейно независимую. 2. Любая часть системы векторов называется нодсистемой. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫХ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫХ ВЕКТОРОВ 1.
Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима. 2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима. 3. Если в системе векторов имеетсл два нролорциональных вектора (а, =Аа ), то она линейно зависима. 4. Система из 1 >1 веюноров линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальньсс 5.
Любые векторьь входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую надсистему. б. Система векторов, содержащая линейно зависимую надсистему, линейно зависима. 7. Если система векторов а„а,...,аг линейно независима, а лосле нрисоединенил к ней вектора а оказывается линейно зависимой, то вектор а можно разложить ло векторам а,,а,..., аь, и притом единственныи образам, лье.
коэффициенты разложении находятся однозначно. Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов а,,а,...,а,а линейно зависима, то существуют числа а,,аз,...,аг,а, не все равные О, что а1а, + а а + ...+ а а + аа = о . В этом равенстве а е О. В самом деле, если а = О, то а1а, + а а +...+а а =о . Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов а,,а,...,а равна нулевому векто- 24 у что противоречит линейной независимости системы а,, а,..., а .
Сле- а, аь довательно, а а 0 и тогда а = — а, —...— а, т.е. вектор а есть линей- а а ная комбинация векторов а,, аз,..., а, . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения а =а,а, +...+а,а и а =~,а, +...+5Д, причем не все козффипненты разложений соответственно равны между собой (например, а, а р, ). Тогдаизравенстаа а1а,+...+а а =51а,+...+Ца получаем (а,-р,) а,+...+(а,— 13„) а,=о. Следовательно, линейная комбинация векторов а,, аз,..., а равна нулевому вектору. Так как не все ее козффициенты равны нулю (по крайней мере а, -Д, а О), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов а,, а,..., а .
Полученное противоречие подтверждает единственность разложения. Пример 1З. Параллелограмм ОАСВ построен на векторах ОА и ОВ; точки М н У вЂ” середины сторон АС и ВС соответственно (рис.1.11). Требуется: О А К а) найти линейные комбинации гасллз 1.ОВ+з- ОА; 1 ОА+зз ОВ; лз ОА+2 МФ; б) доказать, что векторы ОА, ОВ, МФ линейно зависимы. П а) Так как -' ОА = В)т', то по правилу треутольннва: 1. ОВ+ ф ОА = ОВ+ ВИ = ОИ . Рассуждая аналогично, получаем: 1 ОА+з ОВ=ОА+АМ=ОМ. Построим вектор ОК=ф ОА.
Из равенства треугольников АКМ и СМ)т' следует, что К)У = 2 МФ. Тогда л ОА+2 МИ =ОК+К)т' =0)т'. б) Учитывая, что АВ = 2 МФ и АВ = ОВ - ОА, получаем: 2 МИ = О — ОА. Перенося векторы в левую часп, приходим к равенству 1 ОА+( — 1) ОВ+2 МИ =о, т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов ОА, ОВ, МЖ равна нулевому вектору. Следовательно, векторы ОА, ОВ, МЖ линейно зависимы, что и требовалось доказать. ° 1.2. ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРОВ И ИХ СВОЙСТВА 1.2.1. Отношение коллииеариых векторов свойства отношхний коллинилрных внкто1чзв Для любых коллинеарных векторов справедливы следующие свойства. 1. Отношение любых коллинеарных векторов а и Ь а о онредвле- Ь но однозначно.
2. Арифметические дейсвтия с отношениями коллинварных векторов аналогичны действиям с числовыми дробями, а именно для любых коллинеарных векторов снраввдливы равенства: а+Ь а Ь а) — =-+- (сао); б) (Ь ио); с с с а Ь а с а с Ь Ь (Ь мо, с Фо). (Ьао, смо); г) в) Ь Ь с В данном разделе рассматриваются векторы, коллинварныв заданной прямой, т.е. принадлежащие или параллельные ей. Согласно определению (см.
разд.1.1.2), при умножении данного векто- ра на число получаем вектор, коллинеариый данному. Можно определить и "обратную" операцию — "деление коллинеарных векторов". Отношением коллинварных векторов а и Ь Ф о называется дейст- вительное число, равное по модулю отношению длин зтнх векторов, поло- жительное, если векторы а и Ь одинаково направленные, и отрицательное, если векторы а и Ь противоположно направленные: а ~ ~аЦЬ!, а)ТЬ, Ь ~-~аЦЬ|, ЕТ4 Ь. а По определению равенство = = Л эквивалентно равенству а = ЛЬ для Ь любых коллинеарных векторов а и Ь и о . Например, найдем отношения коллинеарных векторов, изображенных на рис.1.6: — — — — АМ УЬ 1 АЬ(:МЬ=1; АИ:ВМ= — 1; ==== —; СЬ:ВЬ=-1.
АС АС 2 Докажем первое свойство. Предположим противное. Пусп й: Ь = Л и й Ь = р, причем Л й (а. Тогда й = ЛЬ и й =рЬ, т.е. ЛЬ = рЬ, и следовательно, (Л-р).Ь = й . Разделив обе части равенства на число Л -)з;с О, получим Ь =й, что противоречит условию Ь йо. й Докажем, например, последнее равенство (свойство 2,г). Пусть -= Л с Ь й Л и — = р, тогда й = Лс» Ь = рс .
Надо доказат~, что ~ = †. Найдем отно- Ь шение длин векторов = = — . По определению получаем й , где знак плюс берется, если й ТТ Ь, а минус — при й Т ( Ь . Если Ь 1р!' й Л асе векторы одинаково направлены, то Л > О, )ь > О, поэтому = = — . Если Ь )ь й (Л) Л йТьс и Ь ТЗс,то йТТЬ и =+ = —,так как Л<О и )ь<0. Если Ь (И) Н й Л йТТс и Ь Т) с, то й Т~ Ь и =- = —.
Если пас и Ь ТТс, то Ь (И )ь й (-л) й Л а ТЬ Ь и = = — — — = — . Таким образом, во всех случаях получаем = = —, И )ь Ь что и требовалось доказать. Пример 1.4. Диагонали трапеции АВСП 1э высекают на ее средней линии Мс( отрезок К1 (рис.1.12). Найти отношения векторов И.:АВ, П.:Со, МФ:КБ,если С11:АВ=Л. К Е П По свойствам средних линий треугольника и трапеции находим отношения коллинеарных векторов: КФ: АВ =-' (так как А В 2 гася.ш йТТ АВ); Ы:СП= — ' ( ~МТЪ СР ) МК: С11 = — з (так как МК Т ) СВ ). Отсюда следуют соотнопе я МИ= МК+КИ= — ' СО+-' АВ; К1.=КИ-и~=-' АВ+-' СП. з 2 ' 3 2 Теперь, используя свойства отношений коллинеарных векторов, получаем ,кит проекция А, начала А, а концом — проекция В, конца В вектора АВ (рнс, 1 1 3 б).
Есаи плоскость и пеРпендикУлЯРна пРЯмой 1, то пРоекциЯ называется ортогональной. ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТЬ Пусть в пространстве задана плоскость и и пересекающая ее прямая т, Проекцией вектора а =АВ на плоскость н параллельно примой т (вдоль прямой т ) называется вектор а„= А„В„, началом которого служит проекция * начала А, а концом — проекция В конца В вектора АВ (рис.1.14). Если прямая т перпендикулярна плоскости и, то проекция называется ортогональной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
