Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 7
Текст из файла (страница 7)
На рис.1.23 изображены ортогональные составляющие вектора а: — относительно оси 1 (вектора е ): а„„а —, (рис.1.23,а); — относительно плоскости и: а „(рис.1.23,в). Для ортогональных проекций справедлива следующая теорема (см. теорему 1.1 в равд.1.2.2). Теорема 1.2 (еб ертегенальнык прееиниик вектора).
1. Если на плоскости заданы две взаимно перпендикулярные прямые 1, и 13, то любой вектор а на плоскости можно однозначно представить в виде суммы своик ортогональных проею1ий на эти прямые, т.е. а =яр~ а+яр~ а (рис.1.24,а). 2 2. Если в пространстве заданы три попарно перпендикулярные прямые 1ы 13 и 13, пеРесекаюи1иесп водной точке, то любой вектоР а в пРостРан- 36 .тве можно однозначно представить в виде суммы своих ортогональных проекций на эти прямые, т.е. а =пр, а+пр, а+пр, а (рис.1.24,б). ! 2 3 3. Квадрат длины вектора на плоскости или в пространстве равен сумме квадратов длин своих ортогонольных проекций, т.е. ~а~ 4)пр1 а~ +~пр1 а~~; ~й~ =)пр1 а~ +(пр1 а~ +)кр1 а~ Первые два угверждения представляют собой частные случаи теоремы 1.1. Третье утверждение следует из теоремы Пифагора (для треугольника ОА,А (рис.1.24,а) или треугольников ОА,А и ОА А (рис.1.24,б)).
В формулировке теоремы 1.2 прямые можно заменить осями, задаваемыми попарно ортогональными векторами. (г ПР1, 1 б Расд.24 На рис.1.24,а проекции вектора а на оси одновременно являются ортогональными составляющими: пр а = а,, пр, а = а, . На рнс.1.24,б вектор ОА является проекцией вектора а на плоскость и, содержащую прямые 1, и 1: ОА =пр а, а векгор А А является ортогональной составляющей вектора а относительно плоскости и: А А =а АЛГЕБРАМИ!СКОБ ЗНАЧЕНИЕ ДЛИНЫ ПРОЕКЦИИ Пусть ф — угол мезнду ненулевым аектораи а и осью, задаваемой вектором е Ф о, т.е.
угол между ненулевыми векторами а и е . Алгебраическим значением длины ортогональной проекции вектора а на ось, задаааемую вектором е о о, называется длина его ортогональ- ной проекции пр-,а, взатая с положительным знаком, если угол ц не пре- и и вышает —, и с отрицательным знаком, если угол ц! больше —, т.ег 2 2 ~пр;а~, Оьц!< —, 2 -~пр-,а~, — «рыл. Например, для проекций, изображенных на рис.1.25, преа >О, поскольку угол !р между векторами а и е острый, а пр-Ь < О, так как угол !р между векторами Ь и е тупой. Некоторые свойства проекций векторов переносятся на алгебраические значения их длин, в частности: 1.
пр- '1а + Ь )1= ир-а + пр-Ь вЂ” алгебраическое значение двины ортогональной проекции суммы векторов равно сумме алгебраических значений длин ортогональных проекций слагаемых; 2. пр-(Х а ) = Х. пр-а — алгебраическое значение длины ортогональной проекции произведения веюпора на число равно лроизведению этого числа на алгебраическое значение длины ортогональной проекции вектора. прка =~пр;а ~ =~!а !-соыр ! ! ! ! ! пр;а пр-Ь Расл.25 Замечания 1А. 1. Из определения алгебраического значения длины ортогональной проекции следует (см.
также рис.1.25), что прза = ~ а ~ сов <р, т.е. алгебраическое значение длины ортогональной проекции ненулевого вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус угла между вектором и осью. Ортогональную проекцию вектора а на ось, задаваемую вектором е е о, можно представить в виде 38 — 1 !а! сезар '!! !! Вски в — единичный вектор, то прка = праа с = ! а !.сов ~р в . 2. Равенство пр;а =!а !.сезар можно использовать как определение косинуса угла между пепулввымп векторам п а и Ь (или, что то же самое, косинуса угла между осами, заданными ненулевыми векторами а и Ь (рис.1.2б)): Щ„рлЬ созф = —" !а! !Ь! пр;Ь =!Ь! со р прь-а=!а! созч прь" гвен зе 3.
Углам между ненулевым векторам а и прямой 1 называется угол ф между вектором а и его ортогональной проекцией пр,а на прямую 1. и Величина угла <р (О < <р <- ) может быть найдена по формуле 2 4. Угломмежду ненулевым веюпором а и плоскостью а называется угол у между вектором а и его ортогональной проекцией праа на плос- и кость а. Величина угла у (О ьзу <-) может быть найдена по формуле 2 !проа! сову = !В! ' Пример 1.7. Основания АВ и СР равнобокой трапеции АВСР равны а и Ь соответственно; точка М вЂ” середина стороны ВС (рис.1.27).
Найти алгебраические значения длин ортогональных проекций векторов АМ и МР на ось, задаваемую вектором АВ . 39 — — †.п~р а В Ь М Рис.1.27 А а-Ь 2 Обозначим через у = пр — М0 искомые алгебраические значения длин ортогональных проек- АВ ций. Тогда из равенств АМ+МО=А0, АМ-МО=АМ+ММ=АМ и свойспи 1 алгебраических значений длин проекций следует: а-Ь . пр — 1,АМ + М0) = пр — АМ + пр — М0 = пр — А0, т.е. х+ у = =; АВ АВ АВ АВ ' ' ' 2 гр — 'иьМ вЂ” М0 1= пр — АМ вЂ” 2(о — М0 = пр — АМ, т.е.
х — у = и + Ь . АВ ' АВ АВ АВ а-Ь з +ь 1 х+у= —, х — —, Решая систему У 2 ' находим 4 ' т.е. пр — АМ =М+ьь, ~(х — у=а+Ь, 4 пр — М0 = — '+зь . ° АВ 1З. БАЗИС И КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ 1З.1. Базис иа прямой. Координата вектора иа прямой Вазисаи па прямой называется любой ненулевой вектор в на этой прямой (рис.1.28). Этот вектор в называется базисным. Пусть на прямой ! задан базис в а о . Для любого вектора а, кол- 1 лннеарного данной прямой, опредеРвсл.23 лено отношение а:в =х, причем число х определяется однозначно (см. свойство 1 в равд.1.2.1).
Таким образом, справедлива следующая теорема. Теорема 1З (о разло1кеиин вектора по базису иа прямой). Любой вектор а, коллинеарный прямой, может быть разложен по базису в на этой прямой, т.е. представлен в виде (1.2) а=х в, гдв число х опредвллвтсл однозначно. П Пусть 02. — высота трапеции, М вЂ” точка пересечения прямых АВ и 0М . По свойству равнобокой трапеции А2, = — "Ь; из равенства 2 треугольников СОМ и ВММ: ВМ = С0 = Ь . Коэффициент х в разложении (1.2) называется коордишиной веюнора а относительно базиса е.
Поскольку векторы а и еао коллинеарны, то координата х однозначно определяетсв ик отношением (см. свойство 1 в а равд.12.1): х= —. Например, если вектор а представляется в виде е а = -2. е, то х = — 2 — его координата относительно базиса е . Все ненулевые векторы, одинаково направленные с вектором е, имеют положительные координаты, а противоположно направленные — отрицательные. Координата нулевого вектора равна нулю. Замечании 1з.
1. Базисный вектор на прямой задает направление на этой прямой, а его длина определяет масштабный отрезок. Таким образом, задав базис на прямой, получаем ось. 2. В формулировке теоремы 1.3 прямую можно рассматривать как ось, задаваемую вектором е а о . КООРДИНАТЫ СУММЫ ВЕКТОРОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО Нетрудно установить следующие свойства для векторов, коллвнеарнык данной оси. 1. Равные векторы имеют равные координаты (в одном и том лсе базисе). 2. Координата суммы векторов равна сумме координат слагаемых. 3. Координата нроиэведения вектора на число равна крои»ведению этого числа на координату вектора.
4. Координата линейной комбинации векторов равна линейной комбинации координат векторов. 5. Отношение ненулевых векторов, ксллинеарных нрямой, равно отношению мх коордмнань онределенных относительно любого базиса на этой лрлмой. Первое свойство следует из первого свойства отношений коллинеарных векторов (см. рвзд.1.2.1).
Докажем второе свойство. Пусть векторы а и Ь вЂ” коллинеарны оси, залаваемой вектором е во. Пусть х-=а:е, х-=Ь:е, х -=(а+Ь):е— в+р координаты векторов а, Ь и а +Ь соответственно. Тогда, складывая равенства а =х е и Ь =х- е, получаем О ь а+Ь =х- е+х- е=(х +х-) е с=» (а+Ь):е=х-+х-, -е. ь =(в Ь) =в ь 'по равносильно равенству х — =х-+х-. Третье свойспю доказываетсл .+ь в ь' аналогично.
41 Четвертое свойство, которое следует из второго и третьего, можно записать в следующем виде: а1а1+азаз+-+аьаь а1 а2 а =а,— +а — +...+а —. е е е е Пятое свойство следует из свойства 2,г отношений коллинеарных векторов 1см. равд.1.2.1). Действительно, пусть а и Ь вЂ” ненулевые векторы, коллинеарные оси, задаваемой вектором е а о . Тогда свойство 5 выражается равенством а ф Ь ь' в которое справедливо для любых коллинеарных ненулевых векторов 1см. равд.1.2.1). Пример 1.8. Даны векторы а = — 2 е и Ь = 4 е, параллельные оси, задаваемой вектором е 21о.
Требуется найти координаты векторов а+Ь; -Ь; а-Ь; 3 а+2 Ь относительно базиса е, а также координату вектора а +Ь относительно базиса Ь . С) Используя свойства коллинеарных векторов, находим разложения по базису е: а+Ь =-2 е+4.е=(-2+4) е=2.е; — Ь=( — 1) Ь=( — 1) 4.е= — 4 е; а — Ь = — 2 е — 4 е =( — 2 — 4).е = — б.е; 3 а + 2 Ь =3 (-2. е)+ 2 (4 е) = 13 ( — 2)+ 2 41. е = 2 е . По свойству 5 находим '+" = 2 =-'. Заметим, что относительно базиса е Р 4 2 вектор а+Ь имеет координату 2, а относительно базиса Ь вЂ” координату, равную -', т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
