Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 6
Текст из файла (страница 6)
СВОЙСТВА ПРОЕКЦИЙ ВЕКТОРОВ 1. Проекции веюиора на параллельные прнмые (или на параллельные плоскости) равны. Х. Проекции равных векторов равны. 3. Проекция суммы векпюров равна сумме их проекций. 4. Проекция произведения вектора на число равна произведению этого числа на проекцию вектора, другими словами, отноигение коллинеарных векторов равно отноигению их проекций (если оно определено). 5. Проекция линейной комбинации векторов равна линейной комбинации проекций.
Рассмотрим зги свойства для проекций векторов на пРямую 1 парал- лельно прямой т . для проекций векторов на плоскость нли на прямую паРаллельно плоскости доказательства аналогичные. Докажем первое свойство. Пусть а, — проекция вектора а на прямую 1 вдоль прямой т, а а. — проекция вектора а на прямую 1 вдоль той же 1 29 прямой т, причем прямые 1 и 1 параллельные (рис.1.15).
Четырехугольник, образованный пересечением пары параллельных прямых 1 и 1 пприховыми линиями, параллельными прямой ги, является параллелограммом. Следовательно, а ° = а,, т.е. проекции одного и того же вектора а на параллельные прямые равны. Риа!,16 Рик!.15 Докажем второе свойство. Пусть на плоскости даны равные векторы АВ и СР, не параллельные прямой ю (см. рис.1.16). Построим равные им векторы А В = АВ и С .0 = СР . Из равенства А, В = С Р следует, что четырехугольник А,В Р С, — параллелограмм, а треугольники А,В В, и С,РР равны по стороне и двум прилежащим углам (А,В =С,Р, .ЫА,В1 =ЛРС,Р, ЩВВ, =ЕС1РР, как углы с соответственно параллельными сторонами).
Следовательно, А В, = С1Р1, т.е. равные векторы, не параллельные прямой ю, имеют равные проекции. Если же векторы параллельны прямой и, то их проекции также равны, как нулевые векторы. Второе свойство доказано. Доказательство третьего свойства очевидно для векторов АВ н ВС (рис.1.17): проекция А,С вектора АС=АВ+ВС равна сумме проекций А,В; и В,С, векторов АВ и ВС, т.е. А,С, = А,В, + В,С, . Для произвольных векторов а и Ь (у которых конец вектора а не совладаете началом вектора Ь ) доказательство сводится к рассмотренному случаю для равных им векторов АВ = а и ВС = Ь, так как равные векторы имеют равные проекции (по второму свойству). Доказательство четвертого свойства следует из теоремы Фалеса (см.
разд. В2). На рис.1.18 изображены векторы АВ и АС =)1 АВ (Х >О), а зо АС А,С, дсе их проекции А В и А С . По теореме Фалеса — = — '' = Л, сле! ! ! !' АВ АВ ! овательно, А,С, = Л. А,В,, что и требовалось доказать. В случае Л < 0 доказательство аналогичное, Пятое свойство проекций следует из третьего и четвертого. в, ! А, В, Рпсл.17 Рис.!.18 Теорема 1.1 (о проекциях вектора иа пересекающиеся прямые). 1. Если на плоскости заданы две пересеаиощиеся прямые 1 и 1, то любой вектор а на плоскости лшжно однозначно представить в виде суммы своих проекций а! и аз на эти прямые (проекции на каждую прямую беру!пса вдоль другой прямо!У7, т.е а =а +а .
2. Если в пространстве заданы три прямые 1, 1 и 1, пересекающиеся в одной точке и не лежащие в одной плоскости, то любой веюпор а в пространстве можно однозначно представить в виде суммы своих проекций а,, а, а на эти пряные (проекции на каждую прямую берутся вдоль плоскости, содержащей две другие прямые), т.е. а =а, +а +а . В самом деле, пусть прямые 1 и 1 пересекаются в точке О (рис.1.19,а). Прююжим вектор а к точке О, т.е. рассмотрим вектор ОА =а.
По правилу параллелограмма сложения векторов (см. равд.1.1.2) полУчаем Равенство ОА = а, +йз, котоРое Равносильно доказываемомУ Ра- енству а = а, +а, так как равные векторы имеют равные проекции (см. ~войство 2 проекций). Единственность представления следует из однозначности нахождения проекций вектора. Если же вектор а коллинеарен одной из прямых, например 1,, то соответствующие проекции имеют вид: а, = а, а = о и равенспю а = а, +а =а+о, очевидно, выполняется. Аналогично доказывается второе утверждение. 3! Рис.1.19 Замечание 13. Справедливы утверждения, обратные к указанным в теореме 1.1.
Если вюстор на плоскости равен сумме двух неколлинеарных векторов, т.е. а =а, +аз, ню слагаемые а, и а являются нроекииями вектора а на нрямые, содержащие векторы а и а соответственно. Если вектор в нространстве равен сумме трех неколиианарных векторов, т.е. а =а, + аз+а, то слагаемые а1, аз и аз являютса нроекииями вектора а на нрямые, содержащие векторы а,, а, а соответственно. В самом деле, отложим от произвольной точки О векторы ОА = а, ОА, =а,, ОА =а, ОА =а (рнс.1.19,б).Тогда изравенства а =а,+а +а следует, что ОА=ОА,+ОА +ОА, т.е. вектор ОА — является диагональю параллелепипеда, построенного на векторах ОА,, ОА, ОАз (отсюдаследует нравило наралееленинеда сложения трез1 некомпланарных векторов). Поэтому ОА,, ОА, ОА — проекции вектора ОА на прямые 1,, 1, ! (проекция на каждую прямую берется вдоль плоскости, проходящей через две другие прямые).
Так как равные векторы а и ОА имеют равные проекции (свойство 2), заключаем, что проекции вектора а на прямые 1,,!з, 1 равны а,, аз, аз соответственно. Наконец, проекции на прямые 1,, 12, 1з равны проекциям на параллельные им прямые, содержащие векторы а,, а, а соответственно. Пример 1.5. Если прямая пересекает стороны АВ, ВС, СА треугольцикл АВС (или их продолжения) в точках С,,А,,В, соответственно, то АС, ВА, СВ, ! ! ВС, СА, Щ АС, ВА, СВ, 1 ! ВС СА, АВ, С АС, ВА СВ, 1.. ! вс, а), Ав, А с В ! Рве.1Л1 Пример 1.6.
Если на сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС взяты соответственно точки С,,А,,В, так, что прямые АА,,ВВ,,СС, пересекаются в одной точке, то АС ВА СВ ВС а(! Ав! П Пусть прямые пересекаются в точке Д (рис.1.21). Через точку С, проведем прямые С,В, и С,А параллельно ВВ, и АА, соответственно.
По свойству проекций (свойство 4): 3 — 5150 зз П Найдем отношения проекций векторов на прямую АВ вдоль прямой А,С, (рис.1.20). Для этого через точку В проведем прямую ВВ, парал- лельную прямой А,С,. По свойству 4 проекций имеем: АС, АВ, ВА, В В, ВС В В СА, СВ, АС, ВА, АВ, Перемножая зги пропорции, получаем ':" = ', что равносильно ВС, СА, СВ, доказываемому равенству. Заметим, что доказанное утверждение является частью теоремы Менелая [4,25). ° АВ, АВ ВА, АВ СА СД СВ, В2В, ВС, А2Аг АС, А2А, Сф В2В~ Учитывая зти равенства и свойства отношений коллинеарных векторов (см. равд.1.2.1), преобразуем левую и правую части последнего равенства: СО СА, СА, В СА, АВ СгД А А, ВА, А А, ВА, АС, Сф В,В АВ ВВ АВ ВС СД СВ СВ АВ СВ АВ Запишем произведение правых частей этих равенств, учитывая, что произ- ведение левых частей равно едишще: СА АВ АВ ~ ВС,~ ВС СА АВ, АВ ВС СА АВ, ВА~ АС СВ, ~ АВ~ АС, ВА СВ, АВ АС, ВА, СВ, АС, ВА, СВ, Найдем обратное отношение ='.
=. ='.= — 1, что и требовалось дока- ВС, СА АВ, зать. Заметим, что доказанное утверждение являетсл частью шеоремы Челы (4,25). ° 1.2З. Ортогоиальные провинив векторов. Угол мюиду векторами РТОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ Углем между ненулееаиш ееюиорами называется угол между равнымй им векторами, имеющими общее начало, не превосходащий по величине и.
Пусть в пространстве даны два ненулевых вектора а и Ь (рис.1.22). Построим равные им векторы В ОА и ОВ. На плоскости, со- Ь держацей лучи ОА и ОВ, получим два угла АОВ. Меньший из них, величина ~р которого не превосходит л Ф (Оь<рзн), принимается за Рис з.22 угол между векторами а н Ь . а 2п- Поскольку направление нулевого вектора не определено, то не определен и угол между двумя векторами, если хотя бы один нз них нулевой. Из определения следует, например, что угол между ненулевыми коллинеарными векторами либо равен нулю (если векторы одинаково направлены). либо равен и (если векторы противоположно направлены).
огтогонлльныв нголкции ввктогов Движение по любой прямой может быть в двух направлениях. Ориентированной прямой называется прямая, на которой выбрано направление, т.е. одно из направлений считается положительным, а противоположное — отрицательным. Для измерения длин отрезков на прямой задается масштабный отрезок, который принимается за единицу. Ориентированная прямая с заданным масппабным отрезком называется осью.
Любой ненулевой вектор е, принадлежащий прямой, называется наяравляющнм вектором для данной прямой, поскольку задает на ней ориентацию. Направление вектора е принимается за положительное, а направление противоположного вектора ( — е) — за отрицательное. Кроме того, длину вектора е о о можно принять за величину маслпабного отрезка на этой прямой. Поэтому можно сказать, что любой ненулевой вектор определяет ось — прямую, содержащую этот вектор, задавая на ней направление и масппабный отрезок.
Ортогональной нроекцией вектора а на ось, заоаваемую оектореж е Ф о, называется его проекция на ось вдоль прямой (или вдоль плоскости), перпендикулярной данной оси. Ортогональную проекцию вектора а на ось, задаваемую вектором е а о, будем обозначать орта . Ортогональную проекцию вектора а на прямую 1 (см. раздЛ.2.2 и рис.1.13) будем обозначать лр~ а . Ортогональную нроекцню векаюра а на плоскость и (см. равд.1.22 и рис.1.14) будем обозначать нр а .
Разность между вектором а и его ортогональной проекцией называют орттональной составляющеш а - = а — лр- а — ортогональная составляющая вектора а относительзт е но вектора е; а, = а — лр, а — ортогональная составляющая вектора а относнтель- но прямой 1; з* 35 а = а — пр„а — ортогональная составюпощая вектора а относитель- но плоскости и. рп6.1.23 На рис.1.23 изображены ортогональные проекции вектора а = АВ: — на прямую 1 (или на ось 1, задаваемую вектором е ) вдоль прямой т: А,В =ар~ а =пр-,а (рис.1.23,а); — на прямую 1 (или на ось 1, задаваемую вектором е ) вдоль плоскости а: А,В, = пр, а = пр-,а (рис.1.23,б); — на плоскость и вдоль прямой т: А В„= пр„а (рис.1.23,в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
