Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Метрические свойства фигур изучаются при любом построении курса, аффинные и проеативные — в зависимости от предло пений преподавателя и от уровня подготовки студентов. Это обстоятельство учитывалось при написании пособия. Весь традиционный материал аналитической геометрии излагается с метрической и аффинной точек зрения, следуя замечательным учебникам 12,141.

Проективная геометрия в данном пособии не рассматривается, поскольку она практически исчезла из программ преподавания аналитической геометрии во втузах. Процесс обучения геометрии невозможно представить без решения задач. В отличие от алгебры здесь, как правило, нет готовых алгоритмов решения. Поэтому особое внимание уделялось описанию методик решения основных задач.

Авторы ставили перед собой цель написать доступное для широкой студенческой аудитории пособие, где все теоретические положения подкрепляются подробным разбором типовых примеров. Изложение построено по единой схеме, включая описание элементов постановок задач, алгоритмы решения и подробный анализ типовых примеров. Предлагаются задачи для самостоятельного решения, в том числе зависящие от параметров т — номера учебной группы и л — номера студента по списку группы. Данное пособие входит в серию книг "Прикладная математика в примерах и задачах", составляя с ними единый учебно-методический комплекс. Авторы выражают сердечную признательность профессору, д.ф.-м.н. В.М.

Закалюкину за ценные замечания и пожелания, способствовавшие улучшению рукописи. б ВВЕДЕНИЕ В школьном курсе элементарной геометрии изучаются метрические и аффинные свойства простых геометрических фигур и тел: многоугольников, многогранников, окружностей, цилиндров, конусов, сфер. Основная цель аналитической геометрии — описание тех же геометрических объектов средствами алгебры и математического анализа.

Другими словами, изменяется метод исследования, а предмет изучения остается тем же самым. Поэтому первичные понятия, аксиомы и теоремы, составляющие содержание курса элементарной геометрии, используются в аналитической геометрии без изменений. Не обсуждая вопросов аксиоматнки, относящихся, скорее, к математической логике и "основаниям геометрии", первичные геометрические поняпш и отношения будут употребляться в том наивном смысле, в каком они употребляются в школьном курсе геометрии. зная, что под них можно подвести безупречное аксиоматическое обоснование (1,2).

Приводимые во введении сведения, определения и свойства часто имеют предварительный (ознакомительный) характер. Некоторые "тонкие" моменты и вопросы здесь не рассматриваются. В.1. ОСНОВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ Любая система аксиом геометрии подводит к основным метрическим нонтниям — длине отрезка и величине угла. Как правило, в школьных учебниках эти измеряемые величины определяются либо их свойствами, либо аксиомами меры, например, в аксиоматике А.В. Погорелова.

В любом случае считаются известными понятие множества действительных чисел и их основные свойства. Для любых двух точек А и В пространства однозначно определено неотрицательное действительное число р(А,В), называемое расстоянием между щечками А и В . Функция р расстояния удовлетворяет следующим условиям (аксиомам): 1. р(А,В)=0 тогда и только тогда, когда А=В, т.е. точки А и В совпадают, 2.

р(А,В)= р(В,А) для любых точек А и В (аксиома симметрии); 3. р(А,С)<р(А,В)+р(В,С) для любых точек А,В,С (неравенство треугольника), причем равенство р(А,С)=р(А,В)+р(В,С) означает, по точка В принадлежит отрезку АС. Длиной отрезна АВ называется расстояние между его концами А и В. Обычно отрезок АВ и его длину р(А,В) обозначают одинаково: АВ = р(А, В) . Расстояния между точками (или длины отрезков) измеряются по отношенюо к выбранной единице измерения, а именно предполагается, что выбран некоторый масзитабный отреюк А,В,, длина которого принята за единицу: А,В, = 1. Этот отрезок называют единичным. Аналогично определяется мера углов.

Для любого угла АОВ однозначно определено положителъное действительное число ф(.сАОВ), называемое марой (или величиной) угла. Функция ф меры угла удовлетворяет следующим условиям (аксиомам): 1. ф(г.АОВ) = ф(.ЫОА) для любого угла АОВ; 2. ф(.сАОС)=ф(г.АОВ)+ф(г.ВОС) для любого угла АОС и любой точки В внутри него (рис.В.1,а). В качестве "единичного" угла, выбирается развернутый угол, величина которого принимается за и (радиан) или за 180' (градусов).

В дальнейшем мы будем использовать следующие две теоремы, которые, так или иначе. доказываются при любой принатой системе аксиом (Ц. Теорема В.1 (еб откладывании отрезка). На каждом луче ол! вго начала молсно опиюзюить отрезок любой данной длины и притом только од Теерема В.2 (еб откладывании угла). От каждого луча ло данную сторону от него можно отложить угол заданной величины и притом только одиж Вместе с определением расстояния теорема В.1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством неотрицательных действительных чисел и множеством точек луча. Если отрицательным действительным числам поставить в соответствие точки дополнительного луча (дополняющего данный луч до прямой), то получим числовую прямую (рис.В.1,б).

А -3 -! О ! 2 3 4 х и б Рис.нл О Замечании В1. 1. Понятие непрерывности множества действительных чисел, т.е. взаимно однозначного соответствия действительных чисел и точек числовой прямой, вводится и обосновывается в курсе математического анализа [19). В геометрии непрерывносп прямой вводится, как правило, аксиоматически. Например, в аксиоматике Д. Гилъберта непрерывность прямой следует нз аксиомы о вложенных отрезках (аксиомы Архимеда) и аксиомы полноты. 2. Вопросы о соизмеримости отрезков, т.е. о возможности измерить отрезок при помощи заданного единичного отрезка, рассматривались еще древнегреческими геометрами. Например, задача о несоизмервмостли стороны квадрата и его диагонали.

Напомним. что два отрезка считаются соизмеримыми, если отношение их длин является рациональным числом. Процедура измерения, определяющая понятие соизмеримых отрезков, следующая. При помощи циркуля и линейки несложно, используя теорему Фалеса, разделить отрезок на любое натуральное число равных частей. Для этого достаточно на вспомогательном луче АС отложить л равных отрезков АА,. А,А,..., А„,А„, затем соединить конец А„последнего отрезка с точкой В, и, наконец, через каждую из точек А,, А,..., А„, провести прямую, параллельную прямой ВА„(рис.В.1,в).

Поэтому, выбрав масштабный отрезок единичной длины, можно построить отрезок длиной -' для любого натурального числа л . Откладывая на прямой или от начала луча т раз такие отрезки последовательно (без наложения и без промежутков), можно получить отрезок длины —" (для любых натуральных т и л ). Таким образом, при помощи циркуля и линейки в результате конечного числа операций можно построить такой отрезок, длина которого будет выражаться любым заданным положительным рациональным числом. Поскольку диагональ квадрата со стороной, равной единице, выражается иррациональным числом ( эГ2), то она не является соизмеримой со стороной квадрата. 3. Нз п.2 следует, что процедура измерения отрезков должна быть дополнена предельным переходом, позволяющим получать последовательности отрезков, рациональные длины которых образуют сходящиеся числовые последовательности.

Пополняя множество рациональных чисел пределами таких последовательностей, приходим к понятиям действительного числа (19) и отрезка, имеющего длину, задаваемую положительным действительным числом. В.2. РАВЕНСТВО И ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР РАВЕНСТВО ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Понятие равенства геометрических фигур в зависимости от привпой системы аксиом вводится по-разному. Обычно, равенства отрезков или углов определяются по их мере: два отрезка (угла) называются равными, если они имеют равные длины (величины).

Затем определяются равенства треугольников, многоугольников, многогранников. Наконец, вводится понятие лвижения, при помощи которого понятие равенства определяется единообРазно для любых геометрических фигур. В некоторых системах понятие движения (наложения, перемещения) вводится аксиоматически. Говорят, что на плоскости (или в пространстве) определено преобразование,г, если для каждой точки А плоскости (пространства) поставлена в соответствие единственная точка г"(А) той же плоскости (пространства).

Если преобразование у точке А ставит в соответствие точку А, т.е. А = у'(А), то точка А называется образом точки А, а точка А — ярообразам А. Движением (ортогональным преобразованием) называется преобразование плоскости (пространства), сохраняющее расстояние между точками, Ф т.е. для любых двух точек А, В и их образов А,В имеет место равенство АВ = А  — расстояние между образами равно расстояшпо между прообразами. Другими словами, длина отрезка является инвариаитом для ортогонального преобразования.

Слово "инвариант" имеет смысл "остающийся неизменным". Две фигуры Р и Р называютсяраеяыми, если существуетдвижеиие, при котором фигура Р преобразуется в фигуру Р, т.е. каждой точке фигуры р соответствуетнекотораяточкафигуры р . ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР Подобием называетсл преобразование 1' плоскости (пространства), при котором все расстояния между точками изменяются в одном и том же отношении й>0, т.е.

для любыхдвух точек А,В них образов А,В имеет место равенство А В = я. АВ . Число й > 0 называется коэффициентом я одобно. Отношение длин отрезков является инвариантом для преобразования подобия. В самом деле, из определения следует, что АВ й.АВ АВ СП й СП С1) Две фигуры Р и Р называются яодобяыми, если существует преобразование подобия, при котором фигура Р преобразуется в фигуру Р, т.е. каждойточке фигуры р соответствуетнекотораяточка фигуры р . Замечании В2. 1. Пусть на плоскости задана прямая 1 и пересекающая ее прямая т .

Проекцией точки А яа ярямую 1 параллельно лрямой т (едоль ярямой т) называется такая точка А прямой 1, что прямая АА параллельна прямой т (рис.3.2,а). Проекцией отрезка АВ на прямую 1 параллельно прямой т являегся отрезок А В (случай, когда отрезок АВ и прямая т параллельны, не рассматривается). Отношение длин произвольных отрезков при этом преобразовании, разумеется, не сохраняется. Например, на рис.В.2,а равные отрезки ( АВ = ВС) имеют разные по длине проекции ( А В о В С ), т.е. ф ФЩ . 1о Однако, по теореме Фалеса отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой, не изменяется при этом преобразовании. Например, ф =ф (рис.В.2,б).

Отношение ф для точек А, В, С, принадлежащих одной прямой (причем точка В лежит между точками А и С ), называется нросшмм отношением (141. Как видим, простое отношение является инвариантом для преобразования проекции. е Ряс.В,2 6 2. Преобразования подобия и проекции относятся к так называемым аффинным преобразованиям, которые рассматриваются в разд.2.

Характеристики

Список файлов книги