Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 10
Текст из файла (страница 10)
рис.1.22 в равд.1.2.3). Скалярное произведение (а,а) =~ а ~ называетсл скалярным кеадравбан. Пример 1ДЗ. Найти скалярные произвеЧ~ ~р денна (а,Ь), '(Ь,а), (а,с), (Ь,с). (аА), ф б(), б Ь (с,Й), если известно, что ~а)=1, ~Ь|=2, ~7 Ряс.1.36 )с(=4, ~б7~=1,угол ~р междувекторами а и 5в Ь равен в, сТ4Ь, а вектор Ы образует с вектором а угол 8=в (рис.1.3б).
П По определению находим (а,Ь)=~й~ ~Ь| сов~р=1 2 сов-=1; (Ь,а)=(Ь)~)а~ соыр=2 1 сов-=1. 3 3 Так как векторы Ь и с противоположно направленные, то угол вг между векторами а и с равен зк. Поэтому (а,с)=)асс~ сову=1 4 сов — =-2. 2и 3 Угол между противоположно направленными векторами Ь и с равен и, поэтому (Ь,с)=~Ь | ) с ~ соби= 2 4 соби=-8. 54 Вектор а ортогонален вектору Ь (и вектору с ), так как величина уг5п и и и ламеждунимиравна — — =-,а соз — =О.Поэтому ф,д~=(с,й)=0. б 3 2 2 5п равен —, поэтому 6 Угол б между тжторами а н 5и ~ГЗ (а,сЦ=1 1.соз — = — —. ° б 2 гкомктгичкский смысл склляуиого пгоизвкдкиия рь-а "рьа уаьд за Эта формула остается справедливой и в случае а =о, так как кр-о = О. ь Аналогично (см. п.2 замечаний 1.4) доказывается формула (а Ь И а ( р Ь н делается вывод о том, что скалярное нроизведение ненулевых векторов а и Ь равно нроизеедению длины вектора а на алгебраическое значение дии"ы ортогональной лроекции веюиора Ь на ось, задаваемую векторам а .
55 Рассмотрим ортогональную проекцию нр-а ненулевого вектора а на ось, задаваемую вектором Ь Ф о (рис.1.37). Согласно п.1 замечаний 1.4 (см. разд.1.2.3), алгебраическое значение нрьа длины проекции равно произведению длины вектора а на косинус угла между векторами а и Ь: нрь =Я вози.
Умножив обе части этого равенства на ~ Ь |, получим (Ь | лрьа =(а ( 1Ь | совр. Сравнивая с (1.7), делаем вывод: скалярное щюизведение ненулевых векторов а и Ь равно щюизведению длины вектора Ь на алгебраическое значение длины ортогональной щюекции вектора а на ось, задаваемую векторам Ь: (а,Ь)=(Ь | нрга. (1.8) 1.4.2.
Свойства скалярного проюведения Скалярное произведение векторов обладает следующими алгебраическими свойствами. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Для любых векторов а, Ь, с и любого действительного числа Л: 1. (а,Ь)=(Ь,а); 2. (а+Ь,с) =(а,~~+(Ь,с); 3. (Л а,Ь)=Л (а,Ь); 4. (а, а ) > О, причем из равенства (а, а ) = 0 следует, что а = о . Первое свойство определяет симметричность скаларного произведения, второе и третье — адднтнвнасть и однородность но аврааму множителю, четвертое свойство — невтрицшнгльность скалярного ивадртва. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел [10): первое свойство соответствует закону коммутативности умножения чисел, второе— закону дистрибутивности умножения по отношению к сложению, третье— закону ассоциативности умножения.
Поэтому рассматриваемаа операция н называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является число (скаляр), то такое произведение векторов называется скалярным. Свойства 1 и 4 следуют непосредственно нз определения. Докажем, например, аддитивность скалярного произведения по первому множителю (свойство 2):(а+Ь,~=(а,с)+(Ь,~~. Если вектор с — нулевой, то все скалярные произведения равны нулю по определению, т.е.
для с =о имеем верное равенство. Пусть с но . Учитывая, что проекция суммы векторов равна сумме проекций (см. разд.1.2.2) (то же относится и к алгебраическим значениям длин ортогональных проекций (см. рвзд.1.2.3)), можно записать пр;(а+Ь)=пр;а+пр,-Ь . Умножая обе части на (с(аО, получаем (с(.пр,(а+Ь)=(с( пр-а+~с( пр-Ь . Учитывая (1.8), последнее равенство равносильно (а+Ь,с) =(а,~~+(Ь,с), что и требовалось доказать. Однородность скалярного произведения по первому множителю (свойство 3) доказываетса аналогично, используя соответствующее свойство ортогональных проекций векторов (см. разд.1.2.3).
Замечании 19. 1. Свойства аддитивности и однородности скалярного произведения означают линейность скалярного произведения но нврввму множителю: 56 (а а+р.Ь,~~=а.(а,с)+р (Ь,с) для любых векторов а, Ь, с и любых действительных чисел а и ~3. 2. В силу коммутативности скалярное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно ио любому мнонситевю.
3. Для любых векторов а, Ь снраведливо неравенство Коши — Буняковского (а,Ь) б(а,а).(Ь,Ь). Зто неравенство выражает условие ограниченности косинуса угла между ненулевыми векторами. В самом деле, поскольку ( соя <р( < 1, то из (1.7) и, следовательно, справедливо доаязываемое неравенство. Заметим, что неравенспю Коши — Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов, т.е.
при соз~р = х1. 4. Из неравенства Коши — Буняковского следует неравенство треугольника (длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон и больше модуля их разности): |(а(-|Ь || <|а+Ь | <(а(+|Ь |. Докажем последнее неравенство |а+Ь |<(а(+|Ь |. Используя неравенство ! (а,Ь)! ь( а (.! Ь |, которое следует из неравенства Коши — Буняковского, оценим скалярный квадрат суммы векторов: |а+Ь ! =(а+Ь,а+Ь)=(а,а)+2.(а,Ь)+$,Ь)< ~(а( +2 |а( |Ь!+|Ь! =ца(+|Ь!), те |а+Ь | <((а(+|Ь|)~,чторавносильнодоказываемомунеравенству. гжомжтгичжсжиж свойства скллягного пуоязнжджяия С помощью скалярного произведения можно находить основные метРические величины: длины отрезков (или, что то же самое, длины векторов) и величины углов (см. разд.В.1).
1. Длина вектора а находится но формуле: (а(=,((а,а). 57 2. Величина ф угла между ненулевыми векторами находится но формуле: (а). Ь Ща).,Ь Отсюда заключаем, что: — ненулевые векторы а и Ь нернендикулярны (ф =и) тогда и только 2 тогда, когда их скалярное яроизеедение равно нулю: аЛ.Ь ее (а,Ь)=0; - угол между ненулевыми векторами а и Ь острьш (ф< з ) тогда и только тогда, когда их скалярное яроизведение ноложительно; — угол между ненулевыми векторами а и Ь тулой (ф) з) тогда и только тогдт когда их скалярное нроизведение отрицательно.
Э. Алгебраическое значение длины ортогональной «реакции вектора а на ось, задаваемую веюнорам Ь и о: нр- а = ь 4. Оряюгонагьная нроекция веюнора а на ось, задаваемую вектором Ьно: нрра = Если ось задаегся единичным вектором е, то нр; а = (а, е) е . Свойства 1 и 2 следуют непосредственно из определения скаларного произведения.
Третье и четвертое свойства вытекают из геометрического смысла скалярного произведения (см. (1.8)) и п.1 замечаний 1.4. Пример 1.14. Доказать тождества ) ег)= ()ю ь) -)у-ЬЦ; б) /у г| )г-г| =2 /у) 2 )ь) С) Используя коммугативность и линейность скалярного произведения, запишем равенства (а+Ь,а+Ь~=(а,а)+2 (а,Ь)+~ф,Ь) (а-Ь,а-Ь)=(а,а)-2.(а,Ь)+~Ь,Ь). Заменяя скалярные квадраты векторов квадратами нк длин (см. геометрическое свойство 1), получаем )а+Ь =(а) +2 (а,Ь)+)Ь|); )а-Ь| =(а) -2 1а,Ь)+~(Ь~( .
58 Если из первого равенства вычесть второе, то придем к тождеству (а). Если же сложить оба равенства, то получим тождество (6). доказанные равенства выражают следующие свойства параллелогрампостроенного на векторах а н Ь (а+Ь и а-Ь вЂ” его диагонали): а) скалярное произведение векторов равно одной четвертой от разности квадратов диагоналей параллелограмма, построенного иа множителях; б) сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. ° 1.4,3, Выражение скалириого произведение через координаты векторов Разумеется, по величина скалярного произведения любых векторов а н Ь не зависит от базиса. Однако формулы, выражающие скзлярное произведение (а,Ь) через координаты множителей, зависят от базиса, относительно которого определены координаты. Рассмотрим сначала случай стандартного базиса в пространстве (см.
рази.1.3.5), а затем — произвольного. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ОРТОНОРМИРОВАННОМ БАЗИСЕ (ь',уч)=0, (ю',к)=0, (у,уч)ы1, (3,й)=0. (А,уэ)=0. (ГХ)=1. ((,1)=1, (у,1)=0, (К,Т)=0, (1.1 1) 59 Теорема 1.6 (формула вычислении скалириого произведении в ортоиормироваииом базисе). В ортонормированном базисе скалярное щюиэведвнив векторов равно сумме нроизведений одноименных координат векторов: если векторы а и Ь относительно ортонормщюванного базиса на плоскости имеют координаты х, у и х, у соответственно, то скалярное нроизввдвнив этих векторов вычисляется но формуле (а,Ь)=х хь+Ув'Уь' (1.9) если векторы а и Ь относительно ортонормированного базиса в нространстве имеют координаты х,, у, г и х, уь, гь соответственно, то скалярное нроиэведвнив этих векторов вычисляется но формуле (- —..., .' а 'Ь ) хи ' хь + У и ' Уь + га ' гь ' Докажем формулу (1.10).
Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис ь', ь', й . Скалярные произведения базисных векторов находатся по определению: Используя линейность скалярного произведения по любому множителю,длявеаторов а=х, ь'+у, 3+я, Ь и Ь=х ь'+у н+хь Ь получаем: (-Н...., ., )- l а,Ь)=(х (+у У'+х Ь, хь 1+Уь 3+хь'Ь)= =х, хь(ь,ь)+х.
У,((,ун)+х,.хь(ь.й)+У. х,(У,ьг)+У. УЯ.Г)+У..хь(3,1)+ +х 'лье ь)+х, уь((г4+х '*ь$ (г). Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому (- =. а,Ь)=х хь+ув'уь+ха'хь ° что и требовалось доказать. Замечании 1.10. 1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом ю', 3 можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом ь, ь',А, у которых аппликата равна нулю. Позтому формулу вычисления скалярного произведения векторов а = х, . ь'+ у, ь' и Ь =х ьх+у ь можно получить из(1.10), полагая х, =гь =О. 2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если а=(х, у, х,) и Ь=(хь уь гь) — координатные столбцы векторов а и Ь в стандартном базисе, то их скалярноелроизведение находитсяло формуле: (а,Ь)=а .Ь=(х, у, х,).
Для веаторов на плоскости соответственно получаем ~.ь~-е ь-~. «.)(*'). 3. Координаты веюпора а в ортонормированном базисе равны его скалярным лроизведенилм на соответствующие баэиснъье векторы: х, =(а,ь'), у, =(а, ь), х, =(аХ). В самом деле, подставляя в (1.10) координаты 1,0,0 базисного вектора ь', приходим я первому равенству (остальные равенства получаются аналогично). 4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами сяалар ного произведения имеют многочисленные прююжения (см. равд.1.6.2). бо ='(о~ =( Позтому 2 3 =1 2+(-2) 3+2.2=0; 2 (а,Ь)=а".Ь=(1 -2 2) 1 (а,г)=а 1=(1 -2 2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
