Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 13
Текст из файла (страница 13)
п.З замечаний 1.10). Аналогично доказываем, что ордннаты, а также и аппликаты, векторов в обеих частях равенства соответственно равны. Следовательно, зто равные векторы, так как нх координаты относительно стандартного базиса совпадают. 2. Из первого алгебраического свойства смешанного произведения и коммутативности скалярного произведения следует, что (а, [Ь.с~)=(а,Ь,с)=(с,а,Ь)= (с,[а, Ц)= ~а,Ь1 с), те. (а,Ь,с)=([а,Ь],с). Последнее равенство можно взять в качестве экви- валентного определения смешанного произведения.
3. Если язройка веюяоров е,, е, ез явяяезлся базисам лросзяраяслзва, язо лзройка векгяоров [ег,ез1 -" Ж'М . —, ['г,его 1ег е* ез/ ез ег ез 1ез ег ез1 образуегя взаимиый базис. В самом деле, указанный вектор е, по определению векторного про- изведенил оРтогонален векгоРам е и е, т.е.
(ег,е, )=0 и (е,е, )=О, аска- лярное произведение (е е, ) равно едишще, так как (е, ез*) = (еп[ег'е 1) (ез'ег'ез) =.т — -~-~т=т-' — г — -~с=1. ПозтомУ вектоР е," содеРжитсл во взаимном 1е1 ег ез1 [ез ег ез! базисе. Аналогичные рассуждения проводятся относительно векторов е ' и ез .
Поэтому базисы е,,е,е и е,,ез,е взаимные. 4.Если а=(х, У, 8„)~, Ь=(хь Уь АУ, с=(х, У, х,~ — кооР- динатные столбцы векторов а, Ь, с в стандартном базисе, ню их смеЬианное нроизведение находится но формуле 0 -хь уь хь 0 — хь -уь х, 0 (а,Ь,с)=(х, у, 8,). Пример 1.22. Параллелепипед АВСОА,В1С1О1 построен на векторах АВиь+2.ух+2.Ь; А13=3 1'-2.ут+Ь; АА,=21-1.ут+3 Г (рис148). Требуется найти: а) смешанное произведение (АВ, АО, АА,), а также ориентацию тройки АВ,АО,АА; 1 б) объем треугольной пирамиды АВВА,; в) высоту Ь параллелепипеда (расстояние между плоскостями оснований АВС12 и А,В1СР1). Сь а) Смешанное произведение (АВВ, АО, АА,) находим по формуле (1.17): 1 2 2 3 -2 1 2 -1 3 = -17 А РЬн.! ЛЗ Поскольку произведение отрицательно, то тройка векторов АВ, А1), АА,— левая (см.
первое геометрическое свойство смешанного произведения). Для нахождения смешанного произведения можно использовать матричную запись формулы (1.17) (см. п.4 замечаний 1.13). Векторам а = АВ, Ь = А1), с = АА, соответствуют координатные столбцы Ь (-2~ -( По формуле п.4 замечаний 1.13 получаем 78 -1 =(1 г 2).
-5 — 7 =-17. 1 0 -1-2 (а,Ь,с)=(1 2 2). 1 0 -3 ° 2 3 0 результаты совпадают. б) Объем а' треуголъной пирамиды АВРА, составляет шестую часть объема ««параклелепипеда. Действительно, их высоты совпадают, а площадь В основания пирамиды составляет половину площади 5«паралле- 1 1 1 1 лограмма АВСР.
Поэтому « =- 5 Ь =- — 5 Ь = —.У . Поскольку 3 3 2 б $/„= ~ (АВ, АР, АА, 1 = 17, то У = — У« = —. '«« в) Высоту Ь параллелепипеда найдем по формуле Ь = —, где ߫— плошадь параллелограмма АВСР. Поскольку У« =17 и 5„= 5~15 (см. при- 17 мер 1.20), то Ь = †. ° 5ч'5 1.5.3. Ориентированные плошади и объемы ОРИЕНТИРОВАННАЯ ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА 79 Ориентированной площадью 5 — лараалвлапвьмма, построенного «а,Ь на иеколлинеарных векторах а и Ь, называется его площадь 5 —, взатая щ,ь' со знаком плюс, если ориентация пары векторов а и Ь правая (5 — = 5 — ), и со знаком минус, если ориентация — левая «а,ь вт,ь ' Влеиалим (косым) произведением неколлинеарных векторов а и Ь на плоскости называется число, равное ориентированной площади 5 — па«а,Ь раллелограмма, построенного на этих векторах.
Бели векторы а и Ь коллинеарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается 5 — =а лЬ . Его свойства повторяют алгеб«а,Ь ранческие свойства векторного произведения, т.е. для любых векторов о, Ь, с на плоскости и любого числа Л справедливы равенства: (1.18) О е, а е О б е, Ра«4.49 Рассмотрим задачу разложения вектора а по базису е,, е на плоскости. Отложим все векторы от произвольной точки О. Сначала разберем случаи, когда векторы а и е, коллинеарны: одинаково направлены (рис.1.49«з) или противоположно направлены (рис.1.49,б). В этик случаев ордината х вектора а равна нулю, а абсцисса находится как отношение а шд, алея х = — = — '= — при а П е, (рис.1.49,а); е1 Яяд е1 лез Я а ««я але х = — = — -'-з-=- — -~- при а 14е, (рис.1.49,б), е, Яяя еле 1) алЬ = — Ьла; 2) (а+Ь)лс =а лс+Ь лс; 3) (А а)лЬ =А.(алЬ). 4) Если векторы а и Ь в нравом ортонормированном базисе 1, у имеют координаты х, у и х, у соответственно, то внешнее произведение этих векторов находится по формуле Я =алЬ = ' ~ = ' ' =х,.у -у,.х«.
Если а=(х, у,~, Ь=(х, у«1" — координатные столбиы векторов а, Ь в стандартном базисе на плоскости, то их внешнее произведение находшпся по формуле г --з ь-(*. у.)( 'Ц*'). Приведенные свойства внешнего произведения следуют из алгебраических свойств векторного произведения, если векторы а, Ь, с на плоскости рассматривать как векторы в пространстве с нулевыми апплиюпвми. плоскосн5и: "=~ Р+~ ез» (1.19) але е,ла где х,= — з; х = — ' Е1 ЛЕЗ Е ЛЕЗ Рассмозрим применение формулы (1.19) для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными: < а,.х, +Ь1;~ =с,, а х1 +Ьз хз сз' Эту систему можно записать в виде ' = т,.
+х ' . Рассматривая полученные сголбцы как коордннатиые столбцы векторов с,а, Ь в стандартном базисе на плоскости, получаем разложение с=х, а+х Ь. Тмем образом, нахождение решении системы уравнений свелось к задаче Разложения вектора с по векторам а и Ь . Предполаьвя, что коэффициенты при неизвестных не пропорциональны, т.е. а,: Ь, и аз 1Ь (векторы а и Ь "е коллинеарны), по формуле (1.19), полагая а = с, е, = а, е = Ь, получаем: 0 — 5! 50 81 к как пара а, е в первом случае правая (Рнс.1.49,а), а во втором случае— „,,(р .1.49,б).
Пусть теперь векторы а и «1 не коллинеарны (рис.1.49,«). Построим проекции а, и аз на прямые, содержащие базисные векторы: а =а, +а . Из концов векторов а, н е, опуствм перпендикуляры Ь, и Ь соответственно на прамую, содержап1ую вектор ез . Учитывал, что вектоРы а, и е, пРотнвоположно направлены, а также подобие прямоугольных треугольников с гнпотенузами а, и е,, находим абсциссу х, вектора а: а, Ь, о«цв й~~ Й Я»- - «1 лез Ч.« так как паРа е,, ез — пРаваЯ, а паРа а . е — левал.
Аналогично находитсЯ ордината (векторы а н е одинаково направлены) аз «8.81 е, ли Ез Я~-, — Е, Лсз Таким образом, ееюнор а име«5н схеду5ои1«еразхоисение но базису е,, е на слЬ алЬ алс алЬ что совпадает с правилом Крамера (см. равд.П. 10, а также (8,10]). ОРиентиРОВАнный ОБъем пАРАллеленипедА ха хь х х, у хь Уь хь х, у, г, =(а,Ь,с), л У - =алЬлс= «а,Ь,с (1.20) Уа УЬ Ус хь так как определитель транспонированной матрицы равен опредаппелю исходной матрицы (см.
разд.П.б). При помощи ориентированных объемов задача разложения вектора а по базису е,, е, е в пространстве решается так же как и на плоскости с использованием ориентированных площадей. В результате получаем ХЗ ! Х2 2 ХЗ 3' (1.21) (-,—;.—;) (~Я.Е,) (-.Л Я) 1«з «2 «3/ 1«н«2 ез) 1«з «2 ез) 82 Ори«нширо«аннмм объезиьн У вЂ” параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторах а, Ь, с, называется его объем У вЂ”, взятый «а,Ь,с со знаком плюс, если ориентация тройки векторов а, Ь, с правая (У вЂ” = У; ), и со знаком минус, если ориентация — левая л «а,Ь,с «а.Ь,с ) Вне«явим (хосым) произведением некомпланарных векторов а, Ь,с называется число, равное ориентированному объему У вЂ” параллелепипеда, построенного на зтих векторах.
Если векторы а, Ь,с компланарны, то их внешнее произведение считается равным нулю. Внешнее произведение обозначается У вЂ” =а лЬ лс (5]. «а,Ь.с Внешнее произведение трех векторов совпадает с их смешанным произведением (в силу первого геометрического свойства смешанного произведевиа), т.е. У вЂ” = а л Ь л с = (а, Ь,с). В ортонормироваином базисе «а.«.с Формула (1.21) соответствует правилу Крамера (см. разд.П.10, а также т8,10]) решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Пример 1.23. Заданы координатные столбцы о). ь=[ 1, с=1, И= векторов а, Ь, с, Ы в стандартном базисе.
Разложить вектор Ы по векто- рам а,Ь,Е. П По формуле (1.20) находим смешанные произведения 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 2 1 1 3 0 1 (а,Ь,с)= =1; (АЬ,Е)= 1 1 0 0 2 1 0 3 1 1 1 1 0 1 2 0 0 3 (а,тТ,Е)= =-1; (а,Ь,~7)= Коэффициенты разложения определяем по формуле (121): 3 =-=3 1 а,Ь,с Следовательно, т7 = 2 а — 1.Ь +3 с . ° 1.5.4. Двойное векторное произведение и его свойства Деойкмм веклторным произведением веклторов а,Ь,с называется вектор [а,'1Ь,с) ], равный векторному произведению вектора а на векторное произведение векторов Ь и с . Произведение [а, [Ь,с) ] обозначается также а х(Ь хс).
Двойное векторное произведение обладает следующими свойствами, справедливыми длл любых векторов а, Ь, с: 1. [а,[Ь,с) ]=(о,с) Ь -(а,Ь).с; 2. [аДЬ,с)]+[Ь,тс.а)]+[с,(а,Ь)]=о; 1аЬ) 1 Г 3. Ь =~а' а+ —.[а,1Ь,а)], а оо. И И 4. Если а = (х, У, х ) , Ь = (хь Уь хь)т, с = (х, У, г, ) — координатные столбцы векторов а, Ь, с в стандартном базисе, то коорди- 83 натный столбец ы = (х, уя г,)~ двойного векторного произведения У = [а, [Ь,с ) 1 находится по формуле гг =Ь.а .с-с а Ь (мнемоническое правило: "баца минус ацаб"). Первое свойспю доказывается, применяя формулы вычисления скалярного и векторного произведений в ортонормированном базисе 18, 14).
Второе свойство следует из первого, если сделать циклическую перестановку векторов: [Ь,1с,а)]=[Ь,а).с-(Ь,с) а, [с,Га,Ь))=[с,Ь) а -(с,а).Ь, а затем сложить эти равенства вместе с исходным (учипывая коммутативность скалярного произведения). Третье свойство следует из первого (если положить с =а ). Это равенспю дает разложение произвольного вектора Ь в виде суммы орлгогональлой лроекг1ии лр-Ь = г-'-' а и ортогональной составляющей а Па à — 1 Ь - = — 1п,1Ь,а)) вектора Ь относительно оси, задаваемой вектором а г.ал ~ ~г'1 ° (см.
равд.1.2.3). Последнее свойство следует из первого с учетом п.2 замечаний 1.10. Заметим, что все произведения строк и столбцов согласованы, поэтому умножения можно производить в любом порядке, разумеется. не переспсшяя матрицы. Пример 124. Даны векторы а=г+2.7а+2 г), Ь=3.г-2 7а+г); с =2.г'-1 7а+3 Ь. Требуется: а) показать, что векторы а,Ь,с образуют базис, и найти векторы л ', Ь ', с ' взаимного базиса; б) найти двойное векторное пронзведение [а4Ь.с)); в) найти ортогональную проекцию вектора Ь на ось, заданную вектором а, и ортогональную составлающую вектора Ь относительно этой осн. С) а) Поскольку смешанное произведение (а, Ь, с)=-17, найденное в примере 1.22, отлично от нуля, то векторы а, Ь, с не компланарны (согласно второму геометрическому свойству смешанного произведения), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
