Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Действительно, если у = 1, то а = О, р = 0 и ОМ=а ОА+р.ОВ+у ОС=ОС, т.е. точка М совпадает с вершиной С треугольника АВС. Пусть 0>у<1, тогда а+ р =1- у и ОМ =а ОА+Р ОВ+У ОС='11 — У) —.ОА+ — ОВ +У ОС= в' он =(1 — у) ОУ+у ОС. З вЂ” и — Р весь ОФ = — ОА+ — О — выпуклая комбинация векторов ОА и а+р а+р ОВ, поскольку ее козффициеиты — неотрицательные числа, а их сумма рав- на единице. Следовательно, точка Ф принадлежит стороне АВ треугольии- 91 ка АВС и делит ее в отношении АА(: АГВ = р: а (рис.1.54,б). В свою оче. рель, точка М принадлежит отрезку САГ, так как ОМ =(1-Т) О)ч +у ОС вЂ” выпуклая оболочка векторов ОА( и ОС. Поэтому точка М прннадлежиг плоскому треугольнику АВС (включая его внутренность).
Заметим, чзо точка М делит отрезок СМ в отношении М)ч: СМ =Т:(1-Т). Тоглн МИ-Т ММ=Т СМ, т.е. ММ=у (СМ+ММ)=Т.С)ч. Отсюда САГ: МФ = 1: т . Это отношение равно отношению площадей треугольников АВС и МАВ (поскольку у них общее основание АВ, а высоты, опущенные на это основание опюсатся как С)ч': МА(). Следовательно, СоГ: Мо( =1: Т = Я„вс: Я . Аналогично можно показать, что 1:а=Я„вс гб и 1:р=б„всгбмсв. Таким образом, коэффициенты а, р, Т выпуклой комбинации равны отношениям площадей соответствующих треугольников: а= МВС; рм — МЬА; Т=-апй-.
"мвс ~м Влас блвс ВАвс Говорят, что точка М "деяюи" площадь треугольника АВС в отноивелии В,~, гйм„:б,~, =а:р:Т. Понатия аффивной и выпуклой комбинаций векторов распространяются на любое конечное число векторов. Векторы ОА,, ОА,..., ОА называются обрапнощими аффинной оболочки А(г (ОА,,ОАз,...,ОА ) и, соответственно, выпуклой оболочки Сонг(ОА,ОА2,...,ОА ). СВОЙСТВА АФФИННЫХ И ВЫПУКЛЫХ КОМБИНАЦИЙ РАДИУС-ВВКТОРОВ Сформулируем полученные результаты в виде свойств. 1. Точка М, удовлетворяющая равенству ОМ =г.ОА+(1-г) ОВ, гн Я, (1.22,' лринадяежтал лрямой АВ „и наоборот, дяя любой точки М, лринадлежа.
щей ирямой АВ, найдется единственное действительное значение лара. метра г, ири котором справедливо разложение (1.22). Другими словами: геометрическим местом точек М, удовлетворяющим условию (1.22), якая. ется ирямая АВ. 2. Геометрическим местом точек М, удовлетворяющим условию ОМ =г.ОА+(1-г).ОВ, 0<г<1, 92 нарытое отрезок АВ. При г = 0 точка М совладает с точкой В, лри 1 =1 — с точкой А, лри 0<с<1 точка М делит онгрезок АВ е отноюие ни» (рнс.1.55,а): АМ:МВ =(1-г):г.
И наоборот, если точка М давит отрезок АВ в отноигении — =— АМ р МВ а (а>0, р>0),то — а ОМ = —.ОА+ — — ОВ. +в' АМ р В частности, точка М является серединой отрезка АВ ( — = — =1) то- МВ а гда и талька тогда когда ОМ =-' ОА+-'.ОВ. г' ОМ =а.ОА+Ь.ОВ+с.ОС; Вмлс ьбисл: В =: Ь: ОМ =г.ОА+(1-г) ОВ; АМ: МВ = (1 -г): г Рас.1.55 93 3. Точка М, удовлетеорюощая равенству ОМ =г ОА+з.ОВ+(1-г-з) ОС, гн В, зн В, (1.23) лринадлежит ллоскости, лроходящей через точки А, В, С, н наоборот, длв любой точки М, лринадлежащей ллоскости, проходящей через точки А, В, С, не лежащие на одной нрямой, найдутаю единственные действительные значения нараметров г и з, лри которых слраведлиео разложение (123).
Другимн словами: геаиетрическии местом точек М, удовлетворяющим условию (123), явтется ллоскость, проходящая через точки А, В, С, не лежащие на одной лряиой. 4. Пусть А, В, С вЂ” точки не лежащие на одной лрямой. Геометрическим местом точек М, удовлетворяющим условие ОМ =а ОА+р ОВ+ч ОС, где все коэффициенты а, р, у — неотрицательные числа, сумма которь«л равна единице, явллетсл нлоский треугольник АВС. Если коэффициенты а,«3,у ноложительные и а+р+у=1, то точка М "дюпон" нлощадь треугольника АВС в отио«ивнии (рис.1.55,б): 5„,„.:5„~:В,щ,=а:Р:у.
И наоборот, если точка М "делит" нлощадь треугольника АВС в отношении Вилс«Висл:5 =а:р:у (а>О, «3>О, у>О),то — а — ~3 — у ОМ = — ОА+ ОВ+ ОС. а+р+у а+р+у а+р+у В частности, точка М является лючкой лересечения медиан треугольника АВС тогда и только тогда, когда ОМ =-' ОА+-' ОВ+-' ОС. з' з' з 5.
Пусть А, В, С,Π— точки, нележащие е одной нлоскости. Геометрическим местам точек М, удовлетворяющим условию ОМ =а ОА+р.ОВ+у ОС+б ОО, где все коэффициенты а, «3, у, б — неотрицательные числа. сумма которых равна единице, яегяетсл треугольнал нирамида (тетраэдр) АВСО, включая внутренние ее точки. Если коэффициенты а,«3,у,б положительные и а+«3+у+б=1, лю точка М "делит" объем тетраэдра АВСО в оизнои«внии: Рилсо 'Рысил 'Уиолл 'Уилес =а'0'У'б б. В свойствах 1-5 точка О лриложения радиус-векторов нроиэволь- Пример 1.25.
На сторонах АВ и АС треугольника АВС азаты соответственно точки М и Ф так, что АМ:МВ=2:3 и А«з«:%С=3:5. В ы- А( ком отнош нии д литов иокдый 3 о р яков ВУ и СМ точкой К их пересеченияу С В рисд56 С) Поскольку векторы АВ и АС неколлинеар- ные, выберем их в качестве базиса на плоскости. С одной стороны, точка К принадлежит прямой В«ч' (рис.1.56), поэтому существует такое значение г, при котором АК = г.
АЖ+ (1 — з) АВ . С другой стороны, точка К принадлежит прямой СМ, поэтому найдется такое значение г, при котором АК=г.АМ+(1-г).АС. Учитывая, что АМ=ля АС вЂ” 3— — 2— и АМ=э.АВ, получаем: АК=« — АС+(1 — г) АВ=г —.АВ+(1-г).АС. 3 8 5 В силу единственности разложения вектора АК по базису на плоскости, ~иравниваем соответствующие координаты: с в.г=1-з, з а в' ) 37=8-8з, )г= —, 17 ' 1-г=- з, 15 — 57=2 з, (а=м. Таким образом, АК=7 АФ+(1 — г).АВ (, ы = — , 'АМ+,7.АВ, те.
точка К делит отрезок ВУ в отношении ВК: КУ = 12: 5 . Из равенства АК=з АМ+(1-з).АС ( 75 =$ АМ+ 9 АС делаем вывод: СК:КМ =25:9. ° Пример 1.26. В треугольной пирамиде ОАВС 0 найти сумму векторов, соедиюпощих каждую из вершин с точкой пересечения медиан противоположной грани. В,~ С ППусть А,,В,, С,, О, -точкипересеченияме- ~1 диан граней ОВС, ОАС. ОАВ, АВС соответственно. Требуется найти сумму 00, + А4, + ВВ, + СС, .
Ь В Возьмем некомпланарные векторы а =ОА, Ь =ОВ, с = ОС в качестве базисных и разложим все слагаемые искомой суммы по зтому базису. Пусть М вЂ” середина ребра ВС (рис.1.57). Применяя свойство медиан ( АО,: 0 М = 2: 1) и свойство 2 аффиниых и выпуклых комбинапий при а = 1, р = 2, находим: 00,=-' ОА+~з ОМ ~з'л+з КЬ+с) з (а+Ь+с); АА, =ОА,-ОА=4.0М-ОА= з -'(Ь+се-а =-' (Ь+с)-а.
з' Аналогично (меняя циклически буквы) получаем ВВ, — ~" (а+с)-Ь, СС, — —.(а+Ь)-с. Складывая все разложени~, приходим к равенству 00, +АА +ВВ,+СС, = =1,. (а+Ь+Р)+"; (Ь+с)-а+-, (а+В)-Ь+- (а+Ь)-с =О, ОО, яа ав, сс, т е. искомая сумма равна нулевому вектору. ° Пример 1.27.
Основанием четырехугольной пирамиды,ЯВСР служит параллелограмм АВСО. На боковых ребрах ЯВ и ЯС взяты соответсгзенно точки В и С так, что ЯВ7:В В=5:2 и ЯС,:С,С=4:3. В каком 95 отношении делит ребро БР плоскосп и, прохода. Б щаячерезточки А, В,,С,7 с П Пусть Р1 точка пересечения плоскости с ! 1 БР ребром БР (рис.1.58). Найдем отношение ='= Л. зР 1 С БР дяя зтого разложим векторы БР1 и БР по базису вне!.58 БА, БВ, БС. Так как точка Р, принадлюаит нлоскзь сти и, то по формуле (1.23) БР, =з.
БА+ 5.БВ, +(1-1-5) БС, =1 БА+5.5.БВ+(1 — з — з) -"БС; Я7=БА+АР= Я+ВС=БА+БС-БВ. Подставаив равенство БР1 =Л БР полученные разложения, находим 1 БА+5 — 5.БВ+(1-г-з) 4БС=Л БА-Л БВ+Л БС. 7 7 Записываем равенства соответствующих координат равных векторов: г=Л, -ь'=-Л, 5 ф1-1-5)=Л. Подставляя г=Л и з=--Л в последнее уравнение системы, получаем 7 5 -(1-Л+-Л)= Л . Отсюда Л = —, т е.
= = —. Следовательно, плоскость 4 7 Я)1 20 7 5 27 ' БР 27 делит ребро в отношении 20: 7 (считая от вершины пирамиды). ° 1.6.3. Метрические ирилеимнии иреизведеинй векторов Перечислим свойства скюшрного, векторного и смешанного произведений (см. разд.1.4,1.5), прюзеняемые при решении геометрических задач. Предполагается, что координаты векторов а,Ь,с, указанные в формулах, найдены относительно стандзртного базиса 1, 3, К в пространстве: а — х ° +У .7+с Ь, Ь= ь 1+Уь 7+сь.Ь, счл ° +У .5+с -Ь. Напомним, что в стандартном базисе скалярное, векторное, смешанное произведения векторов вычисляются по формулам (1.
10),(1.16),(1.17): ( а Ь)=".'хь+У„'Уь+с 'хь1 х у (а,д,с)= [а,Ь)= х, у, г, хь Уь гь х, у, 1. Вектор а = о тогда и только тогда, когда (а,а)=0 о» хз+у~+«~=0 о» х,=у,=«,=0. 2. Ненулевые векторы а и Ь ортогональны тогда и только тогдгь когда (а,Ь)=О с» х,.хь+у, у +г, гь =О. 3. Векторы а и Ь коллинеарны тогда и только тогда, когда х, у, хь уь гь (а,Ь]=о с» х, у, хь Уь гь 4. Векторы а, Ь, с комнланарны нюгда и только тогда, когда «а уа га (а,Ь,с)=0 е» хь Уь гь с ус гс 5.
Длина вектора а вычисаветсл но формуле: И=бсй=й «! *.'. 6. Угол <р между ненулевыми веюнорами а и Ь вычислветсв но формуле: а,Ь х,'хь+У 'Уь+г 'гь ДГ4 .Ь 7. Алгебраическое значение двины ортогональной нроекции вектора а на ось, задаваемую веюнором Ь и о, нвходвтси по формуле: Ь,ь] нр-а = ь Ь 8. С~зтогональиаа нроекцин вектора а на ось, задаваеаую векторам Ь Фо .. — (а Ь| — х хь+у у»+а хь + уь + гь 7 515» 9.
Иаиравляющие косинусы вектора а находятся но формулам сова= -'-а= 1а,й! воз 7 т ! — -а = ! ! совр = )а! „з+ з+ г' Еа,Ь (Е! 15. Высота Ь параллелепипеда, построенного на веюиорах а, Ь, с, находится ио формуле (см. рнс.1.47): ((,Ь,с)! еа,Ь.с ~[ьд~ 16. Угол 1у между векпюрсвс а и плоскостью„содержащей векторы Ь и с, дополняет до прямого угла угол ф между векторам а и вектором й=(Ь,~~, перпендикулярным плоскости (рнс.1.59аз), и вычисляется ио форисуле: (а,Ь,с) зтю = ! соз<р! = )а! (Ьсс! 98 10. Единичный вектор е, одинаково направленный с ваоиорсм а, находится по формуле: е =т=т=) сова+1.совр+К.сову. !™! 11. Площадь Я - параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, вычисляется по формуле: Я - =([а,Ь)~.
12. Обьем У - параазелелипеда, построенного на векторах а, Ь, с, вычисляется ио формуле: У вЂ” = ! (а, Ь, с)! . За,Ь,с 13. 7)юйка неколоианарных веюиоров а, Ь, с — правая (левая) тогда и только тогд~к когда (а,Ь,с) >О (соответственно, (а,Ь,с) <О). 14. Высота Ь параааелограмью, постлроенного на веюпорах а . Ь, вычисляется по формуле (см. рнс.1.42,б): 1 7. Угол б между ляоскосятмн, содержаазими векторы а, Ь и с, ~Т ответственно, вычисляется как угол между векторами т =Го, Ь), я — (с,сЦ, иеряендикулярными данным нлоскостям, но формуле (рис.1.59,б): ([а Ь), (с,с7)) (а,Ь) (с а) я =(Ь,с) Ви«А.59 Замечании 1.14. 1. Указанные формулы применяются также для векторов на плоскости, полагая, что их аппликаты равны нулю.
2. Площадь ЯАВС треугольника АВС можно найти как половину площади Я вЂ” — параллело5рамма, построенного на векторах АВ и АС, т.е. «АВ, АС ~А«С 1 З «АВ,АС' 3. Объем У треугольной пирамиды АВСР можно найти как одну шестую объема У вЂ” — — параллелепипеда, построенного на векторах «АВ,АС,АО АВ, АС, АР, т.е. У =-'.У вЂ” — —, поскольку объем треугольной пи- АВСО б «АВ,АС,АО рамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту, а площадь треугольника (основания пирамиды) в два раза меньше площади параллелограмма (основания параллелепипеда).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
