Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 17
Текст из файла (страница 17)
б Рве Сбз Замечания 1.15. 1. С точки зрения векторной алгебры задачу приведения системы сил можно рассматривать как задачу нахождения "суммы" заданных скользящих векторов. Если бы речь шла о свободных векторах, то их можно было бы приложить к любой точке пространства и сложить по правилу параллелограмма (в случае двух векторов) или по правилу ломаной (см. равд.1.1.2). Для скользящих векторов так делать нельзя. 2. Для решения задачи приведения системы сил используется операция "переноса" силы в точку вне линии ее действия.
Пусть в точке А приложена сила г" (рис.1.63,а). Приложим к произвольной точке О две противоположные силы 7 и — Г, воздействия которых на твердое тело. разумеетсл, компенсируются (рис.1.63,6). При зтом получим пару сил г" и - г, приложенных к точкам А и О соответственно. Пара сил характеризуется моментом (1.26): М = (а, г ]. Таким образом, силу можно перенести в любую точку, добавив при этом соответствующую пару сил (рис.1.63,в).
Решение задачи приведения системы сил содержит два этапа. Первый этол. Силы Г,гз,...,Р„, приложенные к твердому телу в точках А,, А,..., А„, "переносятся" в одну точку (см. п.2 замечаний 1.15). 'Перенесем" все силы в точку О и сложим их. Получим главный вектор (1.24), приложенный к точке О, и главный момент (1.25) заданной системы сил.
Таким образом, исходная система сил приводится к главному вектору !07 Р, приложенному в точке О, и свободному главному моменту М„. Главный вектор Г называют иерамм ииеарваишан системы снл, так как его величина и нащ>веление не зависят от выбора точки О . Ф 4Мо' О я Рис.!.64 Ве!орой этан. Упрощение системы снл посредством выбора точки О. Пусть известны: главный вектор г системы сил и главвъгй момент М от- в носнтельно точки О. Найдем главный момент М„. той же системы сил относительно другой точки О . Поскольку для всякой точки А!,! =1,...,л: г = а +г!, где г! = ОА,, г = О А,, а = 00 (рис.1.64,а), то е л Мо = ),(г,,Г)=~7т,.+аУ)=,"~ (г!,!)г)+~а.,'~ г! =Мо,+(о,г). ! 1 1=! ! 1 ! ! Значит, главные моменты связаны следующим образом (1.27) М =М ° +Г,Р).
Рассмотрим частные случаи. 1. Если главный вектор сил нулевой ( Р = о ), то из формулы (1.27) следует равенство моментов (М, =М,), т.е. главный момент не зависит от о' ' центра О, а система сил эквивалентна паре. В зтом случае говорат, что сися!ема сия лрвеодия!ся к ларе сия с люмеювом М (рис.1.64,6). Если г = о и М, = о, то механические воздействия всех сил взаимно уничтожаются (случай уравновешеяяой системы сил). 2. Если главный вектор сил ненулевой ( Р ю! о ), то можно найти ортогональную проекцию главного момента на линию действия главного вектора (см.
разд.1.5.4): Найдем проекции векторов в левой и правой частях (1.27) на линию действия главного вектора Р . Поскольку скалярное произведение векторов Р и (7, Р) равняется нУлю, так как зти векторы ортогональны, то У "Рг Мо — лрг Мо' т.е. ортогональная проекция главного момента на линию действия главного вектора системы сил не зависит от точки О (проекцию лрр М„называют ажорььи илвариалюам системы сил).
Выберем теперь точку 0 (т.е. вектор а =00 ) так, чтобы ортогональная составляющая М =Мо-лррМ, равнялась нулевому вектору (рис.1.65,а). Длл этого от точки 0 отложим вектор л перпендикулярно плоскости, содержащей векторы Р и М„, так, чтобы выполнялось равенство (а, Р ) = -М . Найденную точку О можно переносить параллельно прямой, содержащей вектор Р, при этом равенство (а, Р ) = — М будет выполняться, так как не изменястсл плечо для Р .
Рва.1.65 Таким образом, любая система сил приводится к главному вектору Р н паре сил с моментом М, коллинеарным главному вектору (так называемому диламическаиу клюву (рис.1.65,6)). Если второй инвариант системы сил равен нулевому вектору ( лрр М, = о ), то система сил сводится к одной силе Р, называемойрааладейсюаующай, механическое воздействие которой эквивалентно воздействию исходной системы сик. Равнодействующая системы сил совпадает с главнымвектором: Р =Р, +Рз+...+Р„.
Далее рассмотрим задачи приведения систем сходящихся и систем параллельных сил к равнодействующей силе. СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ И СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬИЫХ СИЛ Система сил Р;,гз,...,Р'„, линни дейсгвиа которых пересекаются в одной точке, называется системой сходяи1ихся си2ь Пусть задана система сходящихся сил Р;, Рз,..., Р„с главным вектором 1г = г' + Р + ... + Г„. Поскольку линии действия всех сил проходят через одну точку А, то главный момент относительно этой точки равен нулевому вектору: М = о . Тогда второй инвариант арр М„= о .
Такая система приводится к равнодействующей Р=г,+Р +...+г„. Требуется определить точку А (ее радиус-вектор г ) приложения равнодействующей силы. Рас.1.66 Если все силы принадлежат одной прямой, то и равнодействующая лежат на этой прямой (любую точку прямой можно считать точкой А приложения равнодействующей). Если не все силы коллинеарны и линии действия пересекаютсл в точке А, то зта точка является точкой приложения равнодействующей (1.ббпр). Например, в системе Р;, Рз, Р (рис.1.66,6) силы г', и гз не коллинеарны, поэтому точку А (точнее ее радиус-вектор г=ОА) можно найти из системы уравнений: < г=~+х,.Р;, г=г -х Р, 2 2 2' которая выражает условия коллинеарности векторов: (р — г )]~ г', и (- -) р-г, г -р г -г)а г', т.е.
=~ = х и -э -= х . Вычитая из первого уравнения сис- 2 ° г ° р 2 г темы второе, приходим к равенству г -р +х, ~, +л 7 =о, которое можно представить в виде 110 вектор: р=г+х г!. Он определяет точку А равнодействующей силы Г= г1+ 3т + Р . Пример 1ЗО. В стандартном базисе на плоскости заданы координат- НЫЕ СтОЛбцЫ СИСТЕМЫ трЕХ СХОдящнХСя СИЛ г;,гз,г"' Н ТОЧЕК (радиуе- векторов !;, гз, г ) нх приложения (рис.1.бб,б) 3! ° ~2 33 "! Г2 3 Требуется найти: а) равнодействующую Г и точку А (радиус-вектор Р) ее приложеб) моменты каждой силы г!, 72, гз, момент равнодействующей г", а также главный момент М, заданной системы сил относительно точки О . П а) Находим координатный столбец у равнодействующей всех сил (см.
разд.1.3.4): ~-У1+.~2+А- Следовательно, г = ! -3.3. Поскольку силы г3, )г не коллинеарны, то задача сводится к разложению вектора Ьг=7 -г по векторам г1,гз: Ьг=х, г!+х гз. Находим координатный столбец Ьг вектора Ьг = гз — г (см. равд.1.3.4): =Ф-И=С По формулам (1.19) получаем (см.
разя.1.5.3) Ьгл 2 Х вЂ” зв вв — 2 — 1. '! Л'2 111 Х! 1 Х2 2* где Ьг =гз-3;. Таким образом, неизвестные х,, х (достаточно найти одну неизвестную, например, х,) можно найти как коэффициенты разложения векюра Ьг = гз-г по базису г3,Г2, а затем получить искомый радиус- сходящихся сил. б) Найдем по определению моменты сил р;, гз, гз, Г относительно точки О: 1 х 2 1 0 ~ой ) 1 -1 0 2 0 0 — 2 — 2 0 ю 7' к Ййр(Р)=(г, Р')= 1 2 0 =-5 к 1 -3 0 Главный момент М, системы сил находим по формуле (1.25) М =-3 К-4.к+2 х= — 5.к. о Главный момент М, можно найти по формуле (1.27): М„=М +(г,г"'), где г =ОА.
Поскольку главный момент М, системы сил относительно точки А нулевой (Ма = о ), то Мо =(г, г ) = тЯ= — 5 я . Результаты вычислений совпадают. ° Система сил г", г,..., г называется системой вараллельиыл сил, если векторы Р,, Р~,..., Р„коллинеарны. Следовательно, г=г+х у =~ ~+(-1) ~ )=~ ),те. у=~+2 ).
~1~ (-1! (2! Заметим, что линия действия силы г проходит через найденную точ- кУ А, так как вектоРы (Р- гз) и г коллинеаРны: г-г =~ ~-~ )=~ ~= —,г, т.е. заданная система сил является системой Пусть задана с~стена параллельных сил Р1, Рз,..., Р„с гла~ным вектором Р = Р1 + Р + ... + Р'„, отличным от нулевого вектора.
Поскольку момент каждой силы перпенликуларен линии ее действия, то и главный момент М„ системы параллельных сил перпендикулярен главному вектору Р . Тогда второй инвариант лрр М = о . Такая система сил приводится к равнодействующей г" = Р1 + гз+...+ Р„. Требуется определить точку А (ее радиус- вектор р ) приложении равнодействующей силы. Разберем сначала случай системы двух параллельных сил (рис.1.67,а).
Поскольку векторы Р;, Р' коллинеарны, то точка А (отмеченная треугольником на рис.1.67,а) приложения равнодействующей Р = Р1 + г делит отрезок А,А обратно пропорционально силам (лраеиао Архимеда): А,А:АА =Р: Р1. Поэтому согласно свойству 2 аффинных н выпуклых комбинаций: Р г == г+=.г .
р р 1 2' О Раа.1Д7 Точку приложения равнодействующей Г= г", + г + Р системы трех параллельных сил (рнс.1.67,6) можно найти последовательно: сначала равнодействующую г", +гз и точку !8! ее приложения(радиус-вектор гл): р ГЛ Г1+ !2' 1 2 1 2 8 — 5!50 пз а затем — искомую точку А (отмеченную треугольником на рис.1.67,б): '=р,+г)+г,'""'рЛ~+г, "= 1 2 3 ! 2 1 2 1 2 3 ~2.- "з.- =-.а"р+= г += г . ф"! Р'2 Р'з По индукции заключаем, что точка приложения равнодействующей систеыы л параллельных снл находится по формуле Р р=-~-р+=л-.р +...+=".г .
р 1 р 2 "' р л' ЦЕНТР МАСС И БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ Под маюериальиой алочкой понимается тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения. Такое тело рассматриваегся квк геометрическая точка (считается, что вся масса тела сосредоточена в одной точке).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
