Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 14
Текст из файла (страница 14)
образуют базис пространства. Найдем векторы взаимного базиса по формулам п.3 замечаний 1.13: )а 3 -2 1 2 -1 3 = — 1-5 г-7 7'+1 к(; 17 Т 7' 3с 2 — 1 3 = — — ( — 8.1-1 /+5.Ь); 17 1 2 2 7 Ь г г = — (б г'+5 7з-8 г1). 17 з -г 1 6) По свойству 1 находим (а [Ь,с]1=(а,с).Ь -(а,Ь) с =(1 2+2 (-1)+2 3).(З.Т-27з+1 К)- -(1.3+2 ( — 2)+2.1) (2 ю-1,у+3 х)=(16 г-11 7+3 Ь).
Для нахождения двойного векторного произведения можно использовать матричную форму записи [см. четвертое свойство). Векторам а, Ь, с соответствуют координатные столбцы г) Ь= -2 =( 3 =Ьа с-са Ь= -2.(1 2 2) 1 '(-г) (1 2 2) 3 -г (1 г+2+1)+г.з)- 1 -12— = — 11 2 4 4 -1 -2 — 2 3 6 6 т.е. г7=16.г — 11.7з+З.А . в)Учитывал,что [а( =(а,а)=1з+2 +2 =9, (а,Ь)=1 и [а,[Ь,а[1=(а,а).Ь вЂ” (а,Ь) а =9 Ь вЂ” 1 а = =9 (3 ~ -2.7+1 К) — 1 (1.ч+2 7з+2 К)=гб.г -20 7+7.А, по свойству 3 находим Ь= -' .а+ — [а [Ь а[)=- а+-.(9.Ь-1 а)= =-.(1 ~+2.7+2 х)+ — (26.à — 20 7+7.А), 9 9 По свойству 4 получаем коордиивтный столбец И двойного векторного произведения Й = (а, [Ь,с|]: тЕ.
ОртОГОНаЛЬНая ПрОЕКцИя Пр-Ь =А а =1.~+- 7т+- 1, а ОртОГОНаЛЬНаа 1 ° 2 ° 2. е 9' 9' 9' 9' составлшощая равна — 1- 2бт 20-. 7— Ь =Ь вЂ” прлЬ =Ь- — а = — ч'- — т+ —.1. ° 9 9 9 9 1.б. ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 1.6.1. Применение векторов в задачах на аффиииые свойства фигур В данном разделе рассматривается применение векторной алгебры дла решения задач аффинной геометрии. В этих задачах, как правило, требуется искать отношения длин отрезков, площадей фигур или объемов тел. Наряду со свободными векторами будем использовать радиус- векторы, т.е. векторы, приложенные к одной (произвольной) точке О пространства. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ КОМБИНАЦИИ РАДИУС-ВЕКТОРОВ Множество линейных комбинаций радиус-вектора ОА называется его линейной оболочкой и обозначается 12п(ОАА)=(ОМ: ОМ =а.ОА; аи Л).
Линейная оболочка Юп(ОАА) ненулевого радиус-вектора ОА представляет собой множеспю радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой ОА (рис.1.50л). )лп(ОА ) Соп(ОА ) М О А О А М в Рис!,50 86 В самом деле, ненулевой вектор ОА образует базис на прямой ОА (см.
равд. 1.3.1). Поэтому вектор ОМ можно разложить по этому базису (см. теорему 1.3 в раз1Ь1.3.1), т.е. представить в виде ОМ = а-ОА, где а— координата вектора ОМ . Линейная комбинация а.ОА радиус-вектора ОА называется неотрицательной, если ее коэффициент — неотрицательное число: а > 0. Множество неотрицательных линейных комбинаций вектора ОА называется его конической оболочкой и обозначается: Сол(ОАА)=)ОМ: ОМ=а ОА„а>0, ан Ю~. Коническая оболочка Сол (ОАА) ненулевого радиус-вектора ОА представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат лучу ОА (рнс.1.50,б). Действительно, учитывая, что неотрицательная комбинация является линейной, приходим к равенству ОМ =а.ОА, где п>0. При а>0 векторы ОМ и ОА одинаково направлены, т.е.
точка М принадлежит лучу ОА . Если а = О, радиус-вектор ОМ нулевой, т.е. точка М совпадает с точкой О (с началом луча ОА ). Множество линейных комбинаций радиус-векторов ОА и ОВ называется их линейной обалочюзй и обозначается Ии ~ОА, ОВ)= ~ОМ: ОМ = а ОА+ 1) ОВ; ан В, 'рн Я ~.
Покажем, что линейная оболочка Ил(ОАА,ОВ) двух неколлинеариых радиус-векторов представляет собой множество таких ралиус-векторов, концы которых (и сами векторы) принадлежат плоскости, проходящей через точки О, А, В (рис.1.51,о). О А М Риса 51 Действительно, неколлинеарные векторы ОА и ОВ образуют базис на плоскости, проходящей через точки О, А, В (см.
равд.1.3.2). Позгому для юобой точки М зтой плоскости ралиус-вектор ОМ можно разложить по базису (см. теорему 1.4 в равд.1.3.2), т.е. представить в виде ОМ = а ОА+ р. ОВ, где а, р — координаты векгора ОМ . И наоборот, для любых чисел а, ~3 радиус-вектор ОМ =а ОА+~3 ОВ, а следовательно, и точка М, принадлежат указанной плоскости. Если векторы ОА и ОВ коллинеариы, то любая их линейная комбинация принадлежит прямой АВ (рис.1.51,б). Линейная комбинация а ОА+Д ОВ радиус-векторов ОА и ОВ называется паошризапиаяьнвй, если ее коэффициенты — неотрицательные числа: 87 а к О, 13 > 0. Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов ОА и ОВ называется их конической оболочкой и обозначается: Сои1(ОАА,ОВ)=)ОМ: ОМ =а ОА+р.ОВ; а>0, р>0, ан В, 13и Р).
Коническая оболочка Сои 1ОАА, ОВ) представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскому углу АОВ (запприхованное множество на рнс.1.51,в). Множество линейных комбинаций радиус-векторов ОА, ОВ, ОС называется их линейной оболочкой и обозначается Еюи(ОА ОВОС) = ~ ОМ: ОМ = а ОА+ р ОВ+ у. ОС; ан Р, рн Я, ун В ). Любой радиус-вектор ОМ прнвадлежит линейной оболочке 1ли~ОА,ОВ,ОС) трех некомпланарных радиус-векторов ОА, ОВ, ОС. В самом деле, векторы ОА, ОВ, ОС (рис.1.52,л) образуют базис в пространстве (см. разд.1.3.3).
Поэтому (см. теорему 1.5 в равд.1.3.3) любой радиус-вектор ОМ можно разложить по этому базису, т.е. представить в виде ОМ = а ОА+ р ОВ+ у. ОС, где а, р, у — координаты вектора ОМ . Ели ~ОА ОВ, ОС) О Ряс1лэ Линейная комбинация а ОА+ р. ОВ+ у ОС радиус-векторов ОА, ОВ, ОС называегсл неоаирицательной, если ее коэффициенты — кострищ~- тельные числа: а > О, 13 > О, у > 0. Множество неотрицательных линейных комбинаций векторов ОА, ОВ, ОС называетсл их конической оболочкой и обозначается: Сои(ОАОВ,ОС)=(ОМ: ОМ=а ОА+р ОВ+у ОС; а>0, рйО, у~О, ан Я, рн В, ун В). Коническая оболочка Сои(ОАОВ,ОС) трех некомпланарных векторов представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат трехгранному углу ОАВС (рис.1.52,б).
88 Понятия линейной или неотрицательной комбинаций векторов распро,раияются на любое конечное число векторов. Векторы ОА,,ОА,...,ОА называются образующими линейной оболоч«н Юи(ОА,,ОАз,...,ОА ) н, соответственно, конической оболочки Сел(ОА, ОАз,-.,ОАа ). АФФИННЫЕ И ВЫПУКЛЫЕ КОМБИНАЦИИ РАДИУС-ВЕКТОРОВ Линейная комбинация а ОА+р ОВ радиус-векторов ОА и ОВ называется аффиииай, если сумма ее коэффициентов равна единице: а+ р =1. Множеспю аффинных комбинаций векторов ОА и ОВ называется их аффикиай айаиачкай и обозначается: А()'(ОАА,ОВ)=(ОМ: ОМ =а ОА+р ОВ; а+р=1, ан В, рп Ю).
Покажем, что аффинная оболочка Аб"(ОАА,ОВ) представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат прямой АВ. Действительно, равенство ОМ =а ОА+Р ОВ при а+~3=1 можно представить в виде ОМ =(1-~).ОА+р.ОВ=ОА+~3.~0 — ОА). Отсюда следует, что АМ = ОМ вЂ” ОА = р. АВ, т.е. векторы АМ и АВ коллннеарны (рис.1.53,а). Следовательно, точка М принадлежит прямой АВ. Проводя рассуждения в обратном порядке, заюпочаем, что для любой точки М, принадлежащей прямой АВ, найдутся такие числа а и р, что ОМ =а ОА+р ОВ и а+р=1. Линейная комбннациа а.ОА+р.ОВ радиус-векторов ОА и ОВ называется аыиуклай, если все ее коэффициеипа — неотрицательные числа, а нх сумма равна единице: а+р=1, а>0, ~3>0.
Множество выпуклых комбниапий векторов ОА и ОВ называется их выпуклой айалачкай и обозначается: Саит(ОА,ОВ)=(ОМ: ОМ=а.ОА+р ОВ; а+р=1,а>б,р>0,ап Ю,~3н Ю). Покажем, что выпуклая оболочка Солт(ОАА,ОВ) представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат отрезку АВ (Рнс.1.53,б). Действительно, учитывая, что выпуклал комбинация является аффннной. приходим к равенству АМ = р. АВ, где 0 < ~3 <1. Это равенство означает, что точка М принадлежит отрезку АВ (вюпочая его концы: М совпадает с точкой В при р=1 и с точкой А при р = О). Поскольку 89 — — — — — — — АМ р АВ р МВ=АВ-АМ=АВ-!3 АВ=(1-р) АВ=а АВ,то = == —. При МВ а АВ !х этом говорят, что точка М дели!и олцызек АВ а оюиеюении АМ:МВ=р:а (а>0, р>0, а+!3=1).
О А а Рва!53 Рассмотрим аффинные и выпуклые комбинации трех радиус-векторов. Линейная комбинация а ОА+ р. ОВ+ у ОС радиус-векторов ОА, ОВ, ОС называется аффииией, если сумма ее коэффициентов равна единице: а+р+у =1. Множество аффинных комбинаций векторов ОА, ОВ, ОС называется их а!рфинной оболочкой и обозначается: АВ ~ОА,ОВ,ОС)=~ОМ: ОМ =а ОА+(3 ОВ+у ОС' а+р+у=1, ан Я, рн В, уи Я).
Покажем, что аффинная оболочка АЯ'(ОАА. ОВ,ОС) представляет собой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоскости, проходящей через точки А, В, С (рис.1.54,л). Действительно, исключая в равенстве ОМ =а ОА+Д.ОВ+у.ОС коэффициент а=1-!3 — у, получаем ОМ =(1 (3 у) ОА+5 ОВ+у ОС=ОА+(3'~ОВ ОА)+у (ОС ОА).
Отсюда следует, что ОМ вЂ” ОА = р (ОВВ-ОА)+ у (ОСС-ОА), т.е. АМ =р АВ+у АС. Если векторы АВ, АС коллинеарны (точки А, В, С принадлежат одной прямой), то и точка М принадлежит той же прямой, а также любой плоскости, проходящей через точки А, В, С . Если же векторы АВ, АС не коллинеарные (точки А, В, С не принадлежат одной прямой), то точка М принадлежит плоскости, проходящей через точки А, В, С, так как вектор АМ разлагается по векторам АВ, АС, принадлежащим этой плоскости. Проводя рассуждения в обратном порядке, приходим к выводу, что для любой точки М, принадлежащей плоскости, проходящей через точки А, В, С, найдутся числа а, !3, у такие, что 90 ОМ =а ОА+5.ОВ+у ОС, а+р+у=1.
Линейная комбинация а ОА+р ОВ+у ОС радиус-векторов ОА, ОВ, ОС называется оыиуклой, если все ее коэффициенты — неотрицатель„ые числа, а их сумма равна единице: а+ р+у = 1. Множество выпуктях комбинаций векторов ОА, ОВ, ОС иазываегся их вылуклой оболочкой и обозначается; Соит~ОА,ОВ,ОС))='1ОМ:ОМ = а ОА+р ОВ+у ОС; а+р+у=1, а>0, р>0, у>0). вися д4 Покажем, что выпуклая оболочка Солт(ОАА,ОВ,ОС) представляет со- бой множество всех радиус-векторов, концы которых принадлежат плоско- му треугольнику АВС (предполагаем, что точки А, В, С не лежат на од- ной прямой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
