Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если в точке А сосредоточена масса «2, то зту материальную точку будем обозначазь щА . Положение материальной точки А задаетсл ее радиус-вектором Р = ОА, приложенным к некоторой заданной точке 0 . Любая совокулносп материальных точек называется сиеюаиой маюариальиаис щечек Например, систему образуют л материальных точек Щ,А,, щ А,..., щ„А„с массами зл,,щ,..., щ„, положение которых определяется раднус-векторами г = ОА,, ! = О!~,..., г„= ОА„соответственно.
Предполагаем, что любые две материальные точки соединены жестким "невесомым" стержнем. Любая часть системы материальных точек называется ладсислзаиой. В поле силы тюкести на каждую материальную точку из системы Щ,А,щ !~,...,щ„Ал действует сила г! =ю, я, ! =1,...,л, где я — ускорение свободного падения. Эта система параллельных сил, согласно предыдущему разделу, может быль заменена равнодействующей Г=щ.й, где щ=ю,+щ +...+щ„— масса всей системы. Точка У (ее радиус-вектор г = ОА ) приложения равнодействующей находится по формуле Щ„ у=-~ ° р+-~" у +...+ — ".р щ 1 щ 2 " Щ л 114 Перечислим основные свойства центра масс.
1. Каждая система материальных точек с ненулевой суммарной массой имеет однозначно определенный центр масс Л8 8лз 8Л ОЕ= — ОА + — ОА +...+ — ".ОА„. 2. Положение центра масс системы л8,А,, л8 А,..., л8„А„(с ненулевой суммарной массой, т.е. л8, +...+ л8„88 0) не изменится, если суммарную массу подсистемы л8,А,, л8 А,..., л8аАь, й < л (с ненулевой суммарной массой, т.е. л8, +...+8и, ~0) перенести в ее центр масс.
(1.28) 3 а и е ч а и и е 1.16. Учитывая свойспю б аффинных и выпуклых комбинаций (см. разд.1.6.1), положение центра масс У не зависит от точки О приложения радиус-векторов. Поэтому формулу (1.28) можно использовать в виде [5] Е= — А,+ — А +...+ — *, Л88 . 8882 .
л Л8 Л8 Л8 не указывая точку приложения радиус-векторов. Пример 1З1. В трех вершинах А, В, С параллело8рамма АВСР сосредоточены массы л8, ( — «8), л8 соответственно. Найти центр масс этой системы. С( На рис.1.68 изображена система сил, отвечающая условиям С задачи (сила рл, соответствующая ~в "отрицательной" массе, направлена А вверх). Суммарная масса всех точек равна в8 (отлична от нуля). По Р О свойству 1 для произвольной точки О имеем Р88ся Ла и называется Иеил8рам масс (или 688ридеил8рем) системы материальных то,8ек, Если во всех точках сосредоточены одинаковые массы, центр масс системы называется геамелзрическим.
Эта формула применима и в случае, когда некоторые (или все) силы противоположны силе тяжести, например. г8 = — л8, К. В этом случае будем считать, что масса, сосредоточенная в точке А8 . отрицательная ( — л88 ). 02 = — ОА+ — ОВ+ — ОС = ОА -ОВ+ ОС СР+ ОС = ОР, Л8 Л8 Л8 В8-СО т.е. центр масс совпадает с вершиной Р параллелограмма ° 8* 1!5 Пусть в вершинах треугольника А,А А сосредоточены массы т~ *тг '"з ,фт любой тройки чисел т,, т, т (с о»шинной от «уля суммой) сущестеует единстеенная точка 2 (иентр масс системы) ОЕ=т, ОА +тз.ОАз+тз ОАз, и наоборот, для любой точки Е е нлоскости треугольника А,А А сущестеутн единстеенная тройка ч~сел т,,тз,тз (т~+тз+тз =1) такая, ч»ю точка 2 яеляется центром масс системы.
ТРойка чисел т1, тз,тз называетсл баРинентРическими ко»Рдииа тами точки Е относительно треугольника А,А А . Аналогично определтотся барипентрические координаты в пространстве. — Я вЂ” Я вЂ” Я 02 =-ьй"-.ОА+-й~-""ОВ+-аЗВ-.ОС= Я Я Я 1 †.г а — †.г.Ь вЂ” 2 г.с — а — Ь вЂ” с 1 =-~ — ОА+ з .ОВ+~ —.ОС= — ОА+ — ОВ+ — ОС, р г р г р.г 2р 2р 2р где Я вЂ” площадь треугольника АВС, г— радиус вписанной окружности, а р — полупериметр. Таким образом, барипентрические коордвваты центра вписанной ок- ружносзи Ь тв а+Ь+с а тл а+Ь+с с тс т —.
° а+Ь+с гна1.И !1б Пример 1З2. Найти барипевтрические координаты центра вписанной в треугольник АВС окружности. П По условию задачи требуется найти массы т,,те,т., которые нужно сосредоточить в соответствующих вершинах треугольника АВС, чтобы центр масс трех материальных точек т„А, т»В, т С совпал с центром вписанной в треугольник окружности. Учитывая свойство 4 аффинных и выпуклых комбинаций векторов (см. Равд.1.6.1), получаем (рис.1.69): Задачи дли саместеительиеге решении 1.1.
Какие ненулевые векторы а и Ь удовлетворлютусловнлм: а) |а+Ь |=|а-Ь |; б) — = °; в) |а+Ь )=|а |+|Ь |; |а! ~Ь! ' г) |а-Ь!=|а |+|Ь!; д) |а+Ь!=|а! — |Ь)? Ответ: а) ортогональные; б,л) одинаково направленные; г) противоположно направленные; г) противоположно направленные н ! а ! а | Ь | . 1.2. Найти геометрическое место точек И плоскости, длл каждой из которых | АВ+АМ |=| АВ|, гле А и В заданные точки плоскости. Ответ: окружность с центром О на првмой АВ и радиусом ОА = АВ. 1З. Найти величину острого угла равнобокой трапеции АВСР с осно- ваннами АВ и СО, если известно, что | АВ+ СО | = | АО | .
Ответ: д. ' з' 1.4. Разложить вектор р = 2.а -3 Ь по векторам 4 = а +Ь н Р=а-Ь. Овеет: р= — 4+~-г. 2 3 1Л. Разложить вектор р = 2 а -Ь+с по векторам а и Ь, если известны разложенил векторов а,Ь,с по базису в,,в: а=2.в,— 2 в, Ь =2 в,-в, с=2 в,+4.е . Отвелс р=-3.а+5.Ь. 1.б. Векторы в,, е, в и а заданы свонмн координатными столбцами ) :) г) =( =( в некотором базисе. Показать, что векторы в,,в,в сами образуют базис пространства и найти координаты вектора а в зтом базисе.
Олмет: а =1 в, +2 в +3 в . 1.7. Определить, при каких а и р векторы а=-2ч+3 7'+а Ь, Ь =Р.г'-б у+2.К коллинеарны. Ответ: а=-1; р=4. 1.3. Доказать, что дла любых векторов а, Ь, с и любых чисел а, р, т тривектора п.а-р Ь, т Ь-и с, р с-т а лннейнозависимы. 117 Указание: коэффициенты разложения векторов записать в столбцы (а — р О), (О ? -а)г,(-? О р)г, из которых составить матрицу н определить ее ранг. 1.9. В параллелограмме АВСР: АВ = Ь, АР = а, К вЂ” середина стороны ВС, Ь вЂ” середина стороны СР, М вЂ” точка пересечения медиан треугольника АВР, точка Н делит отрезок ВР в отношении ВУ: ФР =1: 3.
Разложить векторы АС, ВР, АК, ВЕ, Кй, МН по векгорам Ь и а . Ответ: АС=Ь+а; ВР=а-Ь; АК=Ь+-' й; Вь=+Ь+а; КЕ=+Ь+-,' й; МН=Ь Ь-6 й. 1.10. В каком отношении медиана АМ треугольника АВС делит биссектрису В1., если известно, что АВ = 3 ВС? Ответ: 4: 3, считая от вершины В . 1.11. Точки М и Н вЂ” середины сторон АВ и СР четырехугольника АВСР соответственно. Доказать, что МН ='.ВС+ ь АР =1.АС+ 1.
ВР. з 1.12. Доказать, что МА+МВ+МС=о, если М вЂ” точка пересечения медиан треугольника АВС . 1.13. Доказать, что ОА+ ОВ+ ОС = ОН, если Н вЂ” точка пересечения высот треугольника АВС, а точка Π— центр описанной около треугольника окружности. 1.14. В треугольной пирамиде ОАВС на боковых ребрах ОА, ОВ, ОС взяты точки А,,В,,С, так, что ОА=З ОА,, ОВ=4 ОВ,, ОС=5 ОС,. В каком отношении плоскость, проходящая через точки А,, В,, С,, делит отрезок, соединяющий вершину О с точкой пересечения медиан треугольника АВС? Ответ: 1: 3, считая от вершины О. 1.15. Использул скалярное произведение векторов, доказать метрическое свойство параллелепипеда: сумма квадратов диагоналей нараккелениледа равна сумме квадратов его ребер.
Указание: использовать метрическое свойство параллелограмма (см. пример 1.14). 1 16. Доказать, что векторы а = а . (Ь,с) — Ь (а, с) и с ортогональны. 1.17. Вычислить (а,а)-3.(а,Ь) — 2 (Ь,с), если известно, что а =4.т-л, Ь =т+2.н, с =2 т — З.н, где т и и — взаимно перпендикулярные векторы, причем ~ н ) = 1. Ответ: 19. пв 1.18. Найти единичный а =6.1 -7,1-б 1 ° Оюяввлк в = — ю — 7' —.Ь . б ° 7 б 11 11 11 1.19. Вычислить модуль а =12 ю -15 7'-1б Ь .
Оювввлк (а (=251 сова=ф; вектор в, коллинеарный вектору и направляющие косинусы вектора собр= — —; сову=- —. 15. 16 75 ' 25' 1.20.Вычислить уголмеждувекторами а =З.1+2.) 1 Ь =1+5 ю'. Оюивевю: д. ю' 1.21. Какой угол образуют единичные векторы е,,е, если извеспюо, что векторы а = е, + 2. е и Ь = 5 в, -4 вз взаимно перпендикуларны. Олюввюл: -".
'з' 1 22 Даны векторы а = ю' — 3. ю + 4.1 . Ь = 2 ю' — 3. ю+ б й . Найти ортогональную проекцию лрьа вектора а на ось, заданную вектором Ь, и ортогональную составляющую а — вектора а относительно этой оси, а также ьь алгебраическое значение лр -а длины проекции вектора а . ь Овювелк лр-а =ьк ю'-юа Г'+-(й юю; а -=-л ю-л )-2 1; лр-а =5. Ь 7 7 7 ' ЬЬ 7 7 7 ' Ь 1.23.
Вычислить (((а,Ь],~,Ь))+(а,Ь), если известно, что ~а~=2, ~ь |=3. Омввюл: Зб. 124. Силы рю = 2 ю- у-3.1 1 рз =3 1+2 1 — 11 Р =-4 в+7+3.1 приложены к одной точке А. Найти равнодействующую Р этих сил и момент люо(Т) равнодействующей относительно центра О, если известно, что ОА=-З ю+7-1. Омввлк Р =1'+2 77-1'1люоЯ=ю'-4 77 — 7 Ь . 1.25. Найти положения центра масс 2 однородных пласппюк, изображенных на рис.1.70: а) из квадрата АВС1) вырезана "четверть" (рис.1.70,а)1 б) трапеция АВСО, основания которой относятся, как АО: ВС = 2:1 (рис.1.70,б); в) из круга с диаметром АВ вырезан круг диаметра ОВ, где то'пюа О— центр большего круга (рис.1.70,в). 119 Ошвевп а) точка У делит отрезок АО в отношении 5:1, считая от точки А (рис.1.7(),а); б) точка Е делит отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, в отношении 4:5, считая от большего основания; в) точка У делит отрезок АО в отношении 5: 1, считая от точки А .
1.26. На векторах ОА=т ~+л.(-1 К, ОВ=л.! — ш.у+1 К, ОС =1.г +1 (+1 к построена треугольная пирамида ОАВС (рис.1.71). тр бу и а) длины ребер ОА, ОВ, ОС; б) величину угла АОС; в) площадь треугольника ОАС; г) объем пирамиды ОАВС ", д) высоту пирамиды, опущенную из вершины В; е) высоту треугольника ОАС, опущенную из вершины А; В ж) угол между ребром ОА и плоскостью грани О ОВС; А з) величину угла между плоскостями граней ОАС и Рвсл.71 ОВС; и) радиус-вектор ОМ, где М вЂ” точка пересечены медиан треугольника АВС; к) радиус-вектор 0)т', где точка )т' делит отрезок АМ в отношении АФ:УМ =3:4; л) направляющие косинусы вектора ОВ; м) алгебраическое значение ортогональной проекции вектора ОА на направление вектора ОВ; н) ортогональную проекцию вектора ОА ла прямую, перпендикуларную грани ОВС; о) единичный вектор е (орт), имеющий направление вектора АВ; п) вектор а, имеющий длину вектора АВ н направление вектора АС.
ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 2.1. АФФИННЫЖ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 2.1.1. Аффиииые системы координат иа прямой, иа плоскости, в пространстве Пусть в пространстве фиксирована точка О. Совокупность точки 0 н базиса называется аффннной (декартооой) системой координат: — аффинная система координат на нрямой (рис.2.1л) — зто точка О и ненулевой вектор е на прямой (базис на прямой); — аффинная система координат на нлоскости (рис.2.1,б) — зто точка О и два неколлинеарных вектора с,, с, взятые в определенном порядке (базис на плоскости); -аффинная система координат о лространстее (рнс.2.1,в) — зто точка 0 и три некомпланарных вектора е, е, е, взятые в определенном порядке (базис в пространстве).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
