Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 77
Текст из файла (страница 77)
когда линейная комбинация в левой части (П.1) тривиальная. Аналогичные определения формулируются и для строк (матриц-строк). Свойства линейно зависимых и линейно независимых столбцов аналогичны свойствам линейно зависимых и линейно независимых векторов.
П.й. Ранг матрнць» Пусть А — матрица размеров т хи, а й — натуральное число, не превосходящее т и и: 1<ппп(т;н). Минором й-го норядка матрицы А называется определитель матрицы й -го порядка, образованной элементами, стоящими на пересечении пронзвольно выбранных к строк и й столбцов матрицы А. В матрице А размеров тхн минор г-го порядка называется базис. нмм, если он отличен от нуля, а все миноры (г+ 1)-го порядка равны нулю или их вообще не существует. Рангом матриц»» называется порядок базисного минора В нулевой матрице базисного минора нет.
Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению полагают равным нулю. Ранг матрицы А обозначается гй А. Другими словами, ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы. Теорема е ранге матрицы. Ранг матрицы равен максииальному числу линейно независимых строк этой матрицы. Следствие. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов: гй А = гб А Необходимее и дестатечяое условие равенства нулю определители.
Длл того чтобы онредемонель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов (одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк). П.9. Обратная матрица Пусть А — квадратная матрица порядка н. Матрица А ', удовлетворяющая вместе с заданной матрицей А равенствам: А 1 ° А=А.А 1=Е, называется обратной. Матрицу А называют обртннмой, если для нее существует обратная, в противном случае — необршнимой. Из определения следует, что если обратная матрица А 1 существует, то она квадратная того же порядка, что и А . Однако не для всякой квадрат- е91 ной матрицы существует обратная. Если определитель матрицы А равен нулю ( йе1 А = О ), то для нее не существует обратной. Квадраниит матрица А = а1! аы онределитель которой от- личен от нуля, имеет обратнув матрицу и нрюном только одну: Ац Аз1 ...
А„1 Ачз Аы " Ачз А 1 йе1 А = — А, 1 ое1А Аы Аз„.. А А~ Ам ". Аы Аз Аы ". А.з где А+ = — манрица, транснонированноя для матри- А,„Аз„... А цы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы А . Матрица А+ называется нрисоедииенной мангрицей по отношению к мат- рице А. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Операция обращения матрицы обладает следующими свойствами: 1. (А ) =А; 2. (АВ) '=В 'А '; 3. (А ) =(А 4.
де1А ~ = —; 5. Е ' =Е, деФА если имеют смысл операции, указанные в равенствах 1 — 4. ОРГОГОНЛЛЬНЫВ МЛТРНЦЫ Действительная квадратная невырожленная матрица А называется ортогональной, если А ~ = А . Из определения следуют основные свойства ортогональной матрицы А . 1 А АюЕжААТ 2. ~ йе1 А ~ =1 — модуль онределителя ортогональной матрицы равен единице. 3. Матрица А ~ (или, что то же самое А ) является ортогональной. 4. Произведение ортогональныл матриц одного и того нее норядка является ортогональной маари цей.
492 П.10. Системы линейных алгебраических уравнений Системой т линейных алгебраических уравнений с и неизвесишыми называется система уравнений вида апх~+а,зхз+ "+амхн нЬ1, а,х, + а х + " + а х„= Ьз, (П.2) евах,+а„аз~+" +а х„=Ь . Числа ае, 1=1,...,т, /=1,...,л называются козффициентами системы; Ь~, Ьь,..., Ь вЂ” свободными членами, х,, хз,..., х„— неизвестиыни. Количество т уравнений в системе может быть меньше, больше ипи равно числу и неизвестных. Решением системы называется упорядоченная совокупность и чисел (а,,аз,...,а„) такая, что после замены неизвестных х,,хз,...,х„соответственно числами а~,аз,...,а„каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместном. Система (П.2) называется однородной, если все свободные члены равны нулю: апх, +ашхз+ "+а,„х„=О, адх, +ажхз+" +аз„х„=О, (П.З) а„ах, + а зхз + " + а х„= О. В о'гличие от однородной, систему общего вида (П.2) называют неоднородной. Матричная запись неоднородной системы уравнений (П.2) имеет вид (П.4) (а, - а„1 Ь1 где А = ! ' .:. — матрица системы, х =.
:— столбец неизвесиьнмх, ем - а Х (ь,1 Ь =. :— столбец свободных членов. Матричная запись однородной сись„~ темы уравнений (П.З) имеет вид: Ах=о, (П.5) где символ о в правой части обозначает нулевой столбец размеров тх1. 493 НРАВНЛО КРАМЕРА Если определитель А матрицы системы л линейных уравнений с л неизвестными отличен от нуля, то система имеет единственное решение, А; которое находится ло формулам х, = — ', г =1...,л, где А — олределитель матрицы, лолученной из матрицы системы заменой г'-го столбца столбцом свободных членов, т.е.
яи -. в,, Ь, а„„-. а, еи - в1., Ь в ж - в яи - ки 1 Ь„а„м - а„„ услОВие сОВмесгнОсти системы линейных уРАВнений Рассмотрим систему(П.4) т линейных уравнений с л неизвестными. Составим блочную матрицу, приписав к матрице А справа столбец свободных членов. Пахуч им расширенную матрицу системы: ь, ьз (А ) Ь)= ви -.
а ви - а1 км - а Эта матрица содержит всю информацию о системе уравнений, за исключением обозначений неизвестных. Теорема Кронекера-Канелли. Сисжема Ах = Ь совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу рааниренной матрицы: гЕА=гй(А ~ Ь). Следствие 1.
Система Ах = Ь имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы равны числунензвестлных(гЕА=гй(А ) Ь)=л). Следствие 2. Система Ах = Ь имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и меньше числа неизвестных ( гй А = гй (А ) Ь) ( л ). Однородная система линейных уравнений (П.5) всегда совместна, так как имеет тривиальное решение х~ = хз = ... — — х„= О ( х = о ). Следствие 3. Однородная система Ах = о имеет единственное (тривиальное) решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен числу неизвестных ( гй А = л ).
Следствие 4. Однородная система Ах=о имеет бесконечно много решений тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных ( гй А < л ). 494 ЛИТЕРАТУРА 1. Александров АД. Основании геометрии. — Мл Наука, 1987. 2. Александров ПС. Лекции по аналитической геометрии. — Мл Наука, 1968.
3. Александров П.С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.— Мл Наука, 1979. 4. Атанесян Л С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. В 2-х ч. — Мл "Сантакс-Пресс", 1997. 5. Баас М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс. — Мл Наука, 1987. 6. Бать МИ., Дзсанелидзе ГЮ., Кельзон А.С. Теоретическая мехлника в примерах и задачах. Т.1. — Мл Наука, 1971. 7. Бахвалов СВ., Модемов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. — Мл Наука, 1964. 8. Беклемишев Д.В.
Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.— Мл Наука, 1984. 9. Беклемишева ЛА., Петрович А.Ю., '4~баров ИА. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Под ред. Д.В. Беклемишева.— Мл Наука, 1987. 10. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Линейная алгебра в примерах и задачах.
— Мл Высшая школа, 2005. 11. Бугров Я.С, Никольский С.М Элементы линейной алгебры н аналитической геометрии. — Мл Наука, 1980. 12. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. — Мл Высшая школа, 2002. 13. Данко ПЕ., Полое А.Г., Кожевникова ТЯ. Высшая математика в упражнениях и задачюс Учеб.
пособ. для студентов втуэов. В 2-х ч. Ч.1.- Мл Высшая школа, 1986. 14.Делоне БН., РайковДА. Аналитичесвля геометрия. Т.1. — М.-Лл ОГИЗ Гостехнздат, 1948. 15. Дубровин Б.А., Новиков С.П„Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — Мл Наука, 1979. 16. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. — Мл Физматгиз, 1962.
17. Задачник-практикум по аналитической геометрии и высшей алгебре: Учеб. пособ. / Волков В.А., Ефимова Т.А., Райнес А.А., Шмидт Р.А. — Лл Изд-во ЛГУ, 1986. 18. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. — Мл Наука, 1981. 495 19. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендае .6лХ. Математический анализ Мг Наука, 1979. 20. Калитников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия.— Мг Изд во МГТУ, 2000. 21. Киреев В.И.. Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и зада чах.— Мг Высшая школа, 2004.
22. Игвтеник ДВ. Сборник задач по аналитической геометрии.— Мг Наука,1980. 23. Кудрявцев ЛД. Курс математического анализа: Учебник. — Мг Высшая школа, 1988. 24. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии. — Мл Наука, 1976. 25. Модвнов П.С. Аналитическая геометрия. — Мл Изд-во МГУ, 1969. 26. Нефедов В.Н., Осинова В.А. Курс дискретной математики. — Мг Изд-во МАИ, 1992. 27. Паюнвлеев А.В., Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах. — Мг Высоте школа, 2003. 28.
Пантелеев А.В., Летова ТА. Методы оппвпезацни в примерах и задачах. — Мс Высшая шкала, 2002. 29. Паюнвлевв А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. — Мг Высшая школа, 2001. 30. Пантелеев А.В., Якимова А.С, Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. — Мг Высшая школа, 2001. 31. Погорелов А.В.
Аналитическая геометрия. — Мг Наука, 1968. 32. Постников ММ. Аналитическая геометрия. — Мг Наука, 1973. 33. Прасолов В.В. Задачи по ппаниметрии. В 2-х ч. — Мс Наука, 1991. 34. Прасолов В.В., Шарыгин ИФ. Задачи по стереометрии. — Мг Наука, 1989. 35. Привалов И.И. Аналитическая геометрия. — Мг Наука, 1964. 36.
Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа 7 Нод ред. А.В. Ефимова, БЛ. Демидовича.— Мг Наука, 1981. 37. Фвдорчук В.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. пособ. — Мг Изд-во МГУ, 1990. 38. Цубврбиллвр О.Н. Задачи и упражнении по аналитической геометрии.— Мс Наука, 1966. 39. Черников С.Н. Линейные неравенства.
— Мс Наука, 1968. 40. Шилов Г.Е. Математический анализ (функции нескольких вещественньзл,переменных). — Мг Наука, 1972. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
