Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 75
Текст из файла (страница 75)
При сопаз >1 поперечные полуоси однополостного гиперболоида х, +х -х =сопа1 больше единицы, и он не имеет общих точек со сферой единичного радиуса При сопи < — 1 продольная полуось двуполостного гиперболоида ~а+ ха -х = сопа1 больше единицы, и он не имеет общих точек со сферой ха+ха+ха =1. При -1<сопз1<1 поверхность уровня х, +хз -хз =совз1 имеет общие точки с заданной сферой. 3. Из п.2 следует, что допустимые значения функции определяются неравенспюм -1< У'(х) <1. 4. Наименьшее значение на множестве М, равное -1, функциа достигает в точках (0,0,х1) — вершннах двуполостного гиперболоида х~+х~~-хз =-1 (рис.4.60,е); наибольшее значение на множестве М, равное единице, функция достигает в точках окружности с ха+ха =1, хз ~0, т.е.
в точках горлового эллипса (в данном случае окружности) однополост- ного гиперболоида вращения ха + аз -хз =1 (рис.4.60л). ° /(.т) О 1 я 3 Л Задачи дли самостеятельиого решении Во всех задачах предполатастсв, по в пространстве зада!м првмоутолвпвк спсзема координат О«у«. Комрфнциенты в сбмпх и параметрнчесзпк уравнмпмх прлмых и плоскостеа, а также в каноннчесвнх урввневнвх прзмых, указанные в ответах, опредмзквпсл нсодножычно.
4.1. Плоскость задана уравнением х+ 2 у-3 х-6 = О. Составить параметрическое уравнение и уравнение "в отрезках" этой плоскости. +Зчз' т у Он!вели у 1!, 3!и Й, ззе Й; + — + — =1. 6 3 -2 4.2. Плоскосзь проходит через точки А(1,2,3), В( — 1,3,1), С(3,— 4,0). Составить для этой плоскости: а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение; в) уравнение "в отрезках".
( «!+Зч,, Оупввун: а) 3 х+2 у-2.г-1м0; б) у 3+1, 3 еЙ, з еЙ; «3+З.т,+сы х у 2 в) — + — + — =1. 1 1 1 3 3 3 4З. Прямая проходит через точки А(1,2,3), В(-1,3, 1). Составить для этой прямой: а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение; в) каноническое уравнение. (х+2 у-5=0, (" ' 3" х — 1 у-2 х-3 Оулввун: а) ~; б) 7=3+1, зе Й; в) — = — = —. х-х+2ж0; («3 3, ' 2 -1 2 4.4. Найти ортогональную проеюцпо А точки А(3,-4,-2) на плосх-5 у-6 с+3 косп, проходящую через точку В(2,3,-3) и прлмую — = — = —.
13 1 -4 О!певун: А (2,-3,-5). 4.5. Найти точку С, симметричную точке С(2,-5,7) относительно прямой, проходящей через точки А(5,4, 6) и В(-2, -17. — 8). Опзввуп: С(4,1,-3). 4.6. Заданы координаты вершин А(1,2,3), В( — 1,3,1), С(3,-4,0) треугольника АВС. Составить уравнения прямых, проходящих через вершину А и содержащих медиану, высоту и биссектрису треугольника, а также уравнение серединного перпендикуляра к стороне ВС, принадлежащего плоскости треугольника. «-1 у-2 «-3 .
( Е.«-7.у-«+!3, О, «-1 у-3 «-3 ( 4 «-7.у-«-7 О, О 1 1 1 3 «+З.у-з «-1 О! 3 11 73 1 3.«+З.у-з «-1 О. 4.7. В пространстве заданы три прямые: с х-у+3 х-2=0, 2.«+у-2.х-1=0; х = 1+ 2. г, х-2 у+3 «+3 у=2-16.г, гнЯ; 1 8 3 а=4-6.г, Найти величину угла между скрещивающимисл прлмыми. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые. Омеелс агссоа й; 23 х+ 4. у — 3. х -19 = 0 . зт ' ' 4.8. Заданы координаты вершин О(0,0,0), А(ш,л,-1), В(л,-ль1), С(1, 1, 1) треугольной пирамиды ОАВС. Требуетсл: а) составить общее уравнение плоскости грани АВС; 6) найти расстолние от вершины О до плоскости грани АВС; в) найти величину угла между плоскостями граней ОАВ и АВС; г) найти угол между ребром ОА и основанием АВС пирамиды; д) найти проекцию вершины О на плоскость основании АВС; е) состашпь каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину О и точку М пересечения медиан треугольника АВС; ж) найти угол между прямыми ОМ и АВ; з) найти расстолние между прямыми ОМ и АВ; и) найти ортогональную проекцию С вершины С на прямую АВ; к) составить уравнение примой, симметричной прямой ОМ относительно плоскости основания АВС.
4.9. Определить виды линий второго порядка, получающихся в сечениях поверхности х ~.2 у -3.«~-1=0 плоскостями: а) х=О; 6) х=1; в) х=2. Омвелс а) гипербола; 6) пара пересекающихся прлмых; в) гипербола. 4.10. Используя ортогональиые инварианты, при каждом действительном значении Л определить вид поверхности: а) Л х +8 у +я~+16 х у+4 х «+4.у х — 4 х-4.у+2 а=0; 6) х -2 у -3 х -4.х.у-б.х г-2 х+4 у+6 г+Л=О; в) Л х +~~+4.« а+4 «-4.у+2.а=О.
Оглвелс а) однополостный гиперболоид при Л < 8, эллиптический цилиндр при Л=й, эллипсоид при Л>8; 6) двуполостный гиперболоид при Л <1, конус при Л =1, однополостный гвперболоид лри Л >1; в) гиперболический параболоид при Л < 4, параболический цилиндр при Л = 4, эллиптический параболоид при Л > 4. 4.11. Привести уравнение поверхности второго порлдка к каноническому виду.
определить название поверхности и указать соответствующую ортогональную замену неизвествык: и — 5! 50 вп а) х +у -г -2 х-2 у+2 2=0; 2 б) х -у -2 — 2 у — 1=0; 2 2 2 в) х -4.х+2+3=0; г) 2 х +9 у +2 х~-4.х у+4 у.х — 1юО; д) 3 х +З.у +3 22 — 8.х у-б.у.2=0; е) 2 х +2.у +2~ — 10.х.у+20 х-8 у+29=0; ж) 16 хз+9.у — 22-24 х у-9 х-12 у+4 2+71=0. Олзвел1: а) однополостный гиперболоид (вра1пення) Ц + ф-Щ = 1; х = х +1, у = у +1, 2 = 2 +1; б) конус (крутовой) Ц,-+4-4..— 4-~4-= 0; Ф Ф / 612 х=х, у=х -1 2=у; в) параболический цилиндр 1у) =2 — х; 'г' х=у +2, у=я, 2=1 — х ~ г)Эллипсоид ~~~ +"~ ~у'+ ~ ~у = ®* (ЗЬ)* Х=З х'+) .у' — ' г', у=1 х'+О.у'+ — 4 2', 2= — 2 х'+ — ' у'+ + .х; д)конус + — =0; х=- х+ — у+ — 2, ~;ф 2 ',~ з з~' 12)". 1.~'.~4. у=О х — — у +-,1 г, 2 = — х +-2 — у +-~ 2; е) двуполосп1ый ~2 ~2 ' 5 5.1/2 5.~2 гиперболоид -~'-~-+-ых-- * =-1; х=О.х+ — ' у+ — ' г, у=2+ (,Гг~~ ~/з)' '1Я ' зП зР г +О х —.у +-„'ь .2, 2=х; ж) гиперболический параболоид 1/2 ~2 (й7 Р 4 Ф з Ф вЂ” 1'-7=2 2; х=З+4 х+О у+4.2, у=4-5.х+О у+4'2, 2=2+ у- )1 ' 5 5 ' 5 5 + у .
Замены переменных опредеяязотся неоднозначно. 4.12. Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому выду, определить название поверхности, найти координаты начала канонической системы координат и ее базисных векторов относительно исходной системы координат. а) 1л х +л у -2 -2 т и х-2 лз л.у-2 лз.л 2+аз л 12-л)=0; 2 2 2 2 l б) л.х +и у + —.2 +2 т.х у+2 х 2+2 у 2+аз-л=О. 2 ПРИЛОЖЕНИЕ НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ [101 П.1.
Числовые матрицы Матрпцей раьпвров тхн называется совокупность ш и чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из т строк и и столбцов: а11 1212 - а!а 1221 1222 "' а2 ИЛИ А = (ав ), 1 = 1,, т; 1 = 1а н Л . а„,1 анз ... а,„ В общем случае матрицу (размеров тхл) называют прямоугольной. В частности, если матрица состоит нз одного столбца (и =1) или одной строки (ш=1), то она называется матрицей-столбцом нли матрицейслзрокой (либо просто столбцом нди строкой) соответственно. Матрнцыстроки или матрицы-столбцы часто обозначают строчными буквами. Матрида размеров 1х1 — зто просто число (единственный элемент матрицы).
Если у матрицы количество строк ( л1 ) равно количеству столбцов ( и ), то матрицу называют квадршпной ( и -го порядка). Элементы ап,аю,...,а образуют главную диагональ квадратной матрицы (ей соответствует пир нховая линия на рис.
П.1, соединяющая левый верхний Пабачнан дни анадь Гдавтн днноннль угол матрицы (элемент ан ) с правым нижним углом (элемент а )). Диагональ, соеднюпощая левый нажний угол (элемент а„,) с правым верхним углом (элемент а,„), называется побочной. Рна. П.1 11 ° Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы: а„— элемент матрицы, спнпций на пересечении 1-й строки и ! -го столбца матрицы.
Всюду далее предполагается, что элементы матриц являкпся действительными числами, если не оговорено противное. Две матрицы А и В называютсл равными (А = В ), если онн имеют одинаковые размеры ( т х и ) и равные соответствующие элементы: ан =ЬК, 1=1,,1л; 1=1,,л. ап О ... О О аж ... О Квадратная матрица вида А = у которой все О О ... а элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диаго- нальной и обозначается 46ал(а„, азз,.... а ) . Частным случаем диагональ- ной матрицы служит квадратная матрица 1 О ...
О О 1 ... О О О ... 1 которая называется единичной ( н -го порядка) и обозначается Е (или Е„). Если все злемен- ~) (Ч наюна ты квадратной матри- (~) цы, расположенные ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют верхней ивро' уеолв ной (нинелей треугольной). На рис. П.2 изображены диагональная и треугольные матрипы (здссь и далее будем полагать, по в частях матрицы, помеченных символом О, все элементы равны нулю, а в частях, помеченных символом * и линиями, элементы матрицы могут быть произвольными).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
