Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Заметим, что диагональная матрица, в частности единичная, является одновременно верхней н нижней треугольной. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. П.2. Линейные операции над матрицами СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ Пусть А=(ай) и В=(ЬР) — матрицы одинаковых размеров гахн.
Матрица С = (с, ) тех же размеров гахн называется суммой мюнрии А и В, если ее элементы равны сумме соответствующих элементов матрип АиВ: сц. -— ай+ЬР, 1=1,,ш; ) =1...,н. Сумма матриц обмначается С = А+ В . Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковых размеров и выполняется позлементно. 484 умиожжииж матрицы иа число Произведением матрицы А =(а;) на число Л называется матрица С = (сп) тех же размеров, что и матрица А, каждый злемент которой равен произведению числа Л на соответствующий злемевт матрицы А: ся=Ла;, 1=1,...,т; )=1,...,л.
Произведение обозначается ЛА или АЛ. Операция умножения матрицы на число выполняется позлементно. Матрица (-1) А называется противоположной матрице А и обозначается ( — А). Сумма матриц В и (-А) называется разностью и обозначается В- А . Для нахождения разности матриц В- А следует из элементов матрицы В вычесть соответствующие злементы матрицы А . Вычитать можно только матрицы одинаковых размеров.
ПЗ. Умножение матриц опгжджлжпиж пвоизвжджнин матриц Пусп даны матрицы А=(а„) размеров тхр и В=(Ь; ) размеров рхл. Матрицу С размеров тхл, элементы с, которой вычисляются по формуле ся =алЬп+анЬз)+...+аеЬВ, 1=1,,т;,) = 1,,л; называют аранзааданием матриц А и В и обозначают С =АВ. Операция умножения матрицы А на матрицу В определена только для согласааанныл матрнп„у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрц В: С= А ° В. ахр ехр рха тхр тхл рхл рв .п.з Чтобы получить элемент с-, стоящий на пересечении 1-й строки и ) -го столбца матрицы С, следует выделить 1-ю строку матрицы А н ) -й столбец матрицы В 1рис.
П.З). Они содержат одинаковое число элементов, так как матрицы А и В согласованы. Затем найти сумму попарных произведений соответствующих элементов: первый элемент 1-й строки умножается на первый элемент ) -го столбца, второй элемент 1-й строки умножается на второй элемент /-го столбца и т.д., а результаты перемножений складываются. В произведении А В матрицу А называют левым множителем для В и говорат об умножении матрицы В на матрицу А слева. Аналогично матрицу В называют правым множителем для А и говорят об умножении матрицы А на матрицу В справа. сВОйстВА увянпжкния мАтРиц Пусть Х -любое число, А, В, С вЂ” произвольные матрицы, для которых определены операции умножения и сложеню1, записанные в левых частях следующих равенств.
Тогда определены операции, указанные в правых частях, и справедливы равенства: 1. (АВ)С=А(ВС); 3. А(В+С)=АВ+АС; 3. (А+В)С=АС+ВС; 4. )1(АВ)=()1А)В. В общем случае умножение матриц не является коммугативным. Произведение зависит от перестановки множителей, т.е. А. В о В. А.
Для любой квадратной матрицы А порядка н справедливы следующие равенства А. Е = Е. А = А, где Š— единичная матрица порядка и . Для любой квадратной матрицы А справедливы равенства А О = О и 0 А = О, где 0 — нулевые матрицы соответствующих порядков. ПА. Траиспенироваиие матриц Н11 П12 "' О!а аы а22" аз„ Для любой матрицы А = 1нрансноннрованной яннн- а,а„2" а НП О21 " О„1 т о12о22" н„2 рнцой называется матрица А получающаяся вз матрицы О1„озф" Оащ А заменой строк спшбцами, а столбцов — строками. Чтобы по данной мат- рице А пвгучить матрипу А, нужно первую строку матрицы А записать как первый столбец матрицы А, вторую строку матрица А записать как второй столбец матрицы А и т.д.
Зта операция называется траисиоиироааииаи матрицы А . Квадратная матрица называется симметрической, если Аг -А У симметрической матрицы элементы, расположенные симметрично отно- сительно главной диагонали, равны между собой. СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ ТРАНСПОНИРОВАНИЯ Пусть Х вЂ” любое число, А,  — произвольные матрицы. для которых определены операции умножения и сложения, записанные в левых частях следующих равенств.
Тогда определены операции. указанные в правых частях, и справедливы равенства: 1. (2А) =А А 2. (А+В) =Аг+В; 3 (А В)г Вт Аг. 4. (А~) =А. Операцию транспонировавна можно применить к числам, считал их матрицами размеров 1х1. Разумеется, что при транспонировалии число не изменяется: (А) =2,. Пб. Блочные (клеточные) матрицы Числовая матрица А размеров т х л, разделенная горизонтальными и вертикальными линиями на блоки (клетки), которые представляют собой матрицы, называется блочной (клаюочиой) матрицей. Элементами блочной матрицы А явлаются матрицы А; размеров т,.хлт, 1=12,...,р, ) =12,...,4, причем т, +та+...+тр =т и и,+аз+...+л„=л. Операции с блочными матрицами выполняются по тем же правилам, что и с числовыми матрицами.
Пуси» А — квадратная матрица порядка л . Олродалитоль (Ьатармитиии) квадратной матрицы А — это число де!А., которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам. 1. Определителем матрицы А = (ап) порядка л = 1 называется единственный элемент этой матрицы: де1(а„) = ап . 487 еи "' о!а 2. Определителем матрицы А = ам " а порядка н>1 называ- ется число йе1А=(-1)ыииМи+(-В~ а!ЗМгз+" +(-1) омМм ° где М, — определитель квадратной матрицы порядка л-1, полученной из А вычеркиванием первой строки и 3 -го столбца. Определитель матрицы обозначают, заюпочая матрицу в "прямые" скобки: аи ...
ем дегА = ~ А ~ = пы "' пщ Индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Определитель второго порядка вычисляется по формуле ! !Зи !212 = ПИОЗЗ-П,ЗП21. е21 !222! Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на по- бочной диагонали (см. схему иа рис. П.4). Определитель третьего порядка вычисляется по формуле "и ои ем ОЗЗ ЕЗЗ ЕЗ, ЕЪ О21 ЕЗЗ аз, а22 а23 П31 ЕЗ2 ЕЗЗ ои(~кй!еЗЗ е23е32) о12(е21еЗЗ е23пЗ!)+е13(оз!о32 отзп31) пи еы еЗЗ + п12 е23 е31 + п13 е21 !232 о!3 1222 !231 п12 !221 п33 41и 1Ъ п32 488 Имея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке елредееилзелл, апрелях или аиелбнех определи!неля, зленеювах определив!ела, опуская прн этом слово "матрица".
Например, первая строка определители л -го порядка — это первая строка аи,а!З,...,а1„квадратной матрацы и-го порядка. Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют ее!рожденной !особей), в противном случае — нееыреаеделней 1меесейей). Схема вмчнсненнн опреяепнтепн второго порнха Схема вычисления опрелевнтим третьего порвана )~4. в Рн.пэ Рпс. П.4 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 1. Длл любой квадратной матрицы де(А = бег(А ), т.е при трансионировании оиределшиель не изменяется. 2 Если в оиределителе один из столбцов нулевой (все злемеюиы столбца равны нулю), то оиределитель равен нулю: дет(...
о ...) = О. 3. При перестановке двух столбцов определитель менлети знак на противоположный (свойство антисимметричности): бег(...а ...ае ...)м-оег(...аа ...а ...). 4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю: дет(...а ...ав ...)=О при ар =а». 5. При улишжении всех элементов одного столбца определителя тт число оиределитель умножается на зто число: 489 Для запоминания формулы используется правило треугаеьников: пало сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. П.5а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. П.5,б).
Для определителя квадратной матрицы А порядка и справедливы формулы дегА=~ (-1)~+тарМ (формула разложения ио 1-й строке); 1 1 де( А = Я( — 1)'+ ~а М, (формула разложения ио т' -му столбцу), ! 1 где М. — определитель квадратной матрицы порядка и-1, полученной из Р матрицы А вычеркиванием 1-й строки и ) -го столбца. Определитель верхней или нижней треугольных матриц равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. дед(а, ...Л ат ...а„)=Л бег(а~ ...ит ...а„). б.
Определитель произведения квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению их определителей: бед(АВ) = беГА.бед В . П.7. Линейиаи зависимость и линейнаи независимость строк (столбцов) матрицы В П.2 были введены операции умножения матриц на число и сложения матриц, в частности, для матриц-столбцов (нх1) и матриц-строк (1хн). Матрицы-столбцы (матрицы-строки) будем называть далее просто столбцами (соотвстственно строками) и обозначать в данном разделе прописными буквами. При помощи этих операций можно составлять некоторые алгебраические выражения.
Напомним, что равными считаются столбцы одинаковых размеров с равнымн соответствующими элеменгами. Столбец А называется линейной комбнннцнвй столбцов А1,Аз,...,* одинаковых размеров, если А = а,А, +азА, +...+ад*, где а,, аз,..., ад — некоторые числа.
В этом случае говорат, что столбец А рнтложвн но свылбцом Ад, Аз,..., Ад, а числа а„аз.,ад называют коз44ицивндноми разложения. Линейдюя комбинация А = О А + + О А +... + О. А, с нулевыми коэффициентами называетса ндривиольной. Если столбцы имеют вид 3 А=( а,А, +а,А, +...+а,А, =о. (П.1) Здесь н далее символом о обозначается нулевой столбец соответствующих размеров.
490 то матричному равенству А = а,А, +азАз+ ...+адАд соответствуют поэяемеитные равенства а,=а, ад+аз аэ+...+ад.ад, 1н1,...,н. Набор столбцов А~,Аз,...,Ад одинаковых размеров назьпистся сис ндемой снюлбцов. Система из к столбцов Ад, Аз,..., Ад называется линейно зависимой, если существуют такие числа а,,а,...,ад, не все равные нулю одновременно, что Система из й столбцов А,, Аз,..., А» называется линейно независимой, если равенство (П.1) возможно только при а, = аз = ... = а» =О, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
