Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Например, пара пересекающихся плоскостей х - у = О разбивает пространство на четыре равные "четверти", которые "накладываются" одна на другую при помощи поворота вокруг оси Ог иа угол, кратный 2 . Гиперболический параболоид х — у = 2. г разбивает пространспю на две равные области, которые симметричны прямой -' = -" = х . о' л. При выборе положительного направления оси Ог канонической системы координат Охуг для зллиптического параболоида, заданного уравнением р(х, у, г) = О, достаточно проверить, является ли точка М с ко0 ординатами х =О, у =О, г =1 внутренней.
Вычислим значение многочлена р(х,у,г) в точке М(х,,у1,2,) в исходной системе в5ординат Охуг. Из равенства ОМ =ОО+гз -— в+Уз,гле г=(хо уе го) точки О, определяем координатный столбец точки М(х,, у,, г ): (,,)— х, у, г11 =г+г . Подставляя зтот столбец в квадратичную функшпо 1т р(х, у, г), получаем 10 — 5150 Р(~ Уз ~)=(з+зз)' А (з+зз)+2 аг (з+зз)+ао =з А о+2.а .з+ао+з 'А'зз+зз ' 'з+2'а 'зз 2.а 'зз поскольку з~.А.о+2 а э+а =0 (точка 0 принадлежит поверхности параболонда), А з = о, так как з — особый собственный вектор параболоида.
Из теоремы 4.5 следует, что точка М ( ОМ = з+ з ) является внутреннейприусловии т,.р(х,,у,,л,)<О,т.е.приусловии т,.а г <О. Аналогично заюпочаем, что правильный выбор направления вектора з,, определяющего положительное направление оси Ох для параболического цилиндра, отвечает условию т, .а з, < О. Пример 4.21. Поверхности второго порядка заданы в прямоупзльной системе координат Олуха уравнениями (см. пример 4.18): а) х +у +2-х-4.у+2 а+1=0; б) х + б.
у — 8. с+10 = 0; в) 3 х — ?.у +3 а~+8 х у-8 х.л-8 у а+10 х-14.у-б.г-8=0. Внутренней или внешней точкой по отношению к каждой поверхности является начало координат О ? Ю а) Заданнал поверхность — эллиптический параболоид (см. решение примера 4.19,"а"). Согласно теореме 4.5, проверяем условие т р(0,0,0) < О, где р(х,у,л)=х +у +2.х-4.у+2.с+1 — левая часть уравнения поверхности, а г,=2 (см. решение примера 4.19,"а").
Поскольку неравенство т, р(0,0,0)<0 ~ 2 1<0 неверное для точки 0(0,0,0), делаем вывод о том, что точка 0 является внешней для заданной поверхности. б) Заданная поверхность — параболический цилиндр (см. решение примера 4.19,"б"). Согласно теореме 45, проверяем условие т, р(0,0,0) < О, где р(х, у, г) = х + б у -8 к+10 — левая часть уравнения поверхности, а т, =1 (см.
решение примера 4.19,"б"). Поскольку неравенство т, . р(0,0,0) < 0 ео 1 10 < 0 неверное длл точки 0(0,0,0), делаем вывод о том, что точка О является внешней для заданной поверхности. в) Заданная поверхность — однополостный гиперболоид (см. решение примера 4. 19,"в").
Согласно теореме 4.5, проверяем условие Ь р(0,0,0) > О, где р(х,у,х) — левая часть уравнения поверхности, а 8 = 81 (см. решение примера 4.19,"в"). Поскольку неравенспю Ь.р(0,0,0)>0 ео 81+8)>0 неверное для точки 0(0,0,0), делаем вывод о том, что точка 0 является внешней для заданной поверхности. ° 4ЗО 4.4.7. Приведение уравнении поверхности второго порндка к каюннческому виду АЛГОРИТМ ПРИВЕДЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ Для приведения поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат Охуз уравнением (4.73), к каноническому виду нужно выполнить следующие действия.
1. По уравненню (4.73) поверхности второго порядка составить матрицу Р квадратичной функции, матрицу А квадратичной формы и столбец а коэффициентов линейной формы: А=( а11 азз азз а12 а22 азз аз 2 аы азз =( =( ав а,з ав а, зз зз а23 з азз азз азз аз а, аз аз аа 2. Составить характернстичесюе уравнение -Л + г, Л вЂ” т . Л+5 = О, либо вычисляя его юэффициевты по формулам. "т, = а,1+ а22+ азз, т = "1 "2+ "1 "3+'и 'ы, Ь=бе1А=., а а а12 азз азз либо разлагая определитель ап Л а12 а12 -Л а азз азз -Л вЂ” Лз+т .Лз т .Л+б 1 2 де1(А-Л Е)= 451 Рассмотрим задачу приведения к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка, заданной в прямоугольной системе координат Охух уравнением (4.67): а,з.х +а у +а г +2 а, .х.у+2 а, х 2+2.а у.х+ 2 2 2 + 2 а, х+2 аз у+2 аз 2+ас =О.
(4.73) Требуется определить один из семнадцати возможных канонических видов поверхности (см. теорему 4.3), найти каноническую систему коорди/ з Ф Ф нат Охуг, в которой уравнение поверхности имеет канонический вид, а затем построить поверхность в канонической и исходной системах координат. Построение, разумеетсл, производится толью для вещественных поверхностей.
Найти корни Л,Л,Л (с учетом кратности) характеристического уравне- ап аи а~з аи а22 ам аз "1з азз азз аз аз аз ао Вычислить инвариант Ь = даз Р = Если Ь=Ь=О, то вычислить семнинвариавт ап аз 2 а1 аз 2 22 2 ас ап а1з + а~з азз аз аз ас а22 азз аг аю азз аз аз аз ае Если б=Ь=О и т =т =О,товычислнтьсеминнвариавт 2 ап а1 а за аз азз аз 3. По таблице 4.3 определить вид поверхности. 4. Заиумеровать корни Л, Л2,Л характеристического уравнения в соответствии с правиламн: а) если поверхность зллнптнческого типа, то ~ Л,, ~ < ~ Лз ~ < ~ Лз ), б) если поверхность гиперболического типа, то обозначить через Л, и Л корни одного знака так. чтобы ~Л, ~ ~~Л ~, а через Л вЂ” корень противоположного знака; в) если поверхность параболического типа, то -если нулевой корень двойной, то Л,, =Л =0 и Л за 0; — если нулевой корень простой, а ненулевые корни одного знака, то Л,=о и~Л,ИЛ,~; — если нулевой корень простой, а ненулевые корни разных знаков, з либо Л, >О, если Ь а 0 или Ь = к = 0; либо Л,.к >О,если Ь=О и к ззО.
5. Найти взаимно ортогональные собственные направления 1,, 12, 1з,. соответствующие корням Л,,Л2,Л характеристического уравнения: а) если Л, = Л = Л, то базисные векторы исходной системы имеют искомые направления 1, =(1 0 0)г, 1 =(О 1 0)г, 1 =(О 0 1)г; б) если все корни Л,,Л,Л простые, то для каждого корня найти ненулевое решение однородной системы уравнений (А-Л, Е) 1з =о, 1=1,2.3.
Например, собственное направление 1 =(х у г )) для простого корня Л находится как любое ненулевое решение системы < (ап Лз)'х+азг'у+азз с=О, азг'х+(агг Лз)'у+'г 'г О' нли (А Лз Е) 1з азз '" +агз ' у+ ( зз 4з г = 0; Если Л =0 и корни Л,, и Л нмеютразныезнаки(Л, Л, <0),тона- правление 1 должно удовлетворять дополнительному условию а .1 > О, в противном случае следует заменить столбец 1 на противоположный (-1 ). Если Л, =0 н корин Л, и Л одною знати (Л, Л >О), то направление 1 должно удовлетворять дополнительному условию т,.а 1 <О, в противном случае следует заменить столбец 1 на противоположный ( — 1 ); в) если имеется двойной ненулевой корень Л, = Л а Л,, то для простого корня Л найти соответствующий собственный вектор 1 — любое ненулевое решение системы (А-Л ° Е) 1 =о, а для кратного корня Л, =Лг в качестве 1 взять любой ненулевой столбец матрицы А — Л Е, а вектор 1, найти, используя векторное произведение: 1з = [ 1г,(з ]; г) если имеется двойной нулевой корень Л, = Л = О, то направление 1г, соответствующее простому корню Л, найти как ненулевое решение аг 1 системы (А-Л .Е) 1 =о.
Вычислить проекцию а =а — г 1 . Если г' 'г вр ] [г г' а = о, то направление ! найти как ненулевое решение системы А 1 = о . Если а Фо,то направление 1, =-т, а . Направление 1 найти, используя векторное пронзведение: 1, = [(з,(г ]. Нормируя полученные векторы 1,, 1, 1, определить координатные 1 1 1 столбцы з, =т-т 1,, зг =т-т.(г, зз =~т 1з велюров зз зг ° Езканоннче ского базиса. Р б. Найти координаты хо, уо, го начала О канонической системы ко- А.э+а =о или ап х+а, у+ага к+а,=О, а,э.х+а э у+алэ я+аз =О, +а„у+ „э х+ э=0.
б) для поверхностей, не имеющих ни одного центра, найти: — в случаях эллиптического нли гиперболического иараболоидов решение э=(хо уо х ) Л эт.э+э, .а=О, Лг . ээ . э + эз . а = О, т т (а+а ) .э+по=О, где а =(а э ).э ", (т — в случае параболическою цилиндра — любое решение = (хо уо го)т системы Л з .э+э а-О, (а+а ) .г+ао=О, где а =а-а, а =ш э ) ээ. (т 7.
Вычислить коэффициенты канонического уравнения: а) для поверхностей эллиптического типа: (1) — при А<0 — уравнение элааэсоида Ц-+Ц-+Ц.=1 с коэффициентами а =- —, Ь =- ", с =-— э д э л э а лг'о лз'а (2) при б > 0 — уравнение мнимого зляилсоида 1 2 а кга (3) при А=Π— уравнение миимоэа конуса Ц-+Ц-+Ц-=0 с коэффициентами а =, Ь =-1-, с =~='-(., 2 1 2 ординат: а) для поверхностей, имеющих хотя бы один центр (зллипсоидов, гиперболоидов, конусов, цилиндров, пар плоскостей), найти любое решение э = (хо уо го) системы уравнений (11) при Ь = О, т > О, кз = 0 — уравнение нары мнимых нвресекающихся нюоскоствй Ц-+Ц- = 0 с коэффициентами а= —, Ь=--~, г ~х,~ ' ~ТД' (12) при 6=0, 'гз <О, к аΠ— уравнение гиперболического иилиндра Ц--Ц-=1 с коэффициентами а = — ', Ь = — ' х,,' л,,' (13) при д =О, т <О, к =0 — уравнение лары пересекающихся нлосностей (г-)- — (г У-=0 с козффнциентами аз = — ', Ь 2 ь1 (14) при Ь=О, 'г =О, к аΠ— уравнение нараболического ци/ О2 Ф Г к линдра (у) =2.р.х скоэффициеитом р= ~ — '; (15) прн Ь=О, та =О, к =О, к, <Π— уравнение пары нараллвльныг нлоскоствй (у 1 -Ь =0 с коэффициентом Ь з 3 "1 1 ! (1б) при А=О, т =О, к =О, к >Π— уравнение нары мнимых параллельных нлоскоствй (у ) + Ьз = 0 с коэффициентом Ь = —; 2 ,г (17) при А=О, т =О, к =О, к, =0 — уравнение нары совладающих нлосностей (у )з = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
