Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Обозначим через т,, т, Ь =дегА, А =дегр аналогичные выражения для функции (4.55). Теорема 4.4 (об ортогональиых инварнаитах). При любой ортогональной замене переменных (4.54) квадратичной фуюпзии (4.53) выражения т~, тг, Ь, А неизмеияются: т~ ='с,, т =т, б =б, А =А. В самом деле, согласно формуле (4.5б), при замене переменных (4.54) с ортогональнойматрицей Я (Я =Я ) неизменяетсяопределительквадратичной формы: дегА =де((Б~ А Б)=дегБ~ дегБ де(А=(де(Б)г.дегА=де(А, гаккаи (дегБ) =дегБ .дегБ =дезБ '.де(Б =бег(Б ' Б)=де(Е =1. Аналогично из (4.57) получаем дегР =(дезТ)г.дегР=дегР, поскольку дсгТ = дог Б (в этом можно убедиться, раскладывая определитель матрицы Т по последней строке) и (дог Б)г =1. Таким образом, определители матриц квадратичных форм не нзменются при ортогональной замене переменных: де(А =дегА, дегР =дегР.
Эти равенства Ь =Ь, А =Ь устанавливают ортогональную инвариавтность выражений б и А. Рассмотрим теперь квадратичную функцию г г г рз("l ап'хз +агг'хг+азз'хз+2'азг хз'хг+2'а~э'х~'хз 2'агз'"г'хз+ +2.аз х, +2.аг.хг+2 аз.хз+ае-Л х$ -Л.з' — Л хз, где Л вЂ” некоторая постоянная (параметр). Матрица квадратичной формы этой квадратичной функции имеет вид ап — Л а, а, а — Л а а~э агз азз ап агг аы агг агг аы а1з агз азз О Л О = А — Л Е= При ортогональной замене переменных (4.54) матрица квадратичной формы преобразуется по закону (4.56): Яг (А-Л.Е) Б=Бг ° А.Б-Л Бг Б А -Л.Бг Б А' Л Е а ее определитель не изменяется, т.е. дог(А-Л Е)=дег(А -Л Е). 42б Напомним, что определитель дег(А-Л.
Е) представляет собой много- член переменной Л, который называется харакгиеристическим миогочленем матрицы А: аи агг Л агз а1з агз азз =-Лз Лг — Л Ь дег(А-Л Е)= где Ь=дегА, т, =ац+аы+аз — след матрицы А (сумма диагональных главных миноров второго порядка матрицы А . Из ортогональной инвариантности характеристического многочлена, т.е. из равенства дег(А-Л Е)=бег(А -Л Е), следуют равенства соответствующих коэффициентов: что означает ортогональную инвариавтность выражений т, и т . Звмечанцн 4.12. 1. При любой однородной (з = о ) ортогональной замене неременных (4.54) квадратичной функции (453) выражения !н ~ Ф'1 а11 а,г а~ ап аы а1 агг аю кг= а1г агг аг + а1з аы аз + агз азз аз аг ао аг аз ао аг аз ао Ф не изменяются: к = к,, к = кг. Выражения К, Кг называются ортвгональными семиинвариантами (нолуиивариаитами) квадратичной функции (см.
п.1 замечаний 3.12). Для доказательства (141 нужно рассмотреть хараатериспзческий многочлен матрицы Р квадратичной функции. 2. Если у квадратичной функции (4.53) Ь = Ь = О, то яри любой ортогональной замене ее яеременных (4.54) выражение к не изменяется: Р кг = кг, другими словамн, выралсение кг является ортогональным инвариаюяам для квадратичной функции нри Ь = А = О . 3. Если у квадратичной функции (4.53) Ь=А=О и т =т =О, то яри любой ортогональной замене ее неременных (454) выражение к, не изие4гз о х, о~. Ф А=51 АЯ=Л= Записывая характеристический многочлен зтой матрицы, получаем Л,-Л 0 0 0 Л вЂ” Л 0 0 0 =(«,-Л) (Л,-Л).(Л,-Л), бе!(Л-Л Е)= т.е.
числа «, «., «. явлыотся его корнями. Из инвариантности характеристических многочленов де!(А — Л. Е) = де!(Л-Л. Е) следует, что )„3+, )г, «+б (Л )) (Л Л) (««) =-Л +(Л,+Лг+Лз) Л -(Л1.Лг+Лг.«3+Л1 Л,) Л+Л! Лг.Лз. Отсюда получаем: 1 ! г 3' г 1 г г 3 1 3' б 1 г 3' 7.Корни Л, Л, «. характеристическогоуравнения + т Л б 0 действительные. В самом деле, диагональная матрица Л = Я 1. А Я действительная, так как матрицы А и Я действительные. ляется: к, = к,, друппаи словами, выражение к, является ортогональным инвариантом двя квадратичной функции яри б = Ь м 0 и т = т = 0.
Доказательство утверждений п.2,3 (теоремы Моденова П.С.) приведено в [14). 4. Из доказательства теоремы 4.4 следует, что характеристический многочлен матрицы квадратичной формы является ортогоналъным инвариаюяам. 5. Корни характеристического многочлена матрицы квадратичной формы являются ортогональными инвариантами. Это следует из ортогональной инвариантности характеристического многочлена. б. Из доказательства теоремы 4.3 следует (см.
п.4 замечаний 4.7), что существует такая ортогональная замена переменных х = Я х (Я = Я ) функции (4.53), при которой у функции (4.55) будут отсутствовать произведения переменных: р(х,,хг,хз)=Л, (х,) +Лг (хг) +Лз.(хз) +2 а, х,+2.аг хг+2 аз хз+ав ° т.е. матрица А квадратичной формы функции (4.55) будет диагональной: 8. Корни Л, Лг, Л характеристического уравнения имеют одинаковые знаки (все нололсительные или все отрицательные) тогда и только тогда, когда т >О и т, Ь>0. Необходимость условий легко проверяется по теореме Виста для кубического уравнения (см.
п.б): тг =Лз.Лг+Лг Лз+Лз Л~ >О, тз Ь=(Л,+Лг+Лз).Л, Лг Лз>0 если все числа Л, Л, Л положительные, либо все отрицательные. Докажем достаточность. Покажем, что при условиях т > 0 н т, Ь > 0 выполняется неравенство Л, .Л > О, т.е. числа Л, и Л имеют одинаковые знаки. В самомделе,таккак т >О,то Л,.Л + — — =Лз Л +(Л,+Л +Л,).Л,=Л,.Л,+Л, Л +Л Лз+Ы=т,+Л~>0.
Л Л г,.б Величины Л .Л и имеют одинаковые знаки (в силу неравенства т, Ь>0) и их сумма положительна, позтому они положительные, т.е. Л, Л >О. Аналогично показывается, что и Л,.Л >О. Следовательно, все числа Л, Л, Л одного знака. 9. При умножении квадратичной функции (4.53) на отличный от нуля множитель )з собственные значения матрицы А умножаются также на )з, а инварианты и семнинварианты (см. п.1) умножаются на )з,)з~,)з или )з „ согласно свойству определителей: )з.тз, )з .тг, )з .Ь, )з А, )з к,, з И к .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ПОМОЩИ ИНВАРИАНТОВ Пусть в прямоугольной системе координат Охуг поверхность второго порядка описывается уравнением р(х, у.г)=0, (4.58) где р(х, у. г) — квадратичная функция: р(х,у,г)=аз, х +агг.у +а„.г +2 аг х.у+2.а,з.х а+2.аж у х+ +2 а,.х+2 а у+2.а г ьа . (4.59) Согласно теореме 4.3, в любой другой прямоугольной системе координат Р О х у г уравнение втой же поверхности имеет вид р(х,у,г )=О, (4.60) где квадратичная функция Р(х,у,х)=Р '(аз! (х) +ап (У) +аз!.(г) +2 азз х.У + +2.а, х.я+2 аы.у.я+2 а,.х+2.а .у+2 аз.г+а ) (461) получена из квазй!атичной функции р(х, у т) в результате умножения на отличный от нуля множитель 1з и ортогональной замены переменных: Ф х Р =э+Я.
у х Г ~+э ' + з у +з!з'х, Ф Ф у=ус+ з,.х+зтз у+э~ т, или Ф Р + . + у+ (4.62) хе Здесь з = ур — координатный столбец вектора У = ОО переноса начала ззг зы з, ззз — ортогональная матрица ( Я~ = Я ') перехоззз ззз координат, Я = зп зз! Х, О О ОХз О О О Х, 430 да от базиса !', з, К системы координат Олух к базису системы координат Охух . Собственные значения матриц квадратичных форм, инварианты и семиинварианты квадратичных функций р(х, у, х), р(х, у, х ) обозначим соответственно !' 2' 3'т!' 2' ' ' !' 3' !' 3' 3'т!' Ь' ' ' к!' 2' По теореме 4.3 и п.р замечаний 4.12 эти выраженим связаны формулами )з')~! йз Р'~з ° йз )з')!з ' т! )з т! ' тз )ь тз' Ь=Р 'Ь' 6=1з !з; к!=)! .к!' кз=Н кз.
(4.63) Используя эти связи, выясним признаки видов канонических уравнений, а также выразим коэффициенты канонических уравнений. Предполагаем, что система координат Охух каноническая, т.е. уравнение р(х, у х 1= О имеет один из семнадцати канонических видов, указанных в теореме 4.3. В этом случае матрица А квадратичной формы функции ! г г и р(х, у, г ) имеет диагональный вид: Коэффициенты при квадратах неизвестных в канонических уравнениях (1)- (17) равны собственным значениям Л,, Л, Л этой матрицы (или, что то же самое.
корням характеристического уравнения). В зависимости от знаков чисел Х,, Х, Х уравнения (1)-(17) разбиваются на три группы: — коРни Л1 = — а, Лз = — з ° Лз = — 1 отличны от нУлЯ ( Ь = Л~ .Лз Лз е 0) н имеют одинаковые знаки (зллиюивлческий тип): уравнения зллипсоида, мнимого эллипсоида, мнимого конуса; — корни Л~ = — ',,Лз = — ',,Лз — — г отл»~ны от иуля(Ь =Л,.Лз Лз еО) и имеют разные знаки (гиперболический тип): уравнения однополостного или двуполостного пшерболоидов, конуса; — хотя бы один из корней Л,, Х, Л равен нулю (Х = О, Ь=Х, Х Хз=О) (параболический тин): уравнения эллиптического нли гиперболического параболоидов, а также цилиндры и пары плоскостей. Тип уравнения (4.58) не изменяется в ходе приведения его к каноническому виду (4.бО), так как, согласно п.9 замечаний 4.12, корни характеристических уравнений связаны формулами Л, =)ь Л, Х =(з Л, Л =1з Л, т.е.
отличаются только множителем )г е О. Поэтому, если Л,,Х,Х имеют одинаковые знаки (что равносильно условиям т >О и т, Ь >0(см. п.8 замечаний 4.12)), то и Л,,Л,Л имеют одинаковые знаки (по равносильно условиям т >О и т Ь>0). Если Х,,Х,Х имеют разные знаки (по равносильно условиям Т' <О или т,.б<0),тон Л,,Л,Л имеютразныезнаки(чторавносильноусловиям т <О или т, Ь<0).Приэтомвыражения т и т, а также т, Ь и т, Ь имеют одинаковые знаки, что следует из (4.б3). Для уравнений эллиптического типа (Х, = 1, >О, Х = 1, >О, з г >О ° Л1'"з'Лз >0). (1) эллипсоида Л,.(х) +Хз (у) +Лз.(г ) — 1=0; (2)мнимогоэллипсоида Х (х) +Х .(У) +Х .(г)э+1=0; (3)мнимогоконуса Х,.(х) +Х .(У) +Х (г) =О, определитель о матрицы Р квадратичной функции р(х,у,г ) имеет один из следующих видов: 431 оХ, оо Х, е е е е Х, е о е о Х, о е е е Х, е о е еХ,ее еоХ,е е о о Ь= (4.64) т.е. для уравнений зллипсоида Ь < О, мнимого эллнпсоида Ь > 0 и мнимого конуса — Ь = 0.
Для уравнений гиперболического типа (Л, =+ > О, Лз =+ > О, Лз =- —,<О, Л, Л,.Л, <О): (4)однополостногогиперболоида Л,.(х) +Л .(у) +Л (г) -1=0; (5)двуполостногогиперболоида Л, (х) +Л .(у) +Л .(2) +1=0; (6) конуса Л, (х') +Л (у') +Л .(г')2 =О, определитель Ь матрицы Р квадратичной функции Р(х,у,х ) имеет один из указанных в (4.64) видов, т.е. для однополостного гиперболоида Ь >О, двуполостного гиперболоида Ь < О, конуса — Ь = О. Дляуравненийпараболоидов(Л,=+>О, Л =О, б=Л,.Л Лз-— 0): (7)эллиптическогопараболоида Л, (х) +Л (у) — 2.2 =О, Л, =+>О; (8) гиперболического параболоида Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
