Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Составляем матрицу А квадратичной формы и столбец коэффициентов линейной формы — 7) А=( =( 3 4 — 4 4 -7 — 4 — 4 -4 3 2. Составляем караатеристическое уравнение 3-Л 4 -4 4 -7 — Л -4 -4 -4 3-Л =0 4 -7+1 -4 х = 0 о) 4.хз+4 хз-4 хз— - О, 4 х -б.х -4.х =О, =» 1,= -4х,-4х+4х =О, -б х +4 хз-4.хз =О, 4.,— 16. -4 =О, =» 1 = -4 хз-4.ха+6.хз=О, 4 -7 — 9 — 4 ..тз ') 12 х +4.х -4 х =О, -1 е» 4.х,+2 з~-4 х =О, =» 1з= 4 — 4.х, — 4 ха+12 хз =О, 1 (.) 4 -7+9 -4 :) Раскрывая определитель, получаем (см.
разд.П.6) (3-Л) +7-Л)+128-16 (-7-Л)-32 (3-Л)=0 с:» «» — Л вЂ” Л +81.Л+81=0 е» (Л+1).(81-Л )=О. Таким образом, корни характеристического уравнения Л, = — 1, Л =9, Лз 3. Поскольку все корни Л,, Л, Л простые, то для каждого корня находим ненулевое решение однородной системы уравнений (А-Л, Е) 1, =о, 1=1,2,3: Нормируя собственные векторы 1,,1,1, получаем координатные столбцы з,, зг, з базисных векторов новой прямоугольной системы координат Оху г и составляем матрицу Я = (э, ~ з ~ з ): г ,Гг з з Гг г з э Гг г з зТ~ е э,Гг ! э ~Гг Я ! г г з я!= 0 ! Гг 4.
Вычисляем столбец коэффициентов линейной формы а = Я~ .а: о т. г ! г э з з -Ф 4 ! г э7г з~Гг (-7~ — 3 Составляем "почти" приведенное уравнение — 1.(х) +9.(у) — 9 (г ) +2,~2.х +2 З.у — 2.6.!~2 ° г — 8=0. Поскольку для каждой неизвестной имеются линейный и квадратичный члены, то дополняем их до полного квадрата: — 1.~х) -2 э/2 я+2~+2+9.~(у) +2+у+ге~-1- зг — 9.[(г)г+2 —.г'+йз) +8-8=0 Фо 1г <=э -1 (х — э1 2~ +9 (у +-! — 9 ~г + — ) +1=0 ~ з) ~ з -1.(х ) +9 (у ) — 9.(г ) +1=0, где х =х -!1 2, У =У +-, г =я+в з* з 5.
Для окончательного упроэцения умножим уравнение на (-1) и перенесем свободный член в правую часп: (х ) -9.(у ) +9 (( ) -1=0 ~+ — з — г-+~-1-=1. Ю Ю РЮ Ю РФ Ф Ф Ф Делаем замену х = х, у = г, г = у, переименовывая координатные оси: ЫТ,ЫХ И, О (~)' Получили каноническое уравнение !4) однополостного гиперболоида. 408 Найдем замену неизвестных, приводящую исходное уравнение к кано ническому виду.
В п.3,4,5 были сделаны следующие замены: 7'; Ф х +3/2 .1 з г;/г 1 0 0 х 001.у 0 1 0 г Следовательно — + 1 з и;/г з г ,Гг 3 1 1 2 и'ги 3 ~Г2 3 0 4 з.,Гг 3 Таким образом, начало канонической системы координат относительно ис- ходной системы координат имеет координаты 1, — 1, 1, а матрица перехода от исходного базиса к каноническому имеет вид 2 3.,Г2 3 4 1 зсГ2 3 г 3.,Гг 3 ~Г2 0 Проверим ортогональность этой матрицы.
Поскольку 42 342 3 =0 1 О=Е, г 42 372 3 найденн3я матрица является ортогональной. ° ! ~Г2 О О з 2 !Гг 3 1 3 72' 3. Гг 1 3 12 1 372 342 1 3.72 И 1 з72' з и з и 2!Г2 з 3 ьФгг 4 —: Ф О 1 ~Г2 4 1 з72' з72 1 2 (:.1 4.42. Эллипсоиды Эллилсоидам называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Охуг каноническим уравнением х у' г' — + — + — =1, дг Ьг г (4.46) плоски к скчкния эллипсоидя 2 2 Подставлял г = О в уравнение (4.46), получаем уравнение — '+ — "=1 дг ь2 линии пересечения эллипсоида с координатной плоскостью Оху . Это уравнение в плоскости Оху определяет эллипс (см. Равд.3.3.2).
Линии пересечения эллипсоида с другнмн координатными плоскостями также являются эллипсами. Они называются глаельиию сечениями (главными эллипсами) эллипсоида. Рассмотрим теперь сечение эллипсоида плоскостью, параллельной какой-нибудь координатной плоскости, например Оху. Подставляя г = Ь, где Ь вЂ” произвольная постояннаа (параметр), в уравнение (4А6), получаем хг г Ьг г г Ьг — + — + — =1 ез — + — =1 —. Ь г Ьг г' (4.47) 410 где а, Ь,с — положительные параметры, удовлетворяющие неравенспнщ а1Ь1с. Если точка М(х, у, г) принадлежит эллипсоиду (4.46), то координаты точек (х х,х у,й г ) прн любом выборе знаков также удовлетворяют уравнению (4А6).
Поэтому эллипсоид (4.46) симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат. Начало координат называют целюрам эллнпсоида (4.46). Шесть точек (ха,0,0), 10,хЬ,О), (О,О,хс) пересечения зллипсоида с координатными осями называются его еерлзллпмл, а три отрезка координатных осей, соедиюпощнх вершины, — осями зллипсоида.
Осн зллнпсоида, принадлежащие координатным осам Ох,Оу,Ог, имеютдлииы 2.л,2 Ь,2.с соответственно. Если а > Ь > с, то число а называетсл больюей лпяуесью, число Ь вЂ” средней лаауесью, число с — малей лелуесью зллнпсоида. Если полуоси не удовлетворяют условиям а > Ь > с, то уравнение (4.46) не является каноническим.
Однако при помощи переименования неизвестных можно всегда добиться выполнения неравенств а > Ь > с . Оеноаноа праноуголаиыа параллелепипед г г г Сечение гллвпеовдв ЛГ+~-+Зу = г Плоские сечения дают возможность составить полное представление о виде эллипсоида (рис.4.40,а) эллипсоиды врлщннин Эллипсоид, у которого две полуоси равны, называется зляллсеидам вращения (или с4еереидене). Такой эллипсоид явлжтся поверхностью вращения (см.
равд.4.1.1). Например, если а = Ь, то линии (4.47) при ~ Ь~ < с являются окружностями. Следовательно, сечения эллипсоида плоскостями х = Ь, ~ Ь ~ < с представапот собой окружности с центрами на оси аппликат. Такую поверхность можно получить, вращая вокруг оси Ох эллипс 2 ег +~- =1, заданный в плоскости Оух (рис.4.41,л). 411 При ~ Ь~ >с уравнение не имеет действительных решений (правая часть уравнения отрицательнм, алеем неотрицательнм), т.е.
плоскость х=Ь не пересекает эллипсоид. При Ь = хе уравнение (4.47) имеет нулевое решение х = у = О. Следовательно, плоскости с = й с касаются эллипсонда в его вершинах (О,О,хе). При ~ Ь ~ < с, разделив обе части уравнения (4 47) на аг х у 1- а, >О, получаем уравнение эллипса — + — =1 с полуосями с И (Ь') а =а.зг1- —,.
Ь =Ь ~1 —,. Следовательно, сечение эллипсоида плоскостью х=Ь при ~Ь~<с представляетсобойзллнпс. Если Ь = с, то все сечения эллипсоида (4.46) плоскостями х = Ь прн ~ Ь~ < а будут окружностями с центрами на оси абсцисс. Такой эллипсоид 2 можно получить, вращая вокруг оси Ох эллипс — ', ++ =1 (рис.4.41,б). Если все полуоси эллнпсоида равны ( а = Ь = с = й ), то он представляет собой сферу хэ+ уз+ 22 = йэ радиуса й, которую можно получить, юпример, вращая окружность такого же радиуса вокруг любого диаметра.
Эннннсаня щюзяана а зс с — + — +4-=1. Ь с а' Ьс Энаннсаня ннняснна „з з~ г — + — +4-=1, а Ь а2 Ь2 с2 Рсса.4.41 Эллипсоид, у которого полуоси попарно различны ( а > Ь > с ), называется трехасньгм (нли абн1им). Замечании 48. 1. Плоскости х = ба, у = йЬ, г = хе определяют в пространстве т> наенай нрлмауеааьный нараллеленннед, внутри которого находится эллипсоид (см. рис.4.40,б). Грани параллелепипеда касаются зллипсоида в его вершинах. 4. Эллипсоид можно определить, как геаиетрическое место точек, нслучаеиое е резульеиине трех сжатий (раслтжении) сферы единичного радиуса к трем взаимно нернендикулярным нлоскастяи. 3.
Начало канонической системы координат явлжтся центром снммет. рии эллипсоида, координатные оси — осями симметрии эллипсоидв, коорд1~- натные плоскости — плоскостями симметрии эллипсоида. В самом деле, если точка м(х, у 2) принадлежит эллипсоиду, то точки с ~о~рдинатами (й х, х у, х 2 ) прн 1побом выборе эна«ов также ~ри~адлежа~ эллипсоиду, поскольку их координаты удовлетворяют уравнению (4Аб). 412 4.4З. Гиперболоиды Одмолслестнмм гнлербваондом называется поверхность, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Охуг каноническим уравнением хз уз — + — — — =1.
(4.48) дз Ьз Даулаяосюммм гмлербвлендам называетсяповерхиость, определяемая в некоторой прямоугольной системе координат Охуг каноническим уравне- нием х у — + — — — = -1. (4.49) а Ь сз В уравнениях (4.48),(4.49) а, Ь, с — положительные параметры, характеризующие гиперболоиды, причем а г Ь. Начало координат называют Нелюрам гиперболоида. Точки пересечения гиперболоида с координатными осями называются его аарлгинамл. Это четыре точки (+ а,о,о), 10, х Ь,О) однополоспюго гиперболоида (448) и две точки (О,о,хс) двуполостного пшербслоида (4.49). Трн отрезка координатных осей, соединяющих вершины гиперболоидов, называются осями гиперболоидов.
Оси гиперболоидов, принадлежащие координатным осям Ох, Оу, называются поперечными вслмн гиперболоидов, а ось, прилад южащая оси аппликат Ог, — продольной осью гиперболоидов. Числа а, Ь, с, равные половинам длин осей, называются полуосями гиперболоидов. плоскин спчиния однополостного гипд волоида з Подставляя г = 0 в уравнение (4А8), получаем уравнение — ', ++=1 линии пересечения однополостного гиперболоида с координатной плоскостью Оху. Это уравнение в плоскости Оху определяет зллипс (см.
разд.3.3.2), который называется гврлеяььм. Линии пересечения однополостного гиперболоида с другими координатными плоскостями явюпотся гиперболами. Они называются главными гнидрбааииа Например, при х = 0 ног кучаем главную гиперболу 2г-хг=1, а прн у =0 — главную гиперболу сз г с г г2 ~2 Рассмотрим теперь сечение однополостного пшерболоида плоскостями, параллельными плоскости Оху. Подставляя г= Ь, где Ь вЂ” произвольная постоянная (параметр), в уравнение (4.48), получаем 413 к2 2 Ь2 к2 2 Ь2 — + — — — =1 <=г — + — =1+ —. 22 Ьг сг пг Ьг Сетеппл одяополоопяпо пщерболопле 2 22 с — + — д-=1 ат Ье се Одяополостяый пппрболояд Врещеппл — + — 2-=1.
а =о кг г ае Ес сг П а олпяей не обрегтяеглн одпополоетпого ппнрболояле Ряс.4.42 плоскик скчкиин двуполостиого гипкрколоидд Сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями Оуг и Охг представляют собой гиперболы (главные гнгирбплм). Рассмотрим теперь сечении двуполостного пшерболоида плоскостдми, параллельными плоскости Оху . Подставлап г = Ь, где Ь вЂ” пронзвольнап постодннал (параметр), в уравнение (4.49), получаем еве При любом значении параметра Ь уравнение определдет эллипс х у — + — =1 с полуосями а =а ~1+ —,, Ь =Ь ~1+ —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
