Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Получим признаки для всех зтих случаев. Пусть прямая 1 и плоскость и заданы уравнениями: хо у уо х хо о о о . и: А х+В.у+С г+Э=О, а Ь с т.е. прямая 1 проходит через точку Мо(хо,уо,хо) коллннеарно вектору р = а 1 еЬ. 7'+ с Ь, а плоскость и перпендикуларна вектору я=А.7+В 7в+С К.
Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой ! и плоскости и соответствуют следующие признаки: — прямая 1и плоскость и пересекаются ~ векторы р и и не ортогональны (рис.4.37,а); — прямая 1 и плоскость и параллельны ~ векторы р и л ортогоиальны, а точка Мо не принадлежит плоскости и (рис.4.37,б); — прямая 1 лежит в плоскости и со векторы р и л ортогональны, а точка М принадлежит плоскости и (рис.4.37,в). Рисха37 Учитывая свойство скалярного произведения векторов (р.й)ча А+Ь.В+с С, получаем: — прямая 1и плоскость и пересекаются с=> а А+Ь В+с С~О; а А+Ь В+с С=О, — прямая 1 и плоскость и параллельны ее ~ А х +В ус+С г +ЭвО; а А+Ь В+с С=О, -прямая1 лежитвплоскости и ее (А'хе+В ус+С'хе+~) иод мкжду пвимой и плоскосп ю Угол между прямой 1 и л 'т — плоскостью и определяется как Р угол между прямой н ее ортогоф наяьной проекцией на плоскость (рис.4.38).
Из двух смежных углов и Р 4." 4~' ф и ф, как правило, выбирают меньший. Если прямая 1 перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным дз. Если обозначить ф и ф углы, образованные наклонной ! с перпендикуляром к плоскости, то ашф=ашф =!соаф! =!соаф !. Поскольку угол ф (или ф ) равен углу между направляющим вектором Р НР,л)! прямой 1 и нормалью л к плоскости и, то зшф=!созф!= — -. Запи- =!-! !.-!' сывая скалярное произведение через координаты множителей, получжш формулу вычисления угла ф между прямой и плоскостью: (4.40) з(вф= Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие а. А+ Ь В+ с.
С = О параллельности прямой и плоскости. 388 4.3.6. Типовые задачи с прямыми в пространстве СОСТАНЛКНИК УРАННКННй Ш НМЫХ Т а б л н ц а 4.2. Основные типы ураивевнй привык в престравсзне Геометрический смысл Козффицзмвты А,. В,. С,, ф«од;уоС 2+В, О, А «+В уоС «ос) О. (А, В, С,) А, В,, С, — мкзрдпнаты нормалей «, А, (+В,.1+С,.Ь, «А .2+В /+С Ь 2 2 2 «, ° +Ес«+С; 2+О, О 2, +а у+С, о+О, О нс.4.25 Коэффициенты е, ь. «в координаты лащмвлазащста ЫК«ОРа У и 2'+ Ь /+с Ь; Правая прокоднт через точку мо(«о Уо «о) коко линеарно капору у=с.р+Ь.У«ос.з (ряс.4.27) < " «о+Е'2 У=у,+Ьо, «о +С'2 Параметрическоее уравнение пря- мой о'Уо'«о тачки м («,у,« ), нвздлеззщсй е +Ь +с ео 2 2 2 Каяонн- ческое уран. пение пра- вой См.
параметрическое ураанмпм ««о Ууо 2«о е Ь с Правам проведат через тачки Мо( 'У ' о)' м,(ч, „ч) (рнс.4.32) козффзпонщты «, у у 2 аоаржимты уравнение прямой, лрокадящей через две У-Уо *-2, «о У~ Уо 22 «о то Мо(,, у„,,), м,(«,,У,,«,) Разнообразие видов уравнений прямых в пространстве порождается многообразием геометрических способов нх задания. По любому набору геометрических данных, однозначно определяющих прямую в пространстве, можно составить уравнение атой прямой, причем геометрические данные будут отражены в к(кьффициентах уравнения. И наоборот, коэффициенты любого уравнения прямой имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания прямой в пространстве.
Для удобства решения типовых задач, связанных с прямыми в пространстве, все основные типы уравнений прямых и соответствующие геометрические способы задания зтнх прямых отражены в таблице 4.2. Примеры составления уравнений прямых в пространстве по геометрическим данным, указанным в таблице 4.2, разбирались в равд.4.3. 1-4.3.3. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПРЯМЫХ "е У Уо 2 го — = — о = — вычисвяеспся по формуле а Ь с 22+Ь2+22 По этой же формуле вычисляется Расстояние между параллельными «е У Уо 2 Хо х х У У прямы ми 0 0 и с Д ю ~ коорд22222ип ы а Ь с а, Ь, с, а Ь с направляющих векторов которых ар оиорциональны: — = — = —.
а Ь с, 3. Расстояние а' мелсдускрещивающимися прямыми Х вЂ” Х, У-У 2-Н 2 с. х-х У-У 2-2 и 2 2 2 а, Ь, с, а Ь с вычисляется по форсиуле (т Р2 Рг) 'сРРР22 22 21 яо. [Р,*р )=, й с 22 Ь2 22 2~ ~2 Л еде (т Рирг)сс ' Ь с, Ь2 Ь с, — смеииноюе и С2 -У,И+(22 — 21) Ь ве2оиорное произведения векслеров т =(Хг — Х1) 2+(Уг р,=ц.'+ь, Уч+с24, Рг=, +Ь, Уч+сг.й.
3. Угол ~р между двумя прямыми — — — — — и х-х, У-У 2 — 2 а, Ь, с, У Уг аг Ьг сг вычисляеяюя по форасуле соаИ— Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов по уравнениям образующих их прямых. 1. Расаполние а' от точки Ьг,(«2, ун 2,) до прямой у-у, 4. Угол 1р между лрямой — = — с = — и лхоскостью а Ь с А х+В у+С.а+13=0 вычисвяетсялоформухе При решении задач свойства 1-4 используются наряду с метрическими приложениями векторной алгебры (см. равд.1.б.2). Пример 4.17. В координатном пространстве Охух (в прямоугольной системе координат) заданы вершины А(1,3,— 1), В(2,1,-2), С(3,— 2,4) треугольной пирамиды ОАВС (рис.4.39).
Требуется: 11 11 а) найти угол гр между ребром ОА и плос- 11 С костью грани АВС; Ф7 ж 4 1' б) составить каноническое уравнение прямой А ОМ, где М вЂ” точка пересечения медиан треугольника АВС; В в) найти проекцию Н точки О на плоскость О грани АВС; Рвв4.39 г) составить каноническое уравнение прямой ОМ, симметричной прямой ОМ относительно плоскости грани АВС; д) найти угол зр между прямыми ОМ и АВ; е) найти расстояние В между прямыми ОМ и АВ; ж) найти проекцию С точки С на прямую ОА; з) составить уравнение прямой, содержащей ортогональную проекцию высоты ОН грани ОВС на плоскость грани АВС. х у г С1 а) Составим уравнение прямой ОА: -=-= —.
Уравнение плоско- 1 3 -1 сти грани АВС было найдено в примере 4.12: 15 х+7 у+а-35=0. Вычисляем искомый угол 1р (формула п.4): 35 7 з(пгр= 55 11 Следовательно, угол ф = агсз1п —. 7 11 ' б) Координаты точки пересечения медиан треугольника АВС находим как среднее арифметическое координат его вершин: М1'=з=з, 3+1 3, 1 1"), т.е М(2 3,1). Теперь составлаем уравнение прямой, проходящей через две 'з'з~' точки О и М (см. таблицу 4.2): 391 х — 0 у-0 2-0 х У 2 — — — ее 2-0 -*-О -'-О б 2 1 з з в) Составим параметрическое уравнение прямой ОН (см.
таблицу 4.2). Направляющим вектором этой прямой служит нормаль л =15.! + 7 т+1 я к плоскости АВС (см. п."а"). Поэтому х=15 с у=7 с Подставляя эти соотношения в уравнение плоскости грани АВС (см. п."а"), находим значение параметра с, соответствующее точке Н: 7 15 15.2+7 7.2+11 1-35=0 ~ 275.с-35=0 55 Координаты точки Н вычисляем по параметрическому уравнению прямой ОН, подставляя найденное значение параметра с: 7 21 7 49 7 х=15 — = —, у=7 — = —, 55 11 55 55 55 г) Координаты точки О, симметричной точке О относительно плоскости грани АВС, находим, подставляя в параметрическое уравнение прямой ОН значение с = 2 — = —.
Получим О ! —,— — !. Теперь составляем 7 14 442 м 141 55 55' (н '55'55 Р уравнение прямой, проходящей через точки М и О (см. таблицу 4.2): 2 У з 2 х — 2 У 2 з 2 1 ее 42 2 9В 2 14 ! 300 184 -13 11 55 3 55 3 д) Угол зр между прямыми ОМ и АВ находим как угол междуих ю- ПраапяЮщнМИ ВЕКтОраМИ ОМ=2 !+2 7т+ ! К, АВ=1 !' — 2 72-1.СС (фер мула п.3): соззр— т.е. зр = асссоз 1 !С 244 е) Расстояние с( между прямымн ОМ и АВ находим по формуле п.2 полагая р =ОМ=2 !+2.7т+3"й, р =АВ=1 !'-2 3-1 )с, т =ОА= з' з' 392 -1 !+3 7ч-1.х (на прямой ОМ выбираем точку О, а на прямой АВ— точку А): (л1,Р1,Рз)= 3 з ь =, [Р1,Рз < 1 3! 1 =0 1+ '7ч к; 3 - < 35 < . 7 14 3' '' <1',', 3 3 1Р!.Рз) 03+[2)з+[ и~ ж) Составим уравнение (4.14) плоскости, проходящей через точку С(3,— 2,4) перпендикулярно прямой ОА !нормапью к этой плоскости служит вектор ОА=1 !'+3 )т — 1 К): 1 (х — 3)+3 (у+2) — 1 (х — 4)=0 ее х+3 у-а+7=0. Найдем точку пересечения этой плоскости с прямой ОА .
Для этого подставим в уравнение плоскости соотношения нз параметрического уравнения х=1, У=З 1 прямой ОА, получаемого из канонического: —" = — =-ь- =1 1см. п."а"). По- 1 3 -1 лучим 1+3.3 1+1+7 =0 еь ! = — ! . Подставляя теперь значение пара- 1! ' метра в уравнение прямой ОА, находим координаты точки С: х = — 2;, 1! ' 11' ' ' !1' 11'111' з) Составим общее уравнение искомой прямой НИ (см.
рис.4.39) как линии пересечения плоскости основания АВС пирамиды и плоскости, проходящей через точку О и перпендикулярной прямой ВС . Уравнение плоскости грани АВС было найдено в примере 4 12: 15 х+ 7 У+ г-35 =0 1см. и."а"). Общее уравнение плоскости, проходящей через точку О(0,0,0) с нормалью ВС=(3-2) !+(-2-1) 7+(4-(-2)) х =1 1-3.7ч+б й имеет вид: 1 х-3. У+6 я =О.
Записывая Уравнения плоскостей в систему, получаем общее уравнение искомой прямой НИ: < 15 х+7 у+с-35=0, 1 х-3 у+б а=О. 393 4.4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 4.4.1. Канонические уравнении поверхностей второго порядка агг ад а з а.п азз а~з аж азз где А= — матрица квадратичной формы, а = коэффициентов линейной формы (см. п.5 и п.б,"б" замечаний 4.1). Требуется найти прямоугольную систему координат Охуг, в которой уравнение поверхности приняло бы наиболее простой вид. Результатом решения поставленной задачи является следующая основная теорема. Теорема 4.3 (классификации алгебраических поверхностей второго перидна). Для любой алгебраической поверхности второго нарядна существует нрямоугсльная система координат О«ух, в которой уравнение этой новерхности принимает один из следующих семнадцати кананичвских видов: хз уз 1.
— + — + — =1 аз 1,з з уравнение зллинсоида„ %-',.- г х х у г 2. — + — + — =-1 Ь с уравнение мнимого зллинсоида; Рассмотрим задачу нриввдвння уравнения поверхности второго поряд ка к наиболее простому (каноннческому) виду. Напомним (см. Разд.4.1.3), что алгебраической поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, которое в какой- либо аффинной системе координат Ох,х х может быть задано уравнением вида ап х, +аж хз+азз хз+2 а,з х~ ха+2 аз.х, хз+2.азз хз хз+ +2'а, '«з+ 2'аз 'ха+ 2'аз '«з+но =В, (4.41) где левая часть — многочлен трех переменных х,, х, х второй степени.
Коэффициенты при первых степенях переменных х,, х, х, а также при нх произведениях «х, х, х, х х взяты удвоенными пРосто для удобства дальнейших преобразований. Уравнение (4.41) можно записать в матричном аиде: х А.х+2 а х+ас =О, 12. — — =1 х у з Ьз уравнение еиперболического цивиндра; х 13. — — =0 2 Ьз уравнение лары пересекающихся плоскостей; 14. у =2 р х уравнение параболического цилиндра; 15.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
