Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 56
Текст из файла (страница 56)
° '1с НОРМИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Преобразуем общее уравнение плоскости А.я+В.у+С.з+)3=0 следующим образом. Бели свободный член Ь1 < О, то разделим обе части на р у р ~ ~=,~Р у*+с', агр. рб~ -~г~=-,/б +р +с*.к бф б р р у равными направляющим косинусам нормали (см. рвзд.1.3.5, а также п.9 в равд.1.6.2): А В С сова = , совр=, сову= + Аз+Вг+Св ' о Аз+Вз+Сз + Аз+Вз+Сз б Р . ° у Ю р б буб Аг+Вг+Сг ' .Об р -р= .У рр Аггог+Сг принимает вид х сова+у.совД+с.сову-р=0, р~0, (4.17) и называется нормированным уравнением илоскосоги. 354 Замечании 4З. 1.
Свободный член Р нормированного уравнения (4.17) равен расстоянию от начала координат до опасности. Это следует из формулы (4.16). 2. Нормированное уравнение плоскости (4.17) можно записать в виде (4.13): ( )йй ияОсиббйм: г,н)=Р, если в качестве ноРмали и вы- й ыо+гийв+й,„,т р е вгв брать единичный вектор й=соза.й'+совр.)т+соз7 1, так как х сова+ У'совр+ я'соз7 = (уй). Из двух возможных единичных нормалей условию р йе р > 0 отвечает нормаль й, направленная й к плоскости (рис.4.14), если вектор й а Р приложить к началу координат.
При вы- 0 у боре противоположного вектора (-н) по- х Рясллб лучилось бы отрицательное значение р, которое не допускается в уравнении (4.17). 3. Коэффициенты общего уравнения плоскости (4.15) определаются неоднозначно в силу неоднозначного выбора нормали (см. п.1 замечаний 4.2). При составлении нормированного уравнения (4.17) плоскости такого произвола нет. Здесь все коэффициенты определены однозначно (при р > 0) нлн с точносп ю до знака (при р = 0). 4. Нормированное уравнение плоскости имеет смысл только в прямоугольной системе координат. Пример 4.7. В координатном пространстве Охуг (в прямоугольной системе координат) заданы точки К(1,2,3) н 4(5,0,1) (см. Рис.4.11). Требуегся: а) составить нормированное уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку а7.
и проходящей через его середину; 6) найти расстояние от начала координат до этой плоскости. С) а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примеРе45: 2 х-у-г-3=0. Найдем длину нормали й=2 б -1 г — 1 к: )й~= /2 ~-1~ +1) йй. Т ~д й й й й, Разделим уравнение на чб: — х-вй у — г — =О. Нормированное г. 1. 1. з йГб 76 йГб йГб уравнение плоскости получено. 6) По нормированному уравнению определяем расстояние Р=~ от начала координат до плоскости (см.
п.1 замечаний 4.3). ° 23" 355 4.2.2. Уравнении плоскости, проходящей через заданную точку я компланарной двум иеколлннеарным векторам Напомним, что три или более векторов называются комнланарнымн, если существует плоскость, которой оии параллельны. Эту плоскосп будем называть кпмнланарной заданным ееюнорам.
Нанраеллюгними пантерами плоскости называются два неколлинеариых вектора, комиланарных этой нлоскости, т.е. принадлежащих плоскости или параллельных ей. Пусть в координатном про. странстве Охи заданы: а)точка Мо(хе,уе,го)' б) два неколлинеарных вектора п2 е р, =а,.(+Ь, )+с~ х, ° ие(*е1~'~ Рз =аз.( +Ьз ° 1+сз ° й (рис.4.15). 1 О~ У Требуется составить уравнение плоскости, компланарной векторам р,, р и проходящей через точку Рпедл5 Ме(х„,уп,х ).
Выберем на плоскости произвольную точку М(х,у,х). Обозначим г =ОМ, ге =ОМе — радиус-векторы точек М(х,у,х) и Ме(хе,уе,гп) (рис.4.16). Условие компланарностн векторов М„М, р,, р (рис.4.16) можно записать, используя свойства смешанного произведения ~й~~,р,,рз)=(). Применяя формулу (1.17), получаем уравнение ваоскосниа проходящей че рез задаинут точку и комиланарной двум иоколлинеарным векторам: Неппенппеппн вепгепн птекеетп '+ь 7+с, р +ь,)+,р "е У Уе х хе а, Ь, с, аз Ьз сз (4.18) Пусть в координатном пространстве Охух заданы: а) точка М (хе,уе,х ); б)два неколлинеарных вектора р,=а, с+Ь1 3+с, К, р =а 1+ +Ьз 3+с й (рис.4.15). 356 Требуется составить параметрическое уравнение вида (4.10) плоскости, компланарной векторам р,, р и проходшпей через точку Мо(х,уо,г ).
Векторное параметрическое урааибние ллссксстнг с+гг'Р~+гг'Рг гг ггаа ' Параметрическое уравнение шкюимтн; Налравлмощне векторм плоскости Р,=а, г+Ь, )+с,.а Нормаль а-Д г+В)+С» < ««с+а, г,+аг гг, у=у,+Ь;г,+Ь, г,, г,,г,ая. с=ге+с, г,+сг гг, уравнение вкюимтн, ком~ланариоа двум нековигнеарнмм векторам: к-.г у-у„г-г а Ьг с О. а Ьг с рисдяб (4.19) гДе Р,, Р— напРавлаюшие вектоРы плоскости, а Ро — РадиУс-вектоР точки, принадлежащей плоскости.
Координатная форма записи уравнения (4.19) называется нарамаврвческвжуроененвем влоскосвгв: «и~о+~ гг+аг Гг у=у,+Ь, г,+Ьг г,, гг,ггнй г = го+с~.г)+сг гг ' (4.20) где а,,Ь,,с, и В,Ь,с — координаты направляющих векторов р, и р соответственно. ПаРаметРы гг, г в УРавнениах (4.19),(4.20) имеют следУюшнй геометрический смысл: величины гг, г пропорциональны расстодюпо от заданной точки Мо(х,у,г ) до точки М(х,у г), принадлежащей плос- 357 Выберем на плоскости произвольную точку М(х,у,г).
Обозначим Р=ОМ, Р =ОМо — радиус-векторы точек М(х,у г) и М (хо,уо,г ) (рис.4. 16). Точка М принадлежит заданной плоскости тогда и только тогда, когда векторы М„М, р,, р компланарны (см. равд.1.3.2). Запишем условие компланарности: М М мгг р, +г р, где г,, г — некоторые действительные числа (параметры). Учитывая, что М„М = Р -Р, получим нектарное варамаврвческое уран кение влоскоств: Ргсго+Уа Рг+Гг'Рг Г1 ггпу и ° кости.
При г, =г = 0 точка М(х,у,г) совпадает с заданной точкой М . Прн возрастании г, (нли г ) точка М(х,у,г) перемещается в направлении век тора р, (или рз), а при убывании г, (нли г ) — в противоположном направ. ленин. 1,1 й а Ь, с, аз Ьз сз Ь5 с, а с, а, Ь, и записать общее уравнение плоскости в форме (4.14): А (х-хе)+В.(у-уо)+С (г-ге)=0 558 Замечании 44. 1.
Поскольку направляющие векторы плоскости неколлинеарны, то они ненулевые. 2. Любой вектор р =а ч'+Ь уз+с /с, коллинеарный плоскости, ортогонален нормальному вектору и = А 7+ В. )ч+ С Ь для этой плоскости. Поэтому их скалярное произведение равно нулю: (р,п)=а А+Ь В+с.С=О. Следовательно, ююрдинаты а,, Ь|, с и а, Ь, с направляющих векторов р, и р плоскости и ее нормали связаны однородными уравнештми: а, А+Ь, В+с, С=О, а А+Ь В+с С=О.
3. Направляющие векторы плоскости определяются неоднозначно. 4. Для перехода от оби~его уравнения пяоскости (4.15) А х+В у+С с+1) =0 к параметрическому (4.20) нуясно выполнить следующие действюс 1) любое решение (х,у,г ) уравнения А х+В..„С. пред тем самым координаты точа М („) жащей плоскости; 2) найти любые два линейно независимых решешш (а,, Ь,,с ), (аз, Ьз,сз) одноролного уравнения А.а+В.Ь+С с=О, определяя тем самым координаты а,,Ь,,с, и аз,Ьз,сз направляющих векторов р и р плоскости; 3) записать параметрическое уравнение (4.20). 5. Чтобы перейти от параметрического уравнения плоскости к общему, достаточно либо записать уравнение (4.18) и раскрьпь определитель, либо найти нормаль как результат векторного произведения направляюших векторов (см. разд.1.5.
1): «=0+1»,+0»з. у=о+1»»+1»з, ФФ х=-3+1 г»+(-1) г,, х=» у=г +»г ° »п»зн»» х=-3+г -г, з б) Координаты середины М(3,1,2) отрезка КЬ были найдены в примере 4.5. Нормаль к искомой плоскости получим как векторное пронзведениееенаправляющиквекторов ОК=1»+2 )+З.л, ОЕ=5»+0.1+1.)»: у й 1 2 3 л =~ОК,ОЦ= = 2» +14 » — 10 )» . 5 0 1 Составляем уравнение (4 14): 2 (х-3)+14 (у-1)-10 (х-2)=0 ее 2 х+14.у — 10.с=О.
Тот же результат можно получить, записывая уравнение (4.18): х-3 у-1 х-2 1 2 3 = 0 с=> 2 х+14 у -10 х = 0. ° 5 0 1 359 б. Векторное параметрическое уравнение плоскости 14.19), полученное в прямоугольной системе координат, имеет тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении остаетсл прежним.
Пример 4.8. В координатном пространстве Округ (в прямоугольной системе координат) заданы точки К(1,2,3) и Е(5,0,1) 1см. рис.4.11). Требуется: а) составить параметрическое уравнение плоскости, перпендикулярной отрезку КЬ и проходящей через его середину; б) составить общее уравнение плоскости проходящей через середину отрезка КХ, и компланарной радиус-векторам ОК и ОЕ. П а) Общее уравнение искомой плоскости было получено в примере 4.5: 2 х — у — х - 3 = О. Составим параметрическое уравнение: 1) находим любое решение уравнения 2 х-у-«-3=0, например, хо = уо = О, хо = -3, следовательно, точка Ме(0,0, — 3) принадлежит плоскости; 2) находим два линейно независимых (непропорциональных) решения однородного уравнения 2 х-у-х =О, например (1,1,1) и (0,1„-1), следовательно, векторы р, =!+1+1», р =,1-1 явлаотся направляющими для плоскости; 3) записываем параметрическое уравнение плоскости (4.20): 4.2З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
