Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 52
Текст из файла (страница 52)
331 4. Наименьшее значение на множестве М, равное 1, функция достига ет в точке А(3,1). Наибольшее значение иа множестве М, равное 3, фуил. ция досппъет в точке В(2, 3). е) Решается задача поиска условного зкстремума с ограничением типа равенств. 1. Строим множество М допустимых решений — прямую х,-х +1=0 (см. рис.3.65,е). 2. Линии уровня 4. х, — хз = сопят представляют собой семейство парабол, симметричных относительно оси Ох,.
При увеличении постоянной ( сопят ) параболы перемещаются вдоль оси Ох, в сторону ее положительного направления. При сопвг<0 парабола 4 х, — х мсолзг пересекает прямую М в двух точках, при сопзг =0 парабола касается прямой в точке А(1, 2), при сопзг > 0 парабола не имеет общих точек с М. 3. Из п.2 следует, что допустимые значения функции определяются неравенством — < у (х) 5 О. 4. Наибольшее значение на множестве М, равное О, функция достигает в точке А(1, 2) . Наименьшего значения на множестве М функция не достигает. ° Задачи дли самостоятельного решении Ио всех задачах оредиоввтаетск.
что нв ююскости задана врвмоттсланев система ыюрдннвт Ож. Козффнниенты в общем, параметрическом, каноюзческом уравнаизвх прямых, уса~- ванные в ответах, спределвютск неоднозначна 3.1. Для прямой, проходящей через точки А(1,4) и В(2, 0), составить: а) общее уравнение; б) параметрическое уравнение; в) каноническое уравнение; г) уравнение "в отрезках"; д) уравнение с угловым коэффициентом. 1 х=1+г, х-1 у-4 Ознвезн: а) 4.х+у-8=0; б) ~ ' гн Я; в) — = —; (ую4-4 г, 1 -4 г) -+ — =1; д) у=-4.х+8. х 2 8 3.2. Заданы координаты вершин А(1, 2), В( — 3, 5), С(5, 2) треугольника АВС.
Составить уравнения прямых, проходпцик через вершину А и содержащих медиану, высоту и биссектрису треугольника, а также уравнение серединного перпендикуляра к стороне ВС . х-1 у-2 Отнести: х-1=0; 8 х-3 у-2=0; — = —; 16.х-б у+5=0. 1 3 332 3.3. Составить общее уравнение прямой, симметричной прямой 3 х-у+5=0 относнтельнопрямой х+у-1=0. Оглвегя: х — 3 у+7=0. 3.4. Даны юординаты двух вершин А( — 10,4),В(4,3) треугольника АВС и точки Н(4,-2) пересечения его высот.
Найти координаты вершины С треугольника. Омвеан С1'г', 4). 3.5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(1,-1) и образующей с прямой х-2. у+2 =0 угол величиной 4. Омвега: 3 х — у — 4=0 или х+3 у+2=0. 3.6. Найти величину и составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми 3 х-у-4=0 и 2 х+6 у+3=0, в котором лежит начало координат. Ответ: в; 8 х+4 у — 5=0. г' 3.7. Используя ортогональные инварианты, показать, что линия, заданная уравнением 34.х +24.х у+41 у -44.х+58 у+1=0, являетсл эллипсом. Найти полуоси и эксцентриситет этого эллипса.
О~ыж зГ2", 1; — ° 3.8. Использул ортогональные инварианты, показать, что лннвл, заданная уравнением 7 х +48.х у-7 у -62 х-34 у+98=0, является гиперболой. Найти полуоси и эксцентриситег этой гиперболы. Оевеяг: ч2; ч2; ч'2. 3.9. Используя ортогональные инварианты, показать, что линия, заданная уравнением х +2 х у+уг+х=О, является параболой. Найти параметр этой параболы. Олгвевг з ' 3.10. Привести уравнение линии второго порядка к каноннчесюму виду, определить название ливии и указать соотвегствующуго ортогональную замену неизвестных, построить линию в исходной и канонической системах координат: а) 9 х +4 у -18 х+16 у — 11=0; б) х — 4 у +2 х+16 у+1=0; ззз в) у -10 х — 2 у -19 = 0; г) х — у — 4 х+6 у-5=0; 2 2 д) 5 х +12 х у+10 у -6 х+4.у-1=0; е) 3 хг+10 х у+3 у2-2.х-14.у-13=0; ж) 25.
х -30 х у+9 у + 68 х+19 = 0; з) 8 х +б.х.у+6 х+3 у+1=0; и) 4.х +12.х у+9 у -8 х-12 у-5=0; Ответ: а) эллипс Ц ч"Ц-=1; х=у+1, у=х-2; б) гипербола Ц.-Ц-=1; х=у -1, у=х+2; в) парабола (у) =2.5.х; х=х — 2, у=у+1; г) пара пересекающихся прямых (х)2 — (у)2=0; х=х+2, у=у+3; д)эллипс " +, =1; х=З вЂ” х — „у, у=-2+ +у х-у у;е)гипербола - — =1; х=2+ — х — у, у= — 1+ Лз Лз 24 ' 2 2 Д ° 12 ° . з ', и з + х+ у; ж)парабола (у) =2 .х; х= — — .х+ .у, г' г' у=)й--Л х — з.-у; з) пара пересекающикса прямык Ы.— 13Р =О, 1+э „' у у 1+1 х~+3 узи) ~ 1-.-~2 / 12 1 14'1 43.~2.~42 (,~ 13 ~ ' 13 тБ 41з ' 13 413 7ыз Замены неизвестных определяются неоднозначно. 3.11. Привесги уравнение линии второго порядка к каноническому виду, определить название линии, найти каноническую систему координат и построип линию в исходной и канонической системах координат.
а) (т — л)2 х +(т+п)2 у — 2 т (т — п)2 х+2.л.(т+п)2 у+ +2 т л (лг+2 т л — тг))=0; б) л х -тг у +2.л х+2.т.у+л-1л=О; в) пг.хг+2 т л х у+тг ° уз+4 т.л к+ 2 тг ° у+т=о, ГЛАВА 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ Пространственные фигуры изображаются на рисунках в виде проекций. Как правило, используются проекции фигуры на плоскость вдоль заданной прямой (см.
разд.1.2.2, 1.2.3). Проекция, разумеется, не дает полного представления о фигуре, кроме того, измеряемые величины (длины отрезков и величины углов) искажаются (см. свойства проекций в разд.1.2.2). Поэтому рисунки пространственных фигур в стереометрии играют вспомогательную роль. В аналитической геометрии, как это было отмечено ранее (см. введение к разд.З), решение любой геомегрической задачи сводится к алгебраическим методам и вычислительным процедурам, при выполнении которых изображении фигур не используются.
Такие методы и процедуры без труда переводятся на алгоритмический язык и реализуются на компьютере. Во всех разбираемых ниже примерах геометрическая ишпострация фигур приводится для наглядности, но не используетсл в ходе решения. 4.1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ ТОЧЕК В ПРОСТРАНСТВЕ В стереометрии любую пространственную фигуру можно рассматривать как гееягелзричеекое месшв вычел (ам.ла), т.е. как множество точек, каждая из которых удовлетворяет заданному характеристическому свойству (точка, не принадлежащая этому множеству, не удовлетворяет этому свойству).
Например, в элементарной геометрии сфера определяется как г.м.т., равноудакенных от заданной точки (центра сферы), круговая циливщзическая поверхность как г.м.т., равноудалеиных от заданной прамой (оси цилиндрической поверхности) и т.п. В аналитической геометрии пространственные геометрические фигуры задаются как множества решений соответствующих уравнений. Рассмотрим, например, уравнение Р(х,у,х)=0 с тремя неизвестными х, у, х .
Его решеккем называется тройка чисел, при подстановке которых вместо неизвестных уравнение превращается в верное числовое равенство. Каждое решение х,у,х уравнения Р(х,у,г)=0 можно рассматривать как точку М(х,у,х) в координатном пространстве с абсциссой х, ординатой у и аппликатой х . Таким образом, множеспю Р точек М(х, у, х), координаты которых удовлепюрлют уравнению Р(х, у х) = О, образуют в координатном пространстве некоторую фигуру Р =(М(х,у,х):Р(х,у,х)=0). 335 Например, уравнение ха+уз+аз=1 (илн ха+уз+аз — 1=0) в прямо угольной системе координат Олуха задает сферу единичного радиуса с цен. тром О (рис.4.2,в). Переход к этому способу описания геометрических фигур базируется на введении системы координат в пространстве, которая позволяет вместо точек (элементарных геометрических объектов) оперировать с числами (элементарными алгебраическими объектами).
В разд.2 подчеркивалось, что введение системы координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их координатами (упорядоченными наборами нз трех чисел), т.е. соответствие, удовлетворяющее двум условиям: 1) разным точкам пространства соответствуют разные наборы координат, отличающиеся хотя бы одной координатой; 2) любому набору координат соответствует некоторая точка. Введение системы координат позволяет задать любую геометрическую фигуру уравнением, связывающим координаты таким образом, что координаты любой точки, принадлежащей заданной фигуре, удовлетворяют этому уравнению, а координаты точки, не принадлежащей фигуре, не удовлетворяют уравнению.
Такой способ описания геометрических фигур применяется в аналитической геометрии. 4.1.1. Общие уравнении геометрических мест точек (4.1) Уравнением миожеслзва Р точек (уравнением лм.яь) в координат- ном пространстве называется равенство, связывающее координаты точек, верное для координат точек, принадлежащих множеству Р, и неверное для координат точек, не принадлежащих Г . Например, уравнение множества в аффннной системе координат Ох,х х имеет внд: Г(х,,х,хз)=0, в часпюсти, в прямоугольной системе координат Олух: Р(х,у х)=0, в цилиндрической системе координат О гавря: О(г, ~р, х) = О, в сферической системе координат Орый: Н((ьяьй)=О, (4.3) где Г, О и Н вЂ” некоторые функции трех аргументов.
Уравнения (4.1)-(4.3) представляют собой аналитическую запись функциональной зависимости между координатами точек в пространстве, образующих геометрическое место точек. В частных случаах одна из коор- динат может быть выражена через другую, т.е. одна координата задается как ззо явная функция другой координаты. Тогда получается уравнение, разрешенное относительно этой координаты, например: х =,У(х,у), х = й(гд), р =М(й,й).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
