Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Т а ел ц ц а Зд, Клессцзрццеццц лццвя етересе веревце 1 4 д а Ь Ь 3 так как — = — = — = — р, то они, в свою очередь, также являются ~г — ц з ь' 1 0 -2 0 — 1 3 =5+4 — 9=0. — 2 3 — 5 11 О~ т=1 — 1=0, Ь=~ = — 1, о= !О -Ц По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает пару пересекающихся прямык,таккак Ь<0, А=О.
б) Двя квадратичной функции р(х,у)=х — 4.х+4.у+4 (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты 1 0 — 2 0 0 2 — 2 2 4 с=1+О=1, Ь=~ !=О, Л= !1 О! 1О 0~ По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает параболу, так как Ь = О, про. в) Для квадратичной функции р(х,у)=3 х +10.х у+3 у +8 (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты 3 5 0 5 3 0 0 О 8 13 51 с=3+3=6, Ь=~ =9-25=-16, Ь= 15 3~ =8 (-16)=-128. По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает гиперболу, так как 8 < 0, АФО. г) Для квадратичной функции р(х,у)=52 ха+72 х у+73 у -280 х — 290 у+325 (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты 52 36 †1 36 73 †1 -140 -145 325 152 361 г = 52+ 73 =125, Ь = ~ ~ = 2500, А = 136 73 ~ 301 Пример 3.23.
По ортогональным иивариаитам определить виды алгебраических линий второго порядка, заданных в примере 3.19: а) хз-у — 4 х+6 у — 5=0; б) х -4 х+4 у+4=0; в) 3 ха+10 х.у+3 уз+8=0; г) 52 ха+72 х у+73 у -280.х-290 у+325=0. П а) Для квадратичной функции р(х,у)=х — у -4.х+6 у-5 (левой части заданного уравнения) вычисляем инварианты 52 36 -140 36 73 -145 0 0 — 100 152 361 =-100 ~ ~ =-250000 ~ 36 73~ (к третьей строке определителя Ь прибавили вторую и удвоенную первую). По таблице 3.2 определяем, что уравнение задает эллипс, так как б>0, Дио, т'А<0. Классификация заданных линий совпадает с результатами примера 3.19.
° ОПРЕДЕЛЕНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО БАЗИСА ДЛЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Ненулевой столбец з называется собственным вектором квадратной матрицы А, если выполняется равенство А.в=Л.з. Число Л в этом равенстве называется собственным значениям матрицы А . Говорят, что собственный вектор в соответствует (нринаблвжит) собственному значению Л. Ненулевой вектор з, а также его координатный столбец з=(х у)1, будем называть собственным вектором линнн второго «орвдка ап х +2.а1з.х у+паз у +2 а, х+2.аз у+аа =О, если выполняется равенство =Л <=> А з=Л з, (3.64) т.е. координатный столбец собственного вектора линии второго порядка является собственным вектором матрицы А = ~ ' з 1.
Собственный век- 1.аи азз/ тор, соответствующий нулевому собственному значению (А з=О.з со А з = о ), будем называть особым собственным вектором линии второго порядка. Перенося неизвестные в левую часть, запишем систему уравнений (3.64) в виде — ео (А — Л Е).в=о. Эта однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю (см. равд.П.10, а также [10]): бег(А-Л Е)=0. Другими словами, собственные значення магнрицы А являются корнямн характеристического уравнения дсз(А -Л Е) = О, и наоборот. Укажем следующие свойства собственных векторов линии второго порядка. 1.
Собственный вектор линии второго норядка не изменяется нри ортогональном нреобразовании координат и нри умножении обеих частей уравнения линии на отличное от нуля число, другими словами, линии (3.59) и (З.бО) имеют одинаковые собственные векторы. Покажем сначала, что собственный вектор не изменяется при однородном ортогональном преобразовании координат. Действительно, пусть з,— собственный вектор матрицы А (соответствующий собственному значению Л, ). Тогда вектор з, = Я ' з, является собственным для матрицы А = Я А Я, где Я вЂ” ортогональная матрица. В самом деле, учитывая, что т Я~ = 5 ~, з, = Я з, и А з, = Л, з,, получаем А' ' бг А 5 5-1 г А 5 5-1 г А Л.5-1 "„ л Х~ т.е.
А з =Л з . Следовательно, з, — собственный вектор, соответствующий собственному значению Л, . При параллельном переносе системы координат матрица квадратичной формы не изменяется (А = Я~. А Я = А, если Я = Е), поэтому не изменяются и ее собственные векторы. Бели же обе части уравнения (3.59) умножаются на отличное от нуля число )г, то все элементы матрицы А, а также ее собственные значения, умножаются на число )г.
Однако, собственный вектор линии не изменяется, поскольку условна А.з, =Л, з, и )г А.з, =)г Л, з, равносильны(при )гоО). 2. Собственные векторы, соответствующие разным собственным значенилла взаимно ортогональны. В самом деле, пусть з, и зз — собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям (Л, а Л ), т.е. координатные столбцы з, н зз этих векторов удовлетворяют условиям: А з, =Л, з, и А з =Л з . Первое равенство умножим слева на строку зг, а второе — на зг, и вычтем второе равенство из первого: т т т т зз А'з1 з1 'А'зз Лч'зз 'з1 Лз'з~ 'зз Поскольку при транспонировании число (рассматриваемое как матрица размеров 1х1) не изменяется (см.
разд.ПА), то правую часть этого равенства можно преобразовать к виду т т т ! 1 т Л, зз.з,-Лз.з1 .за=Л1 з1 зз-Лз з1 .зз=(Л,-Лзрз1 'зз так как з з, = 1з .з ! = з, з, а левая часть рассматриваемого равенства, учитывая симметричность матрицы А ( А = А ), равна нулю, так как зз А з,=(з, А зз) =з, .А зз=з, ° А зз. Следовательно, рассматриваемое равенство можно записать в виде г'з Лз) з1 3 0 нли 3 3 О поскольку Л, я Лз.
Последнее равенство означает, что (7,,7 у= з, .з = 0— г скалярное произведение ненулевых векторов 7, и 7 равно нулю, т.е. они ортогональны. 3. Базисные векторы канонической системы координат являются единичными взаимно ортогонаяьными собственными векторами линии. Действительно, в канонической системе координат О з, 7 матрица А (л, о') квадратичной формы имеет диагональный вид А=А= ', где Л,, 0 Лз Л вЂ” корни характеристического уравнения (см.
п.б замечаний 3.12) или, что то же самое, собственные значения матрицы А. Записывая (З.б4) длл координатных столбцов з, = (1 0)г, з = (О 1)г базисных векторов з,, 7, ( ' Ц'~=хД, ~ ' ).()=л (~. Первое соотношение выполняется при Л = Л, второе — при Л = Л . Следовательно, базисные векторы 7,, 7 явюпотся собственными, соответствующими собственным значениам Л =Л, длл первого базисного вектора (7, ), Л = Л вЂ” длл второго (7 ).
Прн зтом не исключаегся случай равенства собственных значений. Таким образом, для определения канонического базиса нужно найти два взаимно ортогональных единичных собственных вектора. Замечании 314. 1. Собственные векторы матрицы опредешпотся неоднозначно. Например, если з — собственный вектор матрицы (или линии), то столбец )ь з при любом отличном от нуля числе )ь также является собственным вектором, соответствующим тому же собственному значению Л, что и вектор з . 2.
Матрону Я нерехода от базиса ~, уч исходной системы координат Р / Ф Оху к базису 7,, з канонической системы координат Ох у образуют координатные столбцы в,, з взаимно ортогональнык единичных собственных векторов линии второго норядка. В самом деле, пусть з,, з — координатные столбцы (относительно исходной системы координат Оху ) единичных взаимно ортогональных собственных векторов 72, з . Тогда по определению собственных векторов выполняются равенспа А з, =Л, з2, А.з =Лз з, а из условий нормировки и ОРтогональностн: (з2,ь!)=8 в2 =1, (з2,зз)=з2 'ьз =О, (ьз,вз)=зз 'зз =1.
Составим из координатных столбцов з,, з матрицу О=(з! (з ). Вопервых, зта матрица ортогональная ( бг = 5 '), так как 5'.3= -'),- (;(,)= ' ' ',' = =К. Во-вторых, ортогональное преобразование координат с этой матрицей приводит матрицу А квадратичной формы к каноническому (диагональному) виду: -$ ' "=(~+Й44=%4ФЯ=(" '.)= 3. Два единичных взаимно ортогональных собственных вектора линии второго порядка опредеапотся с точностью до множителя ( — 1 ), т.е.
кюкдый из них можно заменить на противоположный, тем самым изменить направление соответствующей координатной оси. Для всех линий, за исюпочением параболы (6), выбор положительного направления на координатных осях может быль произвольным, другимн словами, если, например, вектор 7! базисный, то и противоположный вектор (-з, ) также можно взять в качестве базисного. Положительное направление оси О х (базисный вектор в! ) для параболы нельзя меюпь на противоположное. Правильный выбор этих базисных векторов описан далее в п.2 замечаний 3.16.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛА КАНОНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ДЛЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пусть в прямоугольной системе координат Оху поверхность второго порядка задана уравнением (3.59) ! ап х +2 а22 х у+а.п у +2 а! х+2 аз у+ар=О. (3.65) Выбор начала О канонической системы координат Ох у определается свойствами симметрии линии второго порядка. Например, координатная ось 0 х является осью симметрии любой линии второго порядка (см. равд.
3.4.2-3.4.4); ось ординат Оу служит осью симметрии любой линии, за ис. ключением параболы, начало координат 0 является центром симметрии линий (1) — (5), (7) — (9), т.е. всех линий, за исюпочением параболы. Точка М называется центрам симметрии (илн просто центром) линии второго порядка (3.65), если вместе с каждой своей точкой М линия содер/ жит также и точку М, симметричную точке М относительно Мъ (точка М вЂ” середина отрезка ММ ).
Линия второго порядка называется центро«аной, если она имеет единственный центр. В противном случае, если центр отсутствует или не является единственным, линия называется нвцвнтрвлъной. Цеитральнымн линиями являются эллипсы, гипербола и пары пересекающихся прямых (рис.3.54), единственный центр этих линий — начало координат. Остальные линии — нецентральные. Заметим, что линии эллиптического или гиперболического типов явлаотся центральными, а линии параболического типа — нецентральными, как это указано в первом столбце таблицы 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
