Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Гмнря ъ Пары аересвкаюввенв щимнх Р .Здв Прлмал, каждая точка которой является центром симметрии, называется «рямой центров. На рис.3.55 изображены линии, имеющие прямую центров (эта прямая совпадает с осью абсцисс канонической системы координат (двойная линия на рис.3.55)). Прямая 1с называется осью симметрии линии второго порядка (3.65), если вместе с каждой своей точкой М поверхность содержит также и точку Ф М, симметричную точке М относительно прямой 1ъ (прямая 1с перпендикулярна отрезку ММ и делит его пополам). Оси симметрии имеют все линии второго порядка.
Если линия центральная, то ось симметрии проходит через ее центр. Например, координатные оси канонической системы координат являются осями симметрии эллипсов, гиперболы, пар пересекающихся прямых (рис.3.54). Если нецентральная линия имеет прямую центров, то зта прямая служит осью симметрии. Например, ось абсцисс канонической системы координат для пар параллельных или совпадающих прямых (рис.3.55). Ось ординат также являет- зсъ ся осью симметрии этих линий. Ось Ох является единственной осью симметрии для параболы (рис.3.56).
Если линия (3.65) имеет хотя бы один центр, то этот центр можно принять за начало канонической системы координат (рис.3.54. 3.55). Если линия не имеет ни одного центра (является параболой), то началом канонической системы координат являетсл точка пересечения этой параболы с ее осью симметрии (рис.3.56). Ось симметрии щщии ие имеющей иептра Пары парвллельпых прамых Пара ееапвлвиищщ Парабола прямых Рие.355 Рпе.356 Составим уравнения для определения центра линии (3.65). Для этого сделаем ортогональное преобразование координат (3.58): 0 П 12 ' +е. где л = — координатный столбец вектора л = 00 переноса системы ~ус) координат, а ортогональная матрица Я = (л, ) л ) составлена из единичных взаимно ортогональвых собственных векторов линии (3.65), соответствуюп(вх собственным значениям Л, Л . В новой системе координат Оху уравнение линни будет иметь вид Л, (х) +Л, (У) +2 а~ «+2 а2 У+асюй (366) где, согласно (3.56) и п.б замечаний 3.12, матрица А =Я~.А.Я = Р, о1 мЛм ' — диагональная, столбец коэффициентов линейной формы а мЯ~ (А л+а),асвободныйчлен ао=р(л)=лг А л+2 а л+ап.
Если в уравнении (3.66) отсутствуют линейные члены (а = о ), то начало координат 0 является центром симметрии, поскольку при одновременной замене неизвестных х е-ь( — х), у е-ь(-у ) уравнение (3.66) не нзмеияетсл. Другими словами, если координаты точки М(х, у ) удовлетворя» ют уравнению, то и координаты (-х,— у ) точки, симметричной точке М относительно начала координат, также удовлетворяют уравнению. ье. Так как матрица Я невырожденная, то равенство а =Я~ (А з+а)=о равносильно системе линейных уравнений (см. разд.3.2.6): +д о шш и'«о 1г' е 1 (367) + у+а=О, л,з «а+лаз ус+аз =О, которая определяет координаты «е, уе центра симметрии, т.е.
точки 0 . Эта система имеет единственное решение только тогда, когда б= ' ~ мО или гйА=гй(А ~ а)=2. Следовательно, условие 6 я О яв~а, а ляется критерием наличия у линии единственного центра. При гй А = гй(А ~ а) =1 система (3.67) вмеег бесконечно много реше- ний, т.е. центры симметрии линии образуют прамую центров. При гкА < гй(А ~ а) система не имеет решений, т.е. линия не имеет ни одного центра. Таким образом, для линий второго порядка, имеющих хотя бы один / центр симметрии, этот центр служит началом 0 канонической системы ко- ординат системы 0 «у . Координаты «е, у„находятся как решение систе- мы (3.67), причем зто решение единственное для центральных поверхно- стей. Рассмотрим теперь случай, когда система (3.67) несовместна.
В этом случае ливия (3.65) не имеет ни одного центра (см. рис.3.56), т.е. является параболой. Получим уравнение оси симметрии линии (3.65). Для этого запишем столбец а =Я~ (А.з+а) коэффициентов линейных членов уравнения (3.66), учитывая, что матрица Я = (з, ~ зз) составлена из собственных векто- ров матрицы А, т.е. Я .А=А Я (последнее равенство можно считать матричной формой записи (3.64)): ° -'г — †-) — + , т.е.
а = 1 1г 1т Если Л, ~ О, то уравнение Л,. «1г з+ «1г а = О, или, что то же самое, в координатной форме Л1'(з11'«е+зл'уе)+зп 'о~+зп'аз =О ° л имеет решение з=(«о уе1)", то, взяв точку 0(«е,уе) в качестве начала системы координат 0«у, получим уравнение (3.66), в котором будет от- сутствовать линейный член с неизвестной «, так как а, = Л з~ з+ «1 а = О. Такое уравнение при замене неизвестной 308 «'++(-х) не изменяется. Другими словами, если координаты точки М(х, у ) удовлетворяют уравнению (3.66), то и воординаты ( -х, у ) точки, Р симметричной точке М относительно оси О у, также удовлетворяют уравнению (3.66) (при а, = 0).
Следовательно, если уравнение Л зт 5+зт а 0 имеет решения, то оно определяет ось симметрии О у линии (3.65). В случае параболы собственное значение Л отлично от нуля (Л, =О), поэтому уравнение Лз «з «+зз а=О (3.68) имеет решения, которые определяют ось симметрии параболы. Заметим, что ось симметрии, определяемая уравнением (3.68), коллинеарна особому собственному веатору 7, (соответствующему нулевому собственному значению Л, =0). Обозначим через а вектор с хоордннатным столбцом а, составленным из коэффициентов линейных членов уравнения (3.65). Представим этот вектор (а также его координатный столбец) в виде а =а +а ее а=а +а, где а =(а,7) 7 — ортогональная проекция велюра а на ось симметрии (3.68), коллинеарную 7, (см.
разд.1.4.2); а =а — а — ортогональная составляющая вектора а относительно оси (3.68); а, а — координатные столбцы соответствующих векторов. Тогда для указанного разложения вектора а справедливы равенства т О т т 1 х ' 2 2 поскольау зз 'а (7з ™) (7з~ачт+а1) (7з ач~)+(7«*а«) (7з ™~,) зз 'ах н а з, а =(7,,а )=О, что следует азортогоиальности векторов 7, и а„.
Найдем координаты точки О пересечения оси симметрии (3.68) с ливией (3.65), т.е. найдем такой столбец г, удовлетворякиций (3.68), чтобы А «+2.ат.з+аа =О. Для этого, учитывая (3.68), Л, =0 и равенство А = Я Л Ят, преобразуем произведение 1т 3 'а =-Я ' ~= — 55 а=-а т 2 ь Е Посколькуматрица А симметрическая,то зт.А= — ат и з .А.а+2.а з+ае =-ат.з+2.а з+ао — — (а+а ) .з+а . Добавляя уравнение (а+а ) э+ па — — 0 к уравнению (3.68), получаем систему уравнений, определяюпгзю начало О канонической системы кооршьнат для параболы: Л, з,.з+зз а=0, (а+а ) .з+ас -— О, (3.69) где а =(а,з,) з,.
Замечании 315. 1. Определение центра или оси симметрии равным образом относится как к вещественным, так и мнимым линиям, т.е. включает случай комплексных решений. При этом оказывается [14), что координаты любого центра линии, любой точки оси симметрии являются вещественными. 2. Система уравнений А э+а„=о всегда совместна: ее решениями являются координаты центра симметрии, если линия имеет центр; либо координаты оси симметрии (коллннеарной особому собственному вектору), если поверхность не имеет центра. 3.
Если система уравнений А э+а =о ненмеетрешевнй,т.е. линия не имеет ни одного центра, то система с А э+а„=о, ( +а ) +а =0 310 совместна и ее решение определяет начало канонической системы координат [9). Другими словами, эта система равносильна системе (3.69) в случае параболы. 4. Направлением на координатной плоскости называют множество коллинеарных ненулевых векторов (а также множество координатных столбцов этих векторов). Все ненулевые векторы, коллннеарные, например, ненулевому вектору а ч'+Д.1, а +р~ аО, имеют вид Л (а г+р г') при Л м О, т.е. зависят только от отношения координат а: р.
Поэтому направление обозначается отношением а:р, при згом базисные векторы системы координат имеют направления 1: 0 и 0:1, а отношение 0: 0 — недопустимо. Говорят, что прлмал, отрезок, вектор имеют налравлелие а: р, если они коллинеарны вектору а.Г+ 9. ут. Направления, определяемые собственными векторами линии второго порядка, будем называть сооственными.
5. Два направления а,: р, и аз: р называются взаимно сопряженными относительно квадратичной формы ап-х +2.а, .х.у+аж у =(х у) " ' =(х у) А. (», ь1 А( )=О. Направление а: р, взаимно сопряженное самому себе, т.е. (а р) А. =О, называется еамосонрнгквнным (аеимнтотичвекни). Любая прямая неасимптотического направления пересекает линию второго порядка в двух точках (быть может мнимых) (2,14). Прямая асвмптотического направления либо не пересекает линию второго порядка, либо пересекает ее в одной точке, либо целиком принадлежит линии второго порядка.
На рис.3.57 двойными стрелками изображены асимптогические направления для гиперболы (а), пары пересекающихся прямых (б), параболы (в), пары параллельных прямых (г). Риа357 б. Середины всех хорд неасимнтотического нанравления а: р лежат на одной арамом имеющей сонрлженное нанравление (2,14). Эта прямая называется диаметрам линии второго нарядна, сонрлженным нанраалению а: р. На рнс.3.58 изображены хорды и сопряженные им диаметры эллипса (а), гиперболы (б,в) и параболы (г). Два диаметра, имеющие сопряженные (иеасиьппотические) направления, называются сонряженными диаметрами.
Каждый из них делит пополам все хорды, параллельные другому (на Рис.3.58,а,б,в. полужирными прямыми изображены взаимно сопряженные диаметры эллипса и гиперболы). 7. Свойства сопряженных направлений используются в численных методах поиска минимума функций нескольких переменных [28). 311 Рнс358 й. Направление называется завалим направлением относительно ж.
нии второго порядка, если зто направление и перпендикулярное к нему явлаются взаимно сопряженными. Главные направления являются собственными направлениями, определяющими направления осей канонических систем координат. КВАДРАТИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Вещественная линия второго порядка р(х, у) = 0 разбивает координатную плоскость Оху иа области. В силу свойств многочленов второй степени (в частности, их непрерывности) для решения квадратичных неравенств р(х,у)>0, р(х,у)<0, р(х,у)<0, р(х,у)ьО достаточно определить знак многочлена р(х, у) в одной внутренней точке какой-либо области. Знаки в других областях проставапотся по правилу чередования знаков (аналогично методу интервалов): переходя через границу области, знак многочлена р(х, у) меняется на противоположный, за исключением совпадающих прямых (при переходе через них знак многочлена не меняется).
В случае ми2~- мых линий знак многочлеиа сохраняется на всей координатной плоскости. Для всех вещественных линий, за исключением пары пересекающихся прямых, назовем внутренними те точки, координаты которых (в канонической системе координат) удовлетворяют неравенствам 2 г — + — <1, — — <1, у <2р.х, у -Ь <О, у <О Х У Х У 2 2 2 2 2 бз * 2 12 соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
