Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Отсюда следует, например, по знаки выражений б, к и т Ь сохраняются. Для пропорциональных уравнений р(х,у)=0 и )ь р(х,у)=0 (при любом )! а О), определяющих одну и ту же линию второго порядка, постоянными характеристиками (инвариавтюяи) являются зйп6, зйп к, зйп(т.Ь). ОПРВДВЛВНИВ ВИДА КАНОНИЧВСКОГО УРАВНКНИЯ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ПРИ ПОМОЩИ ИНВАРИАНТОВ Пусп в прямоугольной системе координат Оху линия второго порядка описывается уравнением р(х,у)=0, (3.59) где р(х, у) — квадратичная функция (3.57): р(х.у)=а„х +2 а!з х у+ать у +2.а, х+2 аз у+ас. Согласно теореме 3.3, в любой другой прямоугольной системе координат Оху уравнение атой же линни имеет вид р(х,у )=О, (3.60) где квю!ратичная функция р(х,у)=)! (а! (х)Г+а .(У) +2.а, х ° у+2 а х+2.а у+а ) (361) получена из квадратичной функции р(х, у) в результате умножения на отличный от нуля множитель )! и ортогональной замены переменных: 0 1! х ы У вЂ” 3+5.
х (3.62) ( хам Здесь з =~ ~! — координатный столбец вектора з = ОО переноса начала уо 11 12 т координат, Я = 1! 2 — ортогональная матрица ( Яг = Я ) перехода от ~221 З22,) базиса 1, 1 системы координат Оку к базису системы координат Оку . Корни характеристических уравнений матриц квадратичных форм, инварианты и семиинварианты квадратичных функций р(х,у), р(х,у ) обо- значим соответственно Л,,Лзт,Ь,А,к; Л,,Л,,т,Ь,Ь,к. По теореме 3.3 и п.9 замечаний 3.12 зти выражения связаны формулами Х,=)! Л, Л =)! Л; т=)1 т; Ь=)!2 Ь; Ь=)!з Ь; к=)1'.к. (363) Используя зти связи, выясним признаки видов канонических уравнений, а также выразим коэффициенты канонических уравнений.
ПредполагаР ~ Ф ( г ем, что система координат Оку каноническая, т.е. уравнение р(х,у)!=О имеет один из девяти канонических видов, указанных в теореме 3.3. В этом случае матрица А квадратичной формы функции р(х, у ) имеет диагональный вид: А ( Коэффициенты при квадратах неизвестных в канонических уравнениях (1)- (9) равны корням Л1,Л характериспзческого уравнения этой матрицы.
В зависимости от знаков чисел Л1,Л уравнения (1)-(9) разбиваются на три группы: — корни Л = —, Л = — отличны от нуля и имеют одинаковые знаки 1 1 1 2' 2 ь2 (Ь=Л!.Л >Π— зллюииический тип): уравнения эллипса (1), мнимого эллипса (2), пары мнимых пересекающихся прямых (3); — корни Л = —,Л =- — отличны от нуля и имеют разные знаки 1 1 а! 2 ь! ( Ь = Л! .Лз < Π— гиперболический тип): уравнения гиперболы (4) или пары пересекающихся прямых (5); — один из корней Л! Л равен нулю (Л! = О, Ь =Л, Л =Π— параболический тип): уравнения параболы (6), пары параллельных прямых (7), пары мнимых параллельных прямых (8) или пары совпадающих прямых (9).
— 0 0 г 0 — ' 0 0 0 — 1 1 т~ 1+ 1 бга а 0 — аь' 1 г,г ьг =- — =-о 1 аг,аг значит, т.6 <0, Ь=-б, 0<Л1 <Лз, так как а >Ь >О. Учитывая (3 63), получаем: 11 т )1' Ь 0; )1'.6 =-)1' б; )1 Л1 =+; )1 Л = 'г; 0<)1.Л1 6)1.Лз. Следовательно, т.6<0, )1=-а. Преобразуем неравенства 0<)г.Л1 <р Л ее 0<()1.Л1(>()1 Л ~ ее 0<(Л1ИЛ [, те. Л, — меньший (точнее, не больший) по модулю корень характеристического уравнения Л -'г Л+ 5 = О. Подставляя )г = — а в равенства )г Л, = 1,, )1 Л = 1,, находим а = ~~, Ь = ~ь Таким образом, при б > О, г 6 < 0 уравнение (3.59) описывает эллипс с полуосями а = ~ --4-, Ь = ~ —— Ьа хг'а Для уравнения (2) мнимого эллипса Ц+Ц.+1=0 аналогично получаем: 5>0, т 6>0, а= Г~, Ь= / — ~-.
Для уравнения (3) пары мнимых пересекающихся прямых Ц-+Ц- = О находим 5 > О, 6 = О. В отличие от уравнений (1),(2) отсутствует связы 15 = к 5. Поэтому коэффициент пропорциональности )1 в (3.61) найти однозначно нельзя. Однако для справедливости опюшения — =— 1г г достаточно положить а = 1г-гт, Ь= 1 т-'т Тип уравнения (3.59) не изменяется в ходе приведения его к каноническому виду (3.60), так как, согласно (3.63), выражения 5 и 5 для исходного (3.59) и канонического уравнений отличаются только положительным множителем б =)1~ б.
Поэтому условия 5 >О, 5 < О, 5 =О, определякицие тип канонического уравнения, равносильны условиям б > О, 5 < О, 5 = О, определяющим тип исходною уравнения. Рассмотрим уравнения эллиптического типа ( 5 > 0). Для уравнения(1) эллипса Ц.+Ц.— 1=0 имеем: Л, =-гГ, Л =-1Г, Рассмотрим уравнения гиперболического типа ( б < 0). Для уравнения (4) гиперболы Ц--Ц--1= 0 имеем: Л! =-!г, Л = — ', 2 ь2' 0 0 0 — ! 0 ь2 = — =-б 1 22 ь2 1 1 т= — —, а2 ь2' 0 0 -1 значит, ЛАЛО, Ь= — б, Л! = — '2 >О, Л =-+<О. Учитывая(3.63), получаем )!з ЛаО )гз Ь=-)гг.б (г Л, =+>О )!.Лг +<О Следовательно, 6аО и )г= —.
Подставляя )г=-- в соотношения для а 3 ь' ь корней характеристического уравнения, получаем. "+Л! = 1, >0 и — Л = —,<О. Отсюда а= ~ — — и Ь= ~ —. Так как б<0, то Л З. 1 Ь г ь2 1 тот корень характеристического уравнения, знак которого совпадает со знаком б, т.е. Л, 6 > 0 (второй корень Л противоположного знака). Таким образом, при б < О, 6 а 0 уравнение (3.59) описывает гиперболус полуосями а= ~ — —, Ь= ~ —. 2Ь 2 О О-р 0 1 0 -рО О 'г=1, б=~ ~=0, А= !0 О! ~0 1~ значит, баО, Ь=-р, Л = г=1.
Учитывал (3.63), получаем )г баО, )! .Ь=-р, )г Л =)г.т=1. Следовательно, 6220, р= /-рз 6, )г=-,'. т.е. р= 1 —. Ьа 298 Для уравневиа (5) пары пересекающихся прямых ~'-~-Ц = 0 аналогично получаем: 6 =0, а = ~ —, Ь = ~ — —, где Л вЂ” положительный корень характеристического уравнения, а Л вЂ” отрицательный. Рассмотрим уравнения параболического типа (б = 0 ). Для уравнения(6) параболы (у) — 2 р я =0 имеем: Л! =О, Л =1, Таким образом„при б = О, Ь а 0 уравнение (3.59) описывает параболу с фокальным параметром р = Для уравнения (7) пары параллельных прямых (у )з — Ьз =0 имеем: Л =О, Л =1, 9=1, 0 0 0 б= =О,А= 0 1 0 =О,к= + =-Ьз. Значит, Ь = О, Л = т =1, к =-Ь < 0.
Напомним (см. п.2 замечаний 3.12), что выражение к является ортогональным иввариавтом прн условиах б =0 = О. Учитывая (3 63), получаем А=О, Л = г=-, к<0. Из равенства к=-Ь имеем )ь к= — Ь,т.е. Ь= ~ — ~.. 2 2 2 1( г' Таким образом, при б=о, А=О, к<0 уравнение (3.59) является уравнением пары параллельных прямых с коэффициентом Ь = à — ", Для уравнения (8) пары мнимых параллельных прямых (у )з+Ь =0 аналогично получаем: 0=0, к>0, Ь = 1 —" . Для уравнения (9) пары совпадающих прямых (у) =0 получаем: б=О, Ь,=О, к=О.
Таким образом, классификацию поверхностей второго порядка можно записать, используя инварианты квадратичной функции (см. таблицу 3.2). Замечании 313. 1. Матрица квадратичной формы для левой части канонических урав- ~Л, О1 лений имеет диагональный внд Л =, где Л, Л вЂ” корни хяракте- ~О Л~' ристического уравнения Л -т Л+ б = О, взятые согласно правилам: -дляэллиптическогослучая(при б>0): ~Л,~~~Лз~; — для гиперболического случая (при б<0): Л,, Ь>0, если Ьео, и Л, >О, если А=О; -для параболического случая (при б = 0): Л, =О. 2. Отношения —,, —,, где Л,,Л вЂ” корни характеристического урав- Л, д пения, взятые согласно правилам п.1, не изменяются при умнозкении уравнения на отличный от нуля множитель и при ортогональной замене неизвестных.
Поскольку опюшеиие й =й сторон основного прямоугольника, экса центриситет е и фокальный параметр р выражаются через указанные ин- Й=-"= -ь, а=11 1-А.; для гиперболы а ра варианты: для эллипса й= — = ~ — —, а=аз 1+1;для эллипса, гиперболы и параболы р= ~ — —,, д г ~(;„з инвариантами. 3.
Тип линии не изменяется при аффинном преобразовании координат (см. п.6 замечаний 3.12), так как сохраняется знак 6 (условия б>О, 5<0, 5 = О остаются справедливыми при аффинных преобразованиях координат и при умножении уравнения на любое отличное от нуля число). Следовательно, знак б является аффиииым иивариаилзези линии второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
