Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ь Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.49), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому эллипсом. Другими словами, аналитическое определение эллипса эквивалентно его геометрическому определению, выражающему фокальное свойство эллипса. Р .З.З7 ДИРЕКТОРИАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ЭЛЛИПСА Директрисами зллииса называются две прямые, проходтцие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии л- от нее. При с = О, когда эллипс является окружностью, директрис нет (можно считать, что директрисы бесконечно удалены). Эллипс с эксцевтриситетом 0< в <1 можно определить, как геозштрическое место точек наоскости, длв каждой из которых отношение расстояния до заданной точки Р (фокуса) к расстоянию до заданной нряиой а' (директрисы), не нроходтцей через заданную точку, ностоянно и равно эксцентриситету е (дирешнориальное свойство эллииса). Здесь Р и ив один из фокусов эллипса и одна вз его директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат, т.е.
р,,а, или рг ~г. В самом деле, например, для фокуса Рг и директрисы Н (рис.3.37,б) и условие — ' = е можно записать в координатной форме: о2 й: ГР='Ы-*) Избавляясь от иррациональности н заменяя е =-, а -с = Ь, приходам к г г г а' каноническому уравнению эллипса (3.49). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса р, и директрисы а,: — '= е . гто УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Уравнение эллипса в полярной системе координат Р; гФ (рис.3.37,в) имеет вид Р 1 — е.совФ Ьг где р = — — фекальный лоромешр эллилса. а В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус Р; эллипса, а в качестве полярной оси — луч Р,Г (рис.3.37,в).
Тогда для произвольной точки М(г,гр), согласно геометрическому определению (фокальному свойству) эллипса, имеем г+МР = 2а. Выражаем расстояние между точками М(г,<р) и Р' (2с, О) (см. п.2 замечаний 2.8): 2 Следовательно, в координатной форме уравнение эллипса Р;М+ Р М = 2а имеет вид =2 а. Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 н приводим подобные члены: г -4.с г.совФ+4 с =4 а -4.а г+г е» а ~1- — сов<р~ г=а -с . г г г ( с а Выражаем полярный радиус г и делаем замену е =-, Ь = а — с, р = —: с 2 2 2 Ь в' а 2 .2 Ьг Р г= е» г= е» г= а (1 — е.сову) а (1 — е.с<мф) 1-е сову что и требовалось доказать. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КОЭФФИЦИЕНТОВ В УРАВНЕНИИ ЭЛЛИПСА Найдем точки пересечения эллипса (см.
рис.3.37,а) с координатными осами (вершины эллилса). Подставляя в уравнение у = О, находим точки пересечения эллипса с осью абсцисс (с фекальной осью): х = х а. Следовательно, длина отрезка фокальной оси, заключенного внутри эллипса, равна 2а. Этот отрезок, как отмечено вьппе, называется йальшой осью элаилса, а число а — большой иолуосью эллипса. Подставляя х = О, получаем у = 1 Ь. Следовательно, длина отрезка второй оси эллипса, заключенного 271 внутри эллипса, равна 2Ь. Этот отрезок называется малой осью эллинга, а число Ь вЂ” малой нвлувсью эллинга. Действительно, Ь=~(аз — с «/аз =а, прячем равенство Ь=а получается только в случае с = О, когда эллипс является окружностью.
ОтноЬ шение Ь = — < 1 называется коэффициентам свсатня зллинса. а Замечании 39. 1. Прямые х = ха, у = хЬ ограничивают на координатной плоскости вснввнвй нрямвугал вник, внутри которого находится эллипс (ем. рис.3.37,а). 2. Эллипс можно определить, как геометрическое место точек, лсаучаемое в результате сжатия окружности к ве диаметру. Действительно, пусть в прямоугольной системе координат Оху уравнение окружности имеет вид х +у =а .
При сжатии к оси абсцисс с коэффициентом О < Ь <1 (см. равд.2.2.4) координаты произвольной точки М(х, у), принадлежащей окружности, изменаются по закону < / х=х, у'=Ь.у. Р Ф Подставлая в уравнение окружности х = х и у = ф. у, получаем уравнение для координат образа М (х, у ) точки М(х, у): поскольку Ь = Ь а . Это каноническое уравнение эллипса 3.
Координатные осн (канонической системы координат) являются осями симметрии эллипса (называются главными осями эллинга), а его центр — центром симметрии. 2 Действительно, если точка М(х, у) принадлежит эллипсу — + — =1, з Ьз то и точки М (х,-у) и М ( — х,у), симметричные точке М относительно координатных осей, также принадлежат тому же эллипсу. 4. Из уравнения эллипса в полярной системе координат г = 1-в.соаф (см.
рис.3.37,в), выясняется геометрический смысл фокахьного ларанвтра— это половина длины хорды эллипса, проходящей через его фокус перпендикулярно фекальной оси (г = р при ф =д). 272 О=ее <е1 <ез <1 у Рис.3.38 5. Эксцеитриситет е характеризует форму эллипса, а именно отличие эллипса от окружности. Чем больше е, тем эллипс более вытянут, а чем ближе е к нулю, тем ближе эллипс к окружности (рис.3.38,а). Действительно, учитывая, что е = — и с = а -Ь, получаем С 2 2 2 а 3 с а — Ь 1Ь1 2 2 2 е = — = — =1-~-~ =1-к 3 где й — коэффициент сжатия эллипса, О < к <1. Следовательно, е =8 1-А~ . Чем больше сжат эллипс по сравнению с окружностью, тем меньше коэффициент сжатия й и больше зксцеитриситет. Для окружности к=1 и с=О.
хз уз б. Уравнение — + — =1 при а < Ь определяет эллипс, фокусы кото- 2 Ьэ рого расположены на оси Оу (рис.3.38,б). Это уравнение сводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38). (.—;1 (-у.)". 7. Уравнение — е+ е =1, а>Ь, определяет эллипс с цена Ь тром в точке О(хе,уе), оси которого параллельны координатным осям (рис.3.38,е). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.3б). ПРи а=Ь=й УРавнение (х-хе) +(У-У 1 =й описывает окРУж- 2 ность радиуса й с центром в точке О (хе,уе).
8. Параметрическое уравнение эллипса в канонической системе координат имеет вид 273 !8 — и50 х= а созг, 0<г<2п. у=Ь з1пг, Действительно, подставляя эти выражения в уравнение (3.49), приходим к основному тригонометрическому тождеству соя 2 1+ зш 2 г = 1. Пример 3.20. Изобразить эллипс у х 1 — + — =1 в канонической системе ко- 22 12 ординат Оху. Найти полуоси, фокусное О х расстояние, эксцентриснтет, коэффициент сжатия, фокальный параметр, уравнения директрис. П Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: а = 2 — большая полуось, Ь =1 — малая полуось эллипса. Строим основной прямоугольник со сторонами 2а = 4, 2Ь = 2 с центром в начале координат (рис.3.39).
Учитывая симметричность эллипса, вписываем его в основной прямоугольник. При необходимости определяем координаты некоторых точек эллипса. Например, подставляя х=1 в уравнение эллипса, получаем 22 12 + — =1 ее у =- ее у=+ — з. Следовательно, точки с координатами з' г з вз 4 — 2' 1Уу,л), 1Уу.ф~ у у у. Вычисляем коэффициент сжатия к =ь =-'; фокусное расстояние а 2' 2 с=2 /а~-Ь =2 з/22-12 =2зг'3; эксцентриситет в=-'= — з; фокаль- а 2 ный параметр р= — = — =-. Составляем уравнения директрис: х=1— Ь* 1' ! уу а 2 2' с я=14 .
° ,~з ' ЗЗ.З. Гипербола ФОКАЛЬИОЕ СНОЙСТНО ГИПЕРБОЛЫ Гииврбвлой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой вз которых до двух заданных точек Р; и Р' есть величина постоянная (2а), меньшая расстояния (2с ) между этими заданными точками (рис.3.40,а).
Это геометрическое определение выражает фекальное свойсиз вв гииврбалм. Точки Р; и Р н азы ваютсл фокусами гиперболы, расстояние 2с = Р,Р между ними — фокусным расстоянием, середина О отрезка Р1рз — центрам гиперболы, число 2а — длиной двйствюпвльной оси гиперболы (соответствевно, а — действительной полуосью гиперболы). Отрезки Р1М и Р М, соедиюпощие произвольную точку М гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки М . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.
Гваарбола ~ ~ Я Рпс.3АО (3.50) пз и с Отношение е =- называется экснвнтриепттном пшерболы. Из она ределения (2а < 2с ) следует, что е >1. Геометрическое определение гиперболы, выражающее ве фокальное свойство, эквивалентно ве аналитическому определению — линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы: хз уз — — — =1. 3 $2 Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр О гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходащую через фокусы (фекальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки р, к точке р ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Оху оказалась правой).
Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов Р1(-с,0), Р (с, О) . Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей гиперболе, имеем: ~~рмнрм~~=г . Записывал это уравнение в координатной форме, получаем: ~П*-~'У-П*:7 г-*~' Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е.
избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы: хз уз — — — =1, а2 Ьз где Ь = / с — а, т.е. выбранная система координат является канонической. Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геомегрическому месту точек, называемому гиперболой.
Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению. ДИРЕКТОРИАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ГИПЕРБОЛЫ Дареюпрлсами гиперболы называются две прямые, проходтцие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом 2 расстоянии — от нее (рис.3.41гг). При а = О, когда гипербола вырождается с в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают. ,у) х= —— Ю с х=— е к Гиперболу с эксцентриснтетом е >1 можно определить, как геометрическое место пючек пхоскости, дхя каждой из которых оттниение расстояния до заданной точки Р (фокуса) к расстоянию до заданной прямой г( (директрисы), не проходящей через заданную пючку, постоянно и равно эксцентриситету е (директорнепьное свойство гинерйелы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
