Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 38
Текст из файла (страница 38)
г) Составляем расширенную матрицу системы 1 2 (А(Ь)= 1 -4 1 -2 Поскольку ац =1мО (элемент ац — ведущий), прибавим ю второй и к третьей строкам первую строку, умноженную на (-1): (А ) Ь)= 1 2 1 2 0 — б 0 — 4 1 -4 1 — 2 Разделим третью строку на (-4), а затем ко второй строке прибавим тре- тью, умноженную на б: -0 0 1.
(А ) Ь)« 1 2 1 2 0 -б 0 1 О -б 0 -4 Вторая строка соответствует уравнению О.х, +0 х =1, юторое не имеет решений. Следовательно, система несовместна (прлмые, задаваемые урав- нениями системы, изображены на рис.3.31,г). ° 242 1 2 0 1 0 -4 -з) -г) 1 0 0 1 0 0 -5) — 5) . ю-( СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Сисюемой ю линейных алгебраических несюрогнх неравенсюв с двУмЯ неизвесюными называетсЯ система неРавенств вида йц хб+бзбз хз щЬб, йм'х+ ж'хзаЬ (3.30) а .х,+й х еЬ Числа й», 1=1,...,ю, 1=12 называются коэфй)нциенюами сисюемы; Ь~, Ьз,..., Ьщ - сеободнымн членйми; хб, хз — неизеесюнынм Реюенивм сисюемы называется упорядоченная пара чисел (а,а ) таКаа, Чта ПОСЛЕ ЗаМЕНЫ НЕИЗВЕСТНЫХ Х,, Хз СООтастетВЕННО ЧИСЛаМИ а,,обз кяждое неравенство системы превращается в верное числовое неравенство.
Система называется совмееюной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несоанесюной. Система (3.30) называется однородной, если все свободные члены равны нулю: ап.», +й,з хз 1 О, ам.хб+а.п хз ~0, (3.31) й щ б х б + й щ з ха 0 В отличие от однородной, систему общего вида (3.30) называкбт неоднород. ной.
Систему (3.30) принято записывать в матричной форме. Дяя зтого из козффициентов системы составляем маюрицу сисюены йп йбз А= —...) свободные члены записываем в сюавбец свободных членов Ь = а неизвестные — в сюалбец неизвесюных х = (.зз) Маюричнал завива неоднородной системы неравенств (З.ЗО) имеет вид Ах>Ь, (3.32) и 243 а однородной: Ах~о, (3.33) где символ о в правой части обозначает нулевой столбец размеров тх1, Сравнение левой и правой частей неравенств (3.32), (3.33) выполняется покомпонентно: два столбца а =(а1 " а„)" и р=(р1 " р„)" одинаковых размеров удовлетворяют неравенству а > р тогда и только тогда, когда все неравенства а1 1 р1,..., а„~ р„выполвпотся одновременно.
3 Блочная матрица (А ~ Ь)= Л11 П12 называется расшмреииой а„ а„ яппирицей сисавямм (3.30). рассматривается случай, когда все неравенства системы первой стенени, т.е. козффициеиты при неизвестных каждого неравенства не равны нулю одновременно. Позтому матрица А системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые. В соответствии с матричной записью решением системы (3.32) называГа11 ется столбец х =~ '~, при подстановке которого в (3.32) получаем верное (122~ неравенство для столбцов в левой и правой частях. В частности, нулевой спщбец о яюиется решением однородной системы (3.33), т.е.
шобла однородная система неравенств совместна Раисом сисавамм лераааислы (3.30) называется ранг матрицы А системы: г = гй А, т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы А (максимальное число линейно независимых неравенств системы). Посколысу матрица системы (3.30) ненулевая, то ее ранг может быть равен либо единице (г =1, если все строки матрицы А пропорциональны), либо двум ( г = 2, если имеются хотя бы две непропорциональные строки). Выясним геометрический смысл и свойства решений системы неравенств (3.30).
Напомним, что множество точек (на плоскости или в пространстве) называется вмлуллььи, если вместе с любыми двумя свовми точками оно содержит и весь отрезок, соедиюпощий зги точки (рис.3.32,а). Пустое множество и множество, состоящее из одной точки, по определению считаются выпуклыми. Озрезок, луч, прямая, треугольник (вместе с внутренними его точками), крут, плоскость, пааузлоскость, треугольная пирамида, шар и т.п. являются выпуклыми множествами. Фигура, изображенная на рис.3.32,6,не является выпуклой, поскольку отрезок (пприхоаая линия), соединяющий две точки фигуры, не принадлежит целиком зтой фигуре.
Примерами невыпуклых множеств являются также ломаная, окружнос1ь, сфера и т.п. 244 ~РС~Ф Я 6 в г .ззз Отметим важное свойство выпуклых множеств: лересечеиие яюбоео числа выпуклых миожесте яеяяеыся еылуклым множесвыоы. Действительно, пусть две точки принадлежат пересечению ф = Ф, Й Ф двух выпуклых множеств Ф, и Ф (рис.3.32,е), т.е. обе точки принадлежат каждому из множеств Ф, и Ф . Тогда весь отрезок, соединяющий выбранные точки, принадлежит каждому из множеств ф, и ф, поскольку ови выпуклые. Следовательно, весь отрезок принадлежит пересечению Ф = Ф, (1 Ф .
Это рассуждение распроеграшется на любое количество выпуклых множеств. Пусть на плоскости задана аффииная система координат Ох х . Как показано в разд.3.2.1, множеспю точек Х(х,,х ), координаты которых удовлепюряют линейному неравенству с двумя неизвестными ап х + а,. л > Ь,, представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой ап.х, +а, х =Ь, Поэтому множество М решений системы неравенств является пересечением полуплоскостей а, х, + ам. лэ > Ь,, 1 = 1,...,ш. Поскольку полунлоскость является выпуюпам множеством, пересечение конечного числа полуплоскостей также является выпуклым множеством, которое называется выпуклым многоугольным лвиолеесшеолв. Таким образом, множество решений системы неравенств (3.30) — это выпуклое многоугольное множество. Рассмотрим примеры пересечения полуплоскостей.
Если ранг системы (3.30) равен 1, то коэффициенты при неизвестных всех неравенств пропорциональны. В этом случае все прямые, ограничивающие полушюскости, параллельны. Пересечение М таких полуплоскостей может быль либо пустым множеством (система неравенств несовместна). либо прямой (рис.З.ЗЗ,л), либо полосой (рис.З.ЗЗ,б), либо покупространством (рис.З.ЗЗ,е). Здесь и далее на рисунках прямая, ограничивающая цолуплоскость, нзобрыкается со стрелклмн, указывающими на выбранную цолуплоскосгь, а также, как правило, пприховкой, которой отмечается другая полупяоскость, не удовлетворяющая неравенству.
При пересечении пояуплоскостей зшптрихоаанное множество не удовлетворяет системе неравенств. в вв .з.зз Еслн ранг равен 2, то не все прямые ан х, +ад х =Ь„(=),...,ш, шь раллельны. В атом случае пересечение полуллоскостей может быть либо пустым множеством, либо точкой (рис.3.34,а), либо полупрямой (рис.3.34,б), либо отрезком (рис.3.34,в), либо многоугольником (рис.3.34,г), либо выпуклым многоугольным множеством (рис.3.34,д). мктод искыочкннл нкизвкствык Для решения системы (3.30) можно применить метод ипоиочеиия неизвестных (39). При зтом нужно учитывать, что в отличие от уравнений линейная комбинация неравенств является следствием системы неравенств только прн положительных коэффициентах, т.е.
< ф)>0, Л, . у',(х)+ ...+ Л г" (х) > 0 ~„(х) 1 0 при Л, с О,...,Л„< О, за исключением случая Л, = ...=Л„=О. Такие линейные комбинации называются нвлоиситеаьнмми. Поэтому метод Гаусса, где используются линейные комбинации с положительными и отрицательными коэффициентами, для систем неравенств неприменим. Рассмотрим метод исключения неизвестных, применяемый для решения системы (3.30). 1. Выбираем в матрице А системы неравенств (3.32) столбеп. в котором имеются нулевые элементы или элементы противоположных знаков (такой столбец называется ведущим, его элементы — ведущими, а неизвестная, соответствующая ведущему столбцу, — ведущей).
По ведущему столбцу формируется новая система неравенств А х с Ь, в которой ведущая неизвестная отсутствует (исключается ведущая неизвестная). Например, если первый столбец матрицы А ведущий, то в новую систему А х<Ь записываем: — все неравенства исходной системы, в которых неизвестная х, входит с нулевым коэффициентом; — положительную линейную комбинацию ( -го и у -го неравенств, если аа>Оная<0: т.е.
к )-му неравенству а,.х,+а. х >Ь, умноженному на аа >О, прибавляем )-е неравенство ал х,+а, х >Ь,, умноженное на — а >О. В этой комбинации неравенств коэффициент при неизвестной х, получается равным нулю. Другими словами (при исюпочении неизвестной х, ), расширенная матрица (А ) Ь ) новой системы составляется из строк расширенной матрицы (А ) Ь) системы (3.32) с нулевыми ведущими элементами, и положительных комбинаций строк матрицы (А ( Ь) с ведущими элементами противоположных знаков (коэффициенты положительной комбинации выбираются так, чтобы ведущие элементы взаимно уничтожались). После процедуры исюпочения неизвестной х, в матрице А первый столбец оказывается нулевым.
Если в матрице А нет ведущего столбца (элементы каждого столбца матрицы отличны от нуля и имеют одинаковые знаки), то исключить неизвестную в этой системе нельзя. 2. Если в системе исключена неизвестная х,, то решаем систему / А .х>Ь с одной неизвестной х, преобразуя ее к системе А х<Ь, со. стоящей из одного или двух неравенств.
В результате получаем один из пати частных случаев: а) 0 х <Ь), где Ь, >О; б) 0 х <Ь,, где Ь, <О; в) хз >Ь г) хз >Ь! Ф ~х>Ь, Ф Р д) г — г где Ь, < — Ьг. 1-; к. В случае "а" неравенство не имеет решений, следовательно, исходная система неравенств Ах > Ь несовместна (процесс решения заканчивается). В остальных случаяк исходная система совместна Если в исходной системе нельзя исключить одну неизвестную, то по- лагаем формапьно 0 х <О (А =О, Ь =0). Этому неравенству удовлетво- ряют любые значения неизвеспюй х, т.е. < х <+ 3. Преобразуем исходную систему неравенств Ах ~Ь, выражая неиз- вестную х~ через х . Получим систему А х>Ь, разрешенную относитель- но х,. 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
