Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 35
Текст из файла (страница 35)
1. Перейдем от общего уравнения к г- каноническому. М, Р 1 1) Найдем любое решение О уравнения х-у+1=0, например, х =-1, У„=О (точка Ь1 1-1,0) Риа.злу принадлежит прямой РН ). 2) Найдем ненулевое решение однородного уравнения А.а+В.Ь=1 а-1.Ь=О, например а=Ь=1 (направляющий вектор р прамой РН имеет координаты а = Ь =1). х-(-1) у-0 х+1 у 3) Запишем каноническое уравнение: — ' — ' ее 1 1 1 1 б) Найдем направлиощий вектор 1 биссектрисы Р(.. Для этого отло- РЯ РВ жим от вершины Р единичные векторы т=-т,т — т и построим на ник ~РЯ ~РЩ ромб (изображенный на рис.3.17 штриховой линией).
Поскольку диагонвп РЯ РВ ромба являетса биссектрисой, то вектор 1 =т= — т+т — т является направ- ~РД~ ~Р~~ лающим вектором биссектрисы Р1.. Находим координаты и длины векто- ров: РО=( )-'( )='( ~; ~РО~ (12 +~-5) =13; ~=(~~: РЯ=Я )=( ~; ~РВ~=~~ э+3 5: г — ~ ( ); ' г='гг~ (-")4 (-) Составляем каноническое уравнение прямой с направвпощим вектором 1, х-1 у-2 х-1 у-2 проходящей через точку Р(1,2): пз м ее 8 1 222 Чтобы получить параметрическое уравнение прямой РЬ, приравниваем левую и правую части каноничее лого уравнения параметру х-1 у-2 =1 = —. Записываем полученную систему в виде (3.12): 8 1 с х=1+8 1, си сс . ° у =2+1.1, 3.2З.
Уравнении примой, проходящей через две заданные точки Пусть на координатной плоскости Оху заданы две точки Мо(хо,уо) и М1(хс,ус). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки. Как показано в разд.1.6.1, точка М(х, у) принадлежит прямой МОМ, тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор ОМ удовлетворяет условию (рис.3.18): <1 1) ОМО+1 ОМ1 ' (3.14) где 1 — некоторое действительное число (параметр). Уравнение (3. 14), а так- будем называть афййиалыдя уравнением арнесс!с» арахссдлщей че)сез с)ае саоч«и Ма<хо,уо) и М (х,,у1).
Аффввное уряввевне прямой: ом-(1-с) о~~,+с ом,; < я=(1-с).с +со,. У 01 с)'Ус+с'Ус' Уряяневие прямой, проходящей через дветочян М и М, с у,) "о уо) Яо Ус Уо Рис.3.18 Выражая параметр 1 из первого и второго уравнений системы (3.15), х-х у — у получаем: — =1= — й-. Исюпочая параметр 1, приходим х урааае Х1 Хо У! УО «««!аралин» «рехой щеа щи йващач«а Мо(хо,уо) и М!(хс,у1): же его координатную форму х <1-1) хе +1. хс е о 0 1 0 (3.15) у,-у, Уравнение (3.16) можно получить нз канонического уравнения (3.13), выбирая в качестве направляющего вектора р = а 1' + Ь.
уп вектор Ьяейя1=(х,— х ).1+(у,— уе) 7',те.подставляя а=х,— хе ° Ь=У1 УО (3.16) урлннннин шямой "н отркзнлд" Уревпеныя прямой "в отравах": — + — 1, .т,яе, у,ве. я У, Рвс.з.19 Подставляя в уравнение (3.16) хе = х, уе =О,х =О, у = у,, получа- у-О х у х у — — ее — — +1= — ее 1= — + —.
0 — х, у,-О х, у, х, у, Меняя левую и правую части равенства, получаем уравнение — + — =1, хз е О, у1 о О, х у У1 которое называется уравнением в(риной "е онярезках". Говорят, что прямая, проходацая через точки Х,(х,О) и У1(О,у1), отсекает нн коарднннтных оенх "отрезки": х, на оси абсцисс и у, на оси ординат. Разумеется, длины отрезков ОХ, и ОУ равны ~ х, ~ и ~ у, ~ соответственно. Замечания 35.
1. Перейтм от оби(его уравнения прямой (3.8) А х+В у+С=О к уравнению "е отрезках" (3.17) можно при условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенести свободный член в правую часть уравнения: А х+ В. у = — С, а затем разделить обе час- ти уравнения на -С: — х+ —.у =1. Обозначив х, =--, у =-, полу- А .
В с ' -с' -с' А* 1 В' чим уравнение "в отрезках" (3.17): — '+ г =1. У, 224 (3.17) Пусть на координатных осях заданы точки Х,(х,,О) н У,(О, у,), причем х, м О, у,;я 0 (рис.3.19). Требуется составить уравнение прямой, проходящей через зти точки. 2. Уравнения (3.16), (3.17), полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним, однако, величины ) х, ) и ) у, ) в общем случае не равны длинам отсекаемых отрезков ОХ1 и ОУ1.
Пример 3.10. На координатной плоскости Оху (в прямоугольной системе координат) заданы вершины Р(1,2), Д(13,— 3), л(5,5) треугольника (рнс.3.20). Составить: а) уравнение "в отрезках" для прямой, содержащей высоту РН треугольника; б) уравнение "в отрезках" для прямой, содержащей биссектрису РЕ треугольника; в) уравнение прямой, содержащей медиану РМ треугольника. П а) В примере 3.7 было получено общее уравнение х-у+1=0 прямой РН. Перенесем свободный член в правую часть: х-у=-1 и поделим обе части уравнения на (-1): -х+ у =1.
Запишем зто уравнение в виде (3.17): —,+ 5 =1. Эта прямая отсекает на координатных осях "отрезки" (-1) и 1 соответственно. б) В примере 3.9 было получено каноническое уравнение ф= 5, прямой РЬ. Перейдем к общему уравнению, перенося все члены в левую часть: — '' 9 = О. Умножая обе части на 8 и приводя подобные члены, по- 8 1 лучаем х-8 у+15 =О. Теперь переселим от общего уравнения к уравнению "в отрезках" (аналогично п."а"): х-8 у+15=0 сэ х — 8 у= — 15 сз — — =1 ~ — + 15 =1 8 у х у -15 -15 -15 8 в) Найдем координаты середины М отрезка ДЯ (см.
п.3 замечаний 2.1 в разд.2.1.1): М(~~+,.ф~), т.е. М(9,1). Составим уравнение (3.16) прямой, проходящей через точки Р(1,2) и М(9,1): 9 1 ее 8 = —,. ° 15 — 5! 50 3.2.4. Уравнения прямой, проводящей через заданную точку, с даяным угловым коэффициентом Пусть заданы: а)точка Мо(О,Уо) наосиоРдинат; б) угол а, 0<а<я, а од (рис.3.21,а). Требуется составить уравнение прямой, пересекающей ось ординат в заданной точке и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол заданной величины а. Величину, равную тангенсу угла а, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, называют уеяввмм коэффнцивнмвм нрямой и обозначают А = 18 а (рис.3.21,а). Уреепевпе прямой ) е уупоеом поэффпцпнпон: уаввоу,. «=Чо.
Р в Рпе.эл! Выберем на прямой произвольную точку М,(х,,у1), отличную от Ме(0, у, ), т.е. х, -е О. Запишем уравнение (3.16) при хо = 0: -о у-у„ х-0 у-у о У~ Уо Отсюда (у -у ) х=(о-у ) х с» у=у + — ''.х. Подставляя о У~ Уо — ' = 18 а = х, получаем уравнение х+ уо' (3.18) которое называется урввнвнивм нрлмой с угловым коэффнцнвнмом (или уравнением прямой, рвэрвмвннмм омносмнвлано у ). Найдем, например, величину а угла между прямой РН (см. пример 3.7, рис.3.12) и положительным направлением оси абсцисс.
Для этого из общего уравнения х- у+1=0 прямой РН выражаем у = х+1. Сравнивая с (3.18), получаем х =1, следовательно, 18а=х =1, т.е. а=д. Замечаяня 36. 1. Чтобы первити ом оби(вго уравнения прямой (3.8) А. х+ В. у+ С = 0 к яуавнвниуо с угловым коэффицоимнон (3.18), нужно разрешить общее уравнение относительно неизвестной у: А С у = — — х — — с=> у = к. х+ у, В В е где й = — ф, у„= — с . Такой переход возможен при условии В Ф О.
2. Если в поставленной задаче заданная точка Мс(хо, уо) не лежит на оси ординат, то, проводя аналогичные рассуждения, получаем уравнение нряггой суглввым коэффициентам вида: у-у =к.(х-хо). 3. Уравнение прямой (3.18) с угловым коэффициентом применяется только в прямоугольной системе координат, поскольку в любой другой аффинной системе координат в уравнении (3.18), разрешенном относительно неизвестной у, коэффициент к утрачивает смысл углового коэффициента. 3.2.5. Взаимное расположение примьп коллинкаунык ш нмьш Две прямые называются каялинварнььии, если онн параллельны или совпадают.
Получим условие коллинеарности двух прямых 1, и 12, заданных общими уравнениями: 1,: А, х+В,.у+С, =О; 1: А х+В у+С =О. (3.19) Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (3.19) является условие коллинеарности нх нормалей н, = А,.~+В, 3, из=А г+В 3. Следовательно, если прямые (3.19) коллинеарны, то н, 8 нз, т.е. существует такое число Х и О, что ~в,=х в,, и наоборот. Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо С, = Х С . Тогда первое уравнение в (3.19) имеет вид 2. (А х+ Вз.
у+С )=О, т.е. равносильно второму, поскольку Х и О . Таким образом, прямые (3.19) нараггелъны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты нри неизввсткых в их )равнениях нронорциональны, т.е. существует такое число ХиО, что А, =Х.Аз, В~ =Х В, но С, иХ С . Прямые (3.19) совладают тогда и только тогд~ь когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях нронорционагьны: А =Х.А2, В =Х В, С =Х.С . н* 227 Условия параллельности ияи совпадения прямых (3.19) можно за1и сать в виде 1й1 ~ — = — 1в — '; 1м 1 сь А, В, С, А В С, А2 В2 Сз А2 В2 С2 Условие ксллннеарности двух прямых (3.19) можно записать в виде А, В, ~ =А1 Вз-А2.В, =О. 21 .ливней уроавя функции у(х, у) двух переменных называется геометричесхое место точех координатной плоскости Оху, в хоторых фунхцня принимает постоянное значение, т.е.
У(х, у) = совз1 (см. (19,28,40)). Для линейного трехчлена У л=А 1+В.1 р(х, у) = А.я+ В. у+ С уравнение с<с <с 1 2 3 лавин уровня р(х,у)=сопз1 имеет вид А я+В У+С=сз А.х+В.У+С=совз1. (320) При любом фиксированном А'я+В'У+ С =сз значении постоянной уравнение А. х в В. у+ С вЂ” с (3.20) описывает прямую. Рассмот- 1 рим поведение семейства линий уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку хозффициевты А и В не изменяются, то у всех прямых (3.20) будет одна и та же нормаль л = А.1+ В 1. Следовательно, линии уровня лвнейного трехчлева р(х,у)=А.я+В у+С представшпот собой семейство параллельных прямых (рис.3.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
