Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Без ограничения общности можно предполагать, что уравнение линии второго порядка задано в прямоугольной системе координат Оху. В противном случае можно перейти от непрямоугольной системы координат Ох,х к прямоугольной Оху (см. равд.2.2.2), при этом уравнение линии будет иметь тот же вид и ту же степень согласно теореме 3.1 (см. разд.3.1.3). Пусть в прямоугольной системе координат Оху алгебраическая линия второго порядка задана уравнением ап.х +2 а, х у+а, у +2 а, х+2 а у+а =О, (3.34) в котором хотя бы один из старших коэффициентов ап, а,, а, отличен от нуля, т.е.
левая часть (3.34) — многочлен двух переменных х, у второй степени. Коэффициенты при первых степенях переменных х и у, а также прн их произведении х. у взяты удвоенными просто для удобства дальнейших преобразований. Для приведения уравнения (3.34) к каноническому вшш используются следующие преобразования прямоупшьных координат (см. разд.2.2.3): Р Р (х=х .соз(р — у .зшф, — поворот на угол <р (3.35) ~ у=х з(п~р+у сову; » » » 1 х=х, '» х= — х, „1х=-х, оси ординат ~,' оси абсцисс ~, ' обеих осей ~, (3.32) У= У У=у ° У= У' — переименование координатных осей (отражение в прямой у = х) (*=» где х, у и х, у — координаты произвольной точки в старой ( Оху ) и новой »»» ( О х у ) системах координат соответственно. Кроме преобразования координат обе части уревнення можно умно.
жать на отличное от нуля число. Рассмотрим сначала частные случаи, когда уравнение (3.34) имеет в~щ О): Лз У +ае=О, ЛзаО; (П): Лз . у + 2 аз х = О, Лз Ф О, а, м 0; (Ш): Лз х +Лз ° у +ае=О, ЛзаО, ЛзнО. Эти уравнения (также многочлены в левых частях) назьпакзггл нраве. денными. Покажем, что приведенные уравнения ((),(П),(Ш) сводятся к ка()Н9). Уравнение ()).
Если в уравнении (з) свободный член равен нулю (ае =0), то, разделив обе части уравнения Л .у =0 на старший коэффициент (Л аО), получим уз =0 -уравнение двух совнадаюи~ах нряиых (9), содержацих ось абсцисс ( у = 0). Если же свободный член отличен от нуля (ае а 0), то разделим обе части уравнения Щ на старший коэффициент (Л н 0): у + — = О. Если величина — отрицательная, то, обозначив ее 2 е ао через -Ь, где Ь= ~- —, получаем у — Ь =0 — уравнение зи9»ы наралз ~» лвльныхнряиых(7): У=Ь'или у=-Ь. Если же величина — положительно ная, то, обозначив ее через Ь, где Ь =. ~, получаем у + Ь = 0 - уравнвз "а ние нары мнимых нараллелъных нряиых (8).
Это уравнение не имеет дейст внтельных решений, поэтому на координатной плоскости нет точек, отвечакнцих этому уравнению. Однако в области комплексных чисел уравнение у +Ь~ =0 имеет два сопряженных решения у =+ зЬ, которые иллкжтрируются штриховыми линиями (см.
п.8 теоремы 3.3). Уравнение (Е). Разделим уравнение на старший коэффициент ( Л 55 О ) 2 а1 н перенесем линейный член в правую часть: у = — —.х. Если величина Л 2 .а1- отрицательная, то, обозначая р = — > О, получаем у = 2. р х— 1 Л2 2 уравнение параболы (б). Если величина — положительная, то, изменяя на2 правление оси абсцисс, т.е. выполняя второе преобразование в (3.37), получаем уравнение (у) = — х нли (у) =2 р х, где р= — >О. Это Ф Р уравнение параболы в новой системе кооршп5ат Ох у . Уравнение (Ш). Возможны два случаю либо старшие коэффициенты одного знала (зллиишический случай), либо противоположных знаков (гииврйвлический случай). В зллишиическом случае (Л, .Лз > О ) лри ав и О переносим свободный член в правую часть и делим обе части на — ав а О: 2 Л 2 (Ш) е» Л х +Л у = — а во — 1-.х + — Л- у =1.
ае -а Если знак старших коэффициентов Л1,Л противоположен знаку ао, то;обозначал положительные величины — ~- и — через а и Ь2, папу-а„-ов хз уз чаем — + — = 1 -)75авнение злвилса (1). а Ь Если знак старших коэффициентов Л,,Л совпадает со знаком ае, то, обозначая положительные величины — и — через а и Ь, получаем ае ае 2 Л1 Л2 хз х у — — — — =1 «е — + — = -1 — уравнение мнимого зллинса (2). Это а Ь аз уравнение не имеет действительных решений. Однаю оно имеет решения в области комплексных чисел, которые иллюстрируются лприховой линией (см. п.2 теоремы 3.3).
Можно считать, что в уравнениях эллипса (действительного или мнимого) коэффициенты удовлетворяют неравенству а а Ь, в противном случае 257 !7 — 5!50 этого можно добиться, переименовывая координатные оси, т.е. делая преоб. раювание (3.38) системы координат. Если свободный член уравнения (Ш) равен нулю (ао = 0), то, обозна- 1 1 2 2 чая положительные величины т — т и т — г через а и Ь, получаем ~Л1~ ~Л2~ 2 2 — + — = 0 — уравнение нары мнимых нервсвхающмхся нрямь1х (3). Этому аг Ьг уравнению удовлетворяет только точка с координатами х = 0 и у = О, т.е. точка Π— начало координат.
Однако в области комплексных чисел левую часть уравнения можно разложзпь на множители — + — = ~ — +1 — ) ~ — -1 — ), поэтому уравнение имеет сопряженные рея' Ь' ~Ь а) ~Ь а)' ,Ь щения у = И- х, которые иллюстрируются ппрнховыми линиями, пере- а секающимися в начале координат (см. п.3 теоремы 3.3).
В гиперболическим случае (Л1 Л <0) при ао и 0 переносим свободный член в правую часть и делим обе части на -ао и 0: (П)) ео Л,. +Лг.у = — о ео — 1- + — у =1. 2 2 Л 2 2 2 — а о -а о Величины — и — Я. имеют противоположные знаки. Без ограниче-н -а Л, Л ния общности считаем, что знак Л совпадает со знаком свободного члена а, т.е. — >О. В противном случае нужно переименовать координатные ао о' Л 2 оси, т.е. сделать преобразование (3.38) системы координат. Обозначая положительные величины — и — через а и Ь, получаем — — — =1— ао ао 2 2 х у 1 2 а Ь уравнение гилврбааы (4).
Пусть в уравнении (Ш) свободный член равен нулю (но =0). Тогда можно считать, что Л, > О, а Л < 0 (в противном случае обе части уравне- 1 1 ння умножим на — 1). Обозначая половппельные величины — и — че- 1 2 2 2 г г х у рез а и Ь, получаем — — — =0 -уравнение нары нврвсвкаюи1ихся нря- 2 Ьг 258 ~ых (5). Уравнения прямых находятся в результате разложения на множители левой части уравнения — — — = — — — ) ~ — + — ~ = О, т.е. у = + — х . аз Ьз ~а Ь) ~а Ь) а Таким образом, приведенные уравнения (П,(П),(Ш) алгебраической лилии второго порядка сводятся к одному из канонических видов (1) — (9), перечисленных в теореме 3.3.
Осталось показать, что общее уравнение (3.34) можно свести к приведенным при помощи преобразований прямоугольной системы координат. Упрощение общего уравнения (3.34) производится в два этапа. На первом этапе при помощи поворота системы координат "уничтожается" член с произведением неизвесцпзх. Если произведения неизвестных нет (а, = 0), то поворот делать не надо (в этом случае переходим сразу ко второму этапу).
На втором этапе прн помощи параллельного переноса "уничтояаюгся" один или оба члена первой степени. В результате получаются приведенные уравнения (Т),(П),(Ш). Первый элшл: преобразование уравнения линии второго порядка при повороте прямоугольной системы координат. Если козффипиент а, а О, выполним поворот системы координат на угол ф .
Подставляя выражения (3.35) в уравнение (3.34), получаем: з г г, и з ~ Р ац (х.созф — у зшф) +2.а, .1х созф-у з(пф) (х з(пф+у соир)+ / г и з г Ф +а (х зшф+у сову( +2 а, (х.созф — у.зшф)+ +2.йэ.(х з(пф+у озф)+ =О. Приводя подобные члены, приходим к уравнению вида (3.34): ац.(х)э+2.а,э.х У+аж (У) +2 а, х+2 а У+аз=О, (3.39) где ац —- а,1.соззф+2.а, созф зшф+а зш ф; Ф 2 ° 2 а, =-ац.созф.зшф+а, .(соз ф — зш ф)+а соир зшф; йх, =йц-яп ф-2 й,э.созф зшф+аээ соз ф; Ф Ф Р й1=й~'созф+йз'зшф; йз=-й1 "зшф+йз созф; йо =аз. Определвм угол ф так, чтобы а,э = О. Преобразуем выражение для а,, переходя к двойному углу: ац зш 2ф+ й~з ' соз 2ф+ ' йзз зш 2ф = В " "з(п 2ф+ й1з ' соз 2ф .
Угол ф должен удовлетворять однородному тригонометрическому уравнению -и — лцйп2ф+а, .соз2ф=О, которое равносильноуравнению ц ф=-.агссгб — +-.л, где лн 2. 1. ~и "л я га~з г Выберем любой из них, например, угол ~р из интервала 0 < <р < г . Тогда в уравнении (3.39) исчезнет член 2 а, х у, поскольку а, =О.
Обозначив оставшиеся старшие коэффициенты через Л, =ац и Л =аж, получим уравнение Л, (х) +Л .(у')г+2 и, х+2 а у+а =О. (3.41) Согласно теореме 3.1, уравнение (3.41) является уравнением второй степени (при преобразовании (3.35) порядок линии сохраняется), т.е. хотя бы один из старших коэффициентов Л, или Л отличен от нуля. Далее будем считать, что именно коэффициент при (у ) не равен нулю (Л ФО). В противном случае (при Л = 0 и Л, а 0) следует сделать поворот системы координат на угол <р+дг, который также удовлетворяет условию (3.40).
Тогда вместо координат х, у в (3.41) получим у, — х соответственно, т.е. отличный от нуля коэффициент Л, будет при (у ) . Второй аглаи: преобразование уравнения линии второго порядка при параллельном переносе прямоугольной системы координат. Уравнение (3.41) можно упросппь, выделяя полные квадраты. Нужно рассмотреть два случаю Л, и 0 или Л, = 0 (согласно предположению Л и 0), которые называются иеллгрияьлый (включающий эллиптический и гиперболический случаи) или ларабаличесизй соответственно. Геометрический смысл этих названий раскрывается в дальнейшем.
Целглральный случай: Л, ~ 0 и Л и О. Выделяя полные квадраты по Р переменным х, у, получаем Р Ф г (х) +2 — х+ -1. Л1 Л1 (у')г+2. г.,'+ г -Л, — -Л . — +а =0 <=» сгб 2(р = (3.40) 2' г поскольку а, ~ О. Зто уравнение имеет бесконечное количество корней Л, х+ — +Л у+~ -Л,. — ' — Л, — з +а =О. После замены переменных ю г а~ х =х+ —, Л,' Р ю аз У =У+— Лз (3.42) получаем уравнение Л,.(х7+Л (у") +а"=О, (3.43) где ае =-Л1 — -Л ° — ~ +а . уз аз ~, аг 3 (,1 +2.а, х — Л вЂ” +а =О 2 2 2 Р й е» Л ° у+ — з +2 а .х-Лз ° — +а =О.
(3А4) Ф Если а, и О, то последнее уравнение приводится к виду Л, У+ — ' +2а, х + — г — Зт — =О. Сделав замену переменнык х"=х'+ —,— — ~" -4- (3.45) Ф У =У+ Лг получим Л, (у")" + г.,".х" =О, (ЗА6) Ю Р гдеа =а. Если а, = О, то уравнение (3.44) приводится к виру Параболический случай: Л1 = О и Л а О. Выделяя полный квадрат по переменной у, получаем Л .(у ) +а„=О, (3.47) 2 (аз где а =-Л . — +о, О 2 г Ю х =х, У =У+ аз 2 (3.48) Замены переменных (3.42), (3.45), (3.48) соответствуют параллельному переносу системы координат Ох у (см. п.1 "а" замечаний 2.3).
Таким образом, при помощи параллельного переноса системы коорднЮ Ю~ нат Ох у получаем новую систему координат О х у, в которой уравнение линии второго порядка принимает вид (3.43), или (ЗАб), нли (3.47). Эгн уравнения являются приведенными (вида (Ш),(П) или (1) соответственно). Основная теорема З.З о приведении уравнения алгебраической линии второго порядка к каноническому виду доказана хс+х з р+у у = у + х . яа гер- у соя 9. < х=хаох сезар-у яшар, у = у + х мп <р+ у . соя 9, Поэтому задача приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду сводится к нахождешпо начала О (хв, у„) канонической системы координат Оху и угла 9 наклона ее оси абсцисс Ох к оси абсписс Ох исходной системы координат Оху .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
