Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Здесь Р и 27б с( — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат. В самом деле, например, для фокуса Р и директрисы Н (рис.3.41,а) г условие — 2 = е мозно записать в координатной форме: Р2 (х — с)2 + у = е. х — ~ . с! Избавляясь от иррациональности и заменяя е =-,', сз -аз = Ь, приходим к 2 2 2 каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса Р; и директрисы т(,: 21 -1-=е ее (х+с)2+у =е х+ — ~.
г 2 ( а~ Р1 с! УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат Р г<р (рис.3.41,б) имеет вид Р 1 — е.сезар 82 где р = — — фекальный аарамалтр гииардельь а В самом деле. выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус Р гиперболы, а в качестве полярной оси — луч с началом в точке Р, принадлежащий прямой Р,Р, но не содержащий точки Р1 (рис.3.41,б).
Тогда для произвольной точки М(г,тр), принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем Р1М-г=2а. Выражаем расстояние между точками М(г,~р) и Рт(2с, и) (см. п.2 замечаний 2.8): Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид — г=2а Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены: 277 г +4 с г совФ+4 с =4 а +4 а г+г «» а ~1 — — сови~ г=с — а .
2 2 2 2 С 2 2 а ь2 Выражаемполярныйрадиус г иделаемзвмены е= —, Ь =с — а, р=— 2 2 2 а а сз — аз ь2 г= «» г= «» г= а 1-е совФ а. (1 — е. сов Ф 1 — е сову что и требовалось доказать. Заметим, что в полврных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами (е >1 для гиперболы, О < е <1 для эллипса). ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ КОЭФФИЦИЕНТОВ В УРАВНЕНИИ ГИПЕРБОЛЫ Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42а) с осью абсцисс (еерюины гююрболы).
Подставлял в уравнение у = О, находим абсциссы точек пересечения: х = 1 а. Следовательно, вершины имеют координаты (-а, О), (а,О). Длина отрезка, соединяющего вершины, равна 2а. Этот отрезок называетсл дейсюеиюельной осью гииерболы, а число а — дейсювиюольной нолуосью ииюрболм. Подставляя х=О, получаем у=х1.Ь.
Длина отрезка оси ординат, соединюощего точки (О,-Ь), (О,Ь), равна 2Ь. Этот отрезок называется мнимой осью гинерболы, а число Ь вЂ” мнимой полу осью гинерболм. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось. Замечании 3.10. 1. Прямые х = ха, у = хь ограничивают на координатной плоскости основной ирлмоугольник, вне которого нахошпся гипербола (рис.3.42,а). Ь 2. Прямые у = х — х, содержащие диагонали основного прямоугольа ника, называются асигиииоюами гииерболм (рис.3.42,а). Для равносторонней гинерболы, описываемой уравнением х у — — — =1 (т.е.
при а = Ь), основной прямоуголышк является квадратом, а2 а2 диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Оху (рис.3.42,б). В этой г а системе координат уравнение гиперболы имеет вид у = —, (гипербола 2 х совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратнопропорциональную зависимость).
а2 2 х х е 4 Рес.242 В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол ф = — ф (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами с Ч2. ' ч2 чз 1~ х= — х+ — у, 2 2 ' ео 2 х = — (х + у ), ,6 °,6 ° 6./~ \ у=- — х+ — у, 2 2 у=— 2 2 2 Подставляя зги выражения в уравнение — — — =1 равносторонней гнпер- 2 2 бовы и приводя подобные члены, получаем -'( х+у')' -'(у'-х')~ ..., а 2 — — —.2 — — =1 Фз 2 у=а ФФ у= — т. 2 2 2.х 3.
Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симмеырии гиперболы (называются глаеиыми осими гииербелы), а ее центр — цеиюром симиеигрии. Действительно, если точка М(х, у) принадлежит гиперболе у' — — =1, то и точки М (х,-у) и М (-х,у), симметричные точке М а' относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе. Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью. 4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах г = 1 — е сезар (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл факельного ларамеыра— зто половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикуларно фокальной оси (г = р при ф =и ).
5. Эксцентриситет е характеризует форму гиперболы. Чем больше е, тем шире ветви гиперболы, а чем ближе е к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а). Действительно, величина у угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: 18 — =-. Учитывая, что е = — и с ч а + Ь, получаем у Ь с 3 з з 2 а а ~з з= — = — =1+~~-~ ~=1+1 з-. оз,з = ~а! = Чем больше е, тем больше угол у . Для равносторонней гиперболы ( а = Ь ) имеем е=и'2 и у=из.
Для е >ч2 угол у тупой, а для 1<е<ч2 угол у острый (рис.3.43,л). (;)' Ь г)' — — + — =1 л~ У а* Ь~ 2 ~2 г У ь* -"<у 2 3 б г сзлз 6. Две пшерболы, определяемые в одной и той же системе координат х у х у уравнениями — — — =1 и — — + — =1, называются соарлженными друг 3 Ьз 3 Ьз с другом. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же аснмптоты хз уз (рис.3.43,б). Уравнение соирлисеиной еииербсмы — — + — = 1 приводится Ьз к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38). 7. Уравнение — е =1 определяет гиперболу с центром в а Ь точке О (хе, уе), оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,е).
Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного пере(.-ъ1 Ь-у.)". носа (3.3б). Уравнение — — + о =1 определяет сопряженную 2 12 гиперболу с центром в точке О (хе,уе). 8. Параметрическое ураалелле глллрбалы в канонической системе координат имеет внд < х=а с)зг, гед, у=Ь зйг, е +е е' — е где сйг = — — гилербслический косинус, а айг = — — гилерболиче- 2 2 ский синус. Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гилербаллческаиу люзсдеслму с)г~| -за~| =1.
хз уз Пример 3.21. Изобразить гиперболу — — — =1 в канонической сис- 2з Зз теме координат Оху . Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокавьный параметр, уравнения асимптот и директрис. П Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: а = 2 — действительная у полуось, Ь = 3 — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2а = 4, 2Ь = 6 с центром в начале координат (рис.ЗА4). Проводим аснмптоты, продлевая диагонали основного прямо- х угольника.
Строям гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя х=4 в уравнение гас.зле гиперболы, получаем ~ -~ =1 ее у =27 ее 22 зз у=кЗ и'3. Следовательно, точки с координатами (4,3 зГЗ), (4,-3 и'3) принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние 2.с=2.~~ а +Ьз =2 з/2~+3~ =2з/13; эксцевтриситет е=-', = зы; фокаль- г г пый параметр р =л- =л-= 4,5. Составляем уравиеиия асимптот у =+- х, а 2 в г т.е. у=к з.х, иуравиеииядиректрис: х=+ в сь х=х 4 .
° з с ,г~. З.ЗА. Парабола ггИРЕКТОРИАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ПАРАБОЛЫ Параболой иазывается геометрическое место точек плоскости, равноудаяеипых от заданной точки р и заданной прямой а', ие проходащей через задаииую точку. Это геометрическое определение выражает диреюиориальнве свойства нарайелм. Точка Риазывается фог(всем нарабвлы, прямая И вЂ” диреюирнсвй нарайелы, середина О перпендикуляра, опущенного из фокуса иа директрису, — вершиной иарайааы, расстояние р от фокуса до директрисы — иараметрвм параболы, а расстояние з от вершины параболы до ее фокуса— фокусным расстоянием (рис.3.45а). Прямая, перпеидикуляриая директрисе и проходящая через фокус, называется осью параболы (фекальной осью нарайолы).
Отрезок РМ, соедиияющий произвольную точку М параболы с ее фокусом, называется фекальным радиусом точки М . Отрезок, соедиюпощий две точки параболы, называется хордой нарабалы. Дяя произвольной точки параболы отношение расстояиия до фокуса к расстояиию до директрисы равно единице. Сравнивал директориальпые свойства эллипса (см. разд.3.3.2), гиперболы (см. разд.3.3.3) и параболы, заключаем, что эксдентриситет нвуайовы по определению равен единице ( =1). Геометрическое онределение наробили, выражающее ее директориаеьное свойство, эквивалентно ее аналитическому онределению — линии, задаваемой каноническим уравнением корабелы: у =2.р х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
