Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 45
Текст из файла (страница 45)
и б в Рис.3.53 6. Эллипс, гипербола и парабола имеют, кроме приведенных вьппе, многочисленные геометрические свойства и физические приложения. Например, рис.3.50 может служить иллюстрацией траекторий движения космических объектов, находящихся в окрестности центра Г притяжения. 3З.5. Классификации линий второго порндва по инвариавтам ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ Р ассмотрим преобразование квадратичной функции р(х)=а„х, +2.а,г х, хг+аы хг+2 а, х,+2 аг хг+а (3.52) при линейной невырожденной замене переменных: Р хт=зъ+5 ' +$ 'х х з+5.х' (3.53) хг =зг+зг1 'хт+зж 'хг ° где з =Я, 5 =< " 'г1 — невырожденная матрица(дег5 в О). ~зг/ ~зг~ згг,) 289 19 — 5150 При любой невырожденной замене переменных квадратичной функпди р(х) получаем снова квадратичную функцию р (х ) (см. п.1 замечаний 3.1): р(х)=а„(х) +2 а,з х х +а, (х ) +2.а, х1+2 аз хз+ао.
(3.54) Найдем формулы, связывающие коэффициенты функций (3.52) и (3.54). Представим квадратичные функции в матричном виде (см. п.б замеча- ний 3.1): р(х)=(х) Р.х, р(х)=хг Р х, а12 а, а — матрицы квадратичных функ- Ф / аз ао а11 а12 а1 а12 а22 аз аз ао где Р= ап :) Ч=( — расширенные (дополненные единицей) столбцы переменных. Замену переменных (3.53) запишем для расширенных столб- цов: :) Х2 821 ЯШ 82 и 12 1 т.е. х=Т х, где Т= 22 з, 22 21 0 0 1 р(х)=(Т х~ Р (Т х))=(х )' Т Р Т (х). Сравнивая с р (х)=(х) Р (х), закшочаем, что Р=Т" РТ.
(3.55) Получим аналогичные формулы для квадратичных функций (3.52), (3.54), представленных в виде суммы квадратичных и линейных форм (см. п.б замечаний 3.1): р(х)=хз А х+2 а х+ао, р(х)=(х) А х+2 (а) .х +по, невырожденная матрица, поскольку бегТ=бе25 110 (в этом можно убедиться, раскладывая определитель матрицы Т по третьей строке). Подстаюпи х=Т х в р(х), получаем, учитывая свойство транспонировшпш произведения матриц (А В) = В" А" „ Ф ы а=, а =~,)- столбцы коэффициентов линейных форм функций (3.52) и (3.54).
Подставляя х = з+ Я. х в р(х), получаем р(х)=(з+Я х) А.(з+Я х)+2 а (з+Я х)+а . Учитывая свойства (А В) =В .А и (А+В) =А +В матричных операций, симметричность матрицы А (т.е. А = А ), а также равенство Р (х) Я .Аз=(х, х~)Я А ' =(з, зз)А Я, =з А Ях, (.зз) выражающее свойство транспонирования скалярного выраженим (число, рассматриваемое как матрица размеров 1х1, при транспонировании не изменяетсл), упростим квадратичную функцию р(х)=(х) Я .А Я х+2 (а +з А).Я х+э А з+2 а .э+а .
Сравниваяс р(х)=(х) .А х+2.(а) .х+а,заключаем,что А =Я~ А Я; а =Я~ (а+А з); и =зт А э+2 а з+а . (3.56) Итак, формулы (3.55) и (3.56) выражают преобразования квадратичных функций при линейной невырожденной замене переменных (3.53). ОРтОГОнАльнык инВАРиАнты кВАдРАтичнОЙ ФР!зкцНН Выражения, составленные из коэффициентов квадратичной функции (3.52), которые не измеипотся при линейной невырожденной замене переменных (3.53), называются ннеариаюнани овзносаивеньно аффюиюй замены переменных или, короче, аффииизьнн ииеарианшаии квадратичной функции. Например, знак определителя бе! А матрицы ква!юатичной формы фуакцни (3.52) не изменяется при замене (3.53), так как, согласно (3.56), бе!А =бе~Бт А.Б))=се!Бт.дегА бе!Я =(остам)з.бегА, поскольку определитель произведения матриц равен произведению их определителей и де!Я~ = де!5 (см. раздП.6).
Аналогично, учитывая (3.55), получаем, что де!Р =(де!Т)з беЗР, т.е. знаки определителей бегр и бе!Р совпадают при любой линейной невырождеиной замене переменных. Выражения, составленные из коэффициентов ква!йзатичной функции (3.52), которые не нзмевявпся при линейной невырожденной замене переменных (3.53) с ортогональной матрицей Я (Я~ =Я '), называются ииеаи Ю1 рианн1ами ониюсительно ори1огональной замены переменных или, короче, ортогональнммн ннвариантами квадратичной функции.
Эти алгебраические выражения являются важнейшими геометрическими характеристиками линий второго порядка и могут быть использованы как для их классификации, так и для построении, поскольку преобразование прямоугольной системы координат соответствует ортогональной замене переменных. Далее, если не оговорено противное, будем рассматривать преобразования квадратичных функций при ортогональных заменах переменных. Обозначим через 11 а$2 в 11 12 т=ап+а, Ь=~ ~, Ь= а, а а выражения, зависящие от коэффициентов функции р(х,у)=ап х +2 а12 х у+азз.у +2 а, х+2 а у+а, (3.57) а через 'г, Ь, д — соответствующие выражения для функции р(х,у)иац (х) +2 а, х.у+1~ .(у) +2 а,.х+2.а у+а, которая получается из р(х,у) при ортогональной замене переменных (см.
п.9 замечаний 3. 1): (3.58) Теорема 3.4 (об ортегональиых иивариантах). 17ри любой ортогональной замене ограненных (3.58) квадратичной функции (3.57) выразсвния т, Ь, д не измвняютсл: т=т, Ь = Ь, д = д . Выражения т, Ь, д называются ортвгональными инверианниини квадратичной функции. Действительно, из равенства (3.55) Р =Т Р Т, учитывая, что определитель произведения равен произведению определителей, а также равенство дегТ =дегТ, получаем де1Р =дегТ .дегР дегТ=(деГТ ) деГР.
Для ортогональной матрицы Я: Я = Я 1 ю Я .Я = Е дегЯ~.де18=дегЕ=1 сэ (дегЯ) =1. Поскольку деГТ=дегЯ (как показановыше), получаем (дегТ)2 =1. Следовательно, деяР =дсгр,те. д =д. Рассмотрим теперь квадратичную функцию 292 р(х,у)-Л х -Л у двух переменных х, у, зависящую от параметра Л. Матрица квадратичной формы этой функции после замены переменных (3.58) преобразуется по закону (3.56): Я~ (А-Л.Е) Я=Я~.А Я вЂ” Л Я~.Я=А -Л Е. Поскольку (оегб) =1, то без(А — Л.Е)=дезб~ де1(А — Л Е) деЗЯ= =(детЯ) без(А — Л.Е)=дат(А-Л Е). Следовательно, при любой ортогональной замене переменных (3.58) Раскрывая определители, с учетом введенных обозначений получаем тождественное равенство двух многочленов Лз-т Л+б =Лз — т Л+б.
Приравнивая коэффициенты, имеем: т=т и б =б. Таким образом, при любой ортогональной замене переменных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражения т, б, Ь не изменяются: т=т, б=б, Ь=Ь . Теорема доказана. Замечании 3.12. 1. При любой однородной (з = о ) ортогональной замене неременных (3.58) квадратичной функции (3.57) выражение ан а, а а не изменяется. "к = и . Выражение к называется ортогональиьин семиинвариантам (нелу. инвариантом) квадратичной функции, поскольку к не изменяется только при однородных ортогональных преобразованиях [14), т.е.
при наложении дополнительного условия з = о по сравнению с условиями теоремы 3.4. 2. Если у квадратичной функции (3.52) 8=0 и А=О, то нри любой ортогональной замене ее неременных (3.53) выражение к не изменяется: к = к, другими словами, выражение к является ортогональным инвариантаи для квадратичной функции яри б = А = О .
Доказательство утверждений п.1,2 приведено в [14]. 3. Карактеристнческим многочленем квадратной матрицы А назы- вается многочлен бег(А — Л. Е). Уравнение йеь(А-Л. Е) = 0 называется «аршонернстическим для матрицы А . 4. Из доказательства теоремы 3.4 следует, что характеристичеаай многочяен матрицы квадратичной формы не изменяетсл нри ортогональ- ной замене яеряиенных, т.е. является ортогональным инвариантом. 5. Корни характеристического многочяена матрицы квадратичной формы являются ортогональныни инвариантаии.
Это следует из ортогональной ннвариантности характеристического много члена 6. Из доказательства теоремы З.З следует, что для любой квадратичной функции (3.52) существует такая ортогональная замена переменных (3.53): х = Я х, где Яг = Я ', при которой у функции (3.54) будет отсутствовать произведение переменных: Р(хз,хз)=Л~ (х1) +Лз (з~)з+2 а,.х, +2.аз хз+аь, т.е. матрица А квадратичной формы функции (3.54) будет диагональной: А =Я ~ А Я=Л= ( О Лз~ Записывая характеристическиймногочлензтой матрицы„получаем 1Л,-Л 0 бе~(Л-Л Е)=~ ' =(Л, -Л) (Лг-Л), з т.е. числа Л,, », явтпотся его корнями. Из инварнантности харахтеристи- ческихмногочкенов без(А-Л Е)=без(Л-Л Е) следует, что »,'-т Л+Ь=(»„-».) (», — Л)=Л вЂ” (» +», ) )ь+),.Л . Отсюда получаем: т=Л,+Лз Ь=Л, Л,.
7. Корни Л, Л хараюнеристического уравнения Лз-т Л+Ь=О действительные, так как его днскримннант неотрицателен: т -4.Ь=(ан+азз) -4 (ац азз-ад)=(ап -аж~+4 а1з аО. 8. При линейной невырожденной замене переменных (соответственно, при преобразовании аффинных, не обязательно прямоугольных, систем координат) не изменяется знак выражений Ь и А. Действительно, из (3.55) и (3.56) следует, что А =(йеьТ)з А и Ь =(деь5) Ь. Таким образом, знаки выражений Ь и А являются аффинными инвариантами квадратичной функции. 294 9. При умножении квадратичной функции р(х, у) на отличное от нуля число )! получаем квадратичную функцию р(х, у) =)! р(х, у), для которой выражения инвариантов т, б, Ь, семиинварианта к, а также корни )!! Л характеристического уравнения пропорциональны соответствующим выражениям т, б, Ь, к, )!!, й для функции р(х,у): т=)! т, б=)ьз б, Ь=)ь' Л, к=)г~ к, Х,=п.)!т, Х =)г.Х,. Поскольку все коэффициенты функции р(х,у) умножаются на число )!, то определители второю ( б, к ) и третьего порядков ( Ь ) умножаются на )ь~ и )! соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
