Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Вычисляем значение квадратичной функции р(«,у)=-7 «+52.«у+32 у -180 «-360 у+720 в точке О(0,0): р(0,0)=720. Так как Ь р(0,0)=162000.325>0, то делаем вывод, что точка О(0,0) внеппви точка гиперболы (см. п.2. теоремы 3.5). в) Вычисляем инварианты (см. пример 3.26): г =169, Ь = О, Ь = -4826809 и находим по таблице 3.2, что заданное уравнение определяет параболу.
Вычисляем значение квадратичной функции р(«,у)=25 «~-120.«у+144 у -78.«+1066 у+845 в точке О(0,0): р(0,0) = 845. Так как т. р(0,0) =125 325 > О, то делаем вывод, что точка О(0,0) лежит вне параболы (см. п.1 теоремы 3.5). Полученные выводы подтверждаются рис.3.61, 3.62, 3.63. ° ЗЗ.7. Применение линий первого н второго порядков в задачах на экстремум функций Рассмотрим задачу тюкска мини«вума функции двух переменных 128Ь Пусть заданы: а) фулкцвл у(«)= 1(«,,«) двух переменных(«е Н ); 6) множество допустимых решений М (М ш Я~ ).
Требуется найти такую точку «' из множества допустимых решений, которой соответствует минимальное значение функции У(«) на этом множестве: У(«) = пап У(«). Аналогично формулируется задача поиска максимума. Задача поиска минимума и максимума называется задачей поиска эксюрамувга. Множество допустимых решений М задается условиями (ограничениями) на «, как правило, уравнениями или неравенствами. В этом случае поставленная задача называется задачей поиска уелваиаго эксшремума. Бслн множество допустимых решений совпадает со всей плоскостью 1М = йз ), т.е. ограничения отсутствуют, решается задача поиска безуагааиегв эксшремуна. Постановки задач поиска экстремума функции принято записывать в сокращенной форме, например: < у(х)-+ шах, у(х)-~пап, ( ) ~ у(х)~ех1г, сз Ф =с =с, АЛГОРИТМ ГРАФИЧЕСКОГО РЕП2ЕИИЯ ЗАДАЧИ ПОИСКА УСЛОЕИОГО экстгемуьгА 1.
Построить на координатной плоскости Я~ множество допустимых решеннй М. 2. Построить семейство линий уровня у'(х) = солзг . Последние две записи относятся к одной и той же задаче поиска безусловного экстремума, а первые две — к задаче поиска условного экстремума с ограничешгями' задаваемьван фуихгагяьш я1(х) ' я 2 (х) ' Напомним, что линией уровня функции у'(х)=Г'(хз,х ) называется геометрическое место точек плоскости, в которых фуикцюг принимает постоянное значение, т.е. у(х,,х )= сопз1 . Ниже рассматриваются задачи, в которых фувкция г(х) и функции, задающие ограничения, являются многочленами двух переменных первой или второй степени. В этом случае построение множества допустимых решений М и линий уровня функции у'(х) свощпся к построению алгебраических линий первого или второго порядков (см. разя.32, 3.3).
В основе графического метода решения задачи поиска условного экстре- с, <с, <с <с <с мума лежит следующее соображение. Если ливия уровня у'(х) = сопзг имеет с г'(х) множеством допустимых решений М у(х) хотя бы одну общую точку, то зто зна- г'(х) = с чение постоянной (совзг) является ди- М у'(х) лусшимым, тах как фунхция достигает А, его на множестве М. Если же линия У у(х)=с уровня у'(х) = сопаг не имеет общих то- 1 чек с множеспюм М, то зто значение О РваЗЛА постоянной (совы) является иедвлусшимым, поскольку функция не досппает его на множестве М.
В частности, функция у'(х), линии уровня которой изображены на рис.3.64, на множестве М принимает, например, значения с„с,с (они являются донустимыми) и не принимает значений с, и с (они являются недопустимыми). Замечании 317. 1. Возможны случаи, когда на множестве М функция У(х) не ограничена сверху (с =+ ) вли снизу (с, =- ), тогда точек условного макси- мума или минимума нет. 2. Для решения задачи поиска безусловного экстремума допустимые значения постоянной ( сопз1 ) в п.3 алгоритма определяются так: если ливня уровня у (х) = сопзг имеет котя бы одну точку (вещественную) на плоскости Я, то это значение поспмнной ( сонм ) является долусмнмым, в противном случае — иедолусш иным. 3. За исюпочевием простых задач, графическое решение требует проверки аналитическими методами теории оптимизации [281. Пример 3.28.
Графическим методом найти экстремумы х, ~ 1'(х = +хзз-ьехн, г а) у(х)= — '+ха -+екп; б) 4 ( я,(х) = х, + х — 1 = 0; с .(„)„,~ з У(х)=(х, — 3)э+ ха -ьех1г, 8,(х)=х -х -1=0; 8,(х)= — '+ха-1ьО; У(х)=х -ьекп, 8,(х)= —,-х ~-5, 8г(х)=х, -хз ~-1. 8з(х)=2 х~+5 хз ~11, 8,,(х)=-х~+2 хам-1; у '(х)=4 х,-хз-~ехп, я,(х)=х,-х +1=0.
С1 а) 1. Множество М допустимых решенвй строить не нужно, так как оно совпадает со всей плоскостью: М = В . 3. По линиям уровня определить все допустимые на множестве М значенияфункции: с.йу(х)ьс . 4. Для наименьшего значения с, = пнп г'(х) найти координаты обпщк лен точек линии уровня у'(х) = с, и множества допустимых решений М. В результате получим точки условного минимума функции. Для наибольшего значения с' = шах у'(х) аналогичным образом найти точки условного максимума функции.
Например. на рис.3.64: точка А. — точка условного минимума, а точки В,', В' — точки условного максимума. 2 2. Линия уровня -1-+22 =сопа1 при сопз1 >0 представляет собой эл- 4 липс (см. рис.3.65л), при сопз1 = 0 — пару мнимых прямых, пересекающихся в вещественной точке 0(0, 0), при сонм < 0 — мнимый эллипс. При увеличении поспжнной полуоси эллипса пропорционально увеличиваются. На г рис.3 6542 изображены эллипсы ~4+2 =1 (а = 2, Ь =1) и 4 +2 = 4 вли г г ~ ++=1 (а = 3, Ь = 2 ). Стрелками указаны направления наискорейшего возрастания функции (градиента). 3. Из п.2 следует, что допустимые значения фующии опредеапотся неравенством 0 > У(х) <+ 4.
В точке 0(0, 0) досппзется безусловный минимум функции, так как в этой точке функция принимает наименьшее значение по сравнению со значениями в других точках плоскости, а наибольшего значения функция не достигает. 6) Решаегся задача поиска условного экстремума с о2раничением типа раВенстВ. 1. Строим множество М допустимых решений — прямую х, +хз-1=0 (см. рис.3.65,6). 2.
Линии уровня хз+хз =совы представляют собой семейство концентрических окружностей (при соов1 > 0). При сопз1 > 2 окружность х, +хз =совз1 пересекает прямую х, +х2-1=0, при совзг=- — касается 2 2 1 этой прямой в точке АК,-'), при 0 < сонм <-' — не пересекает прямую.
гз' 2)* 2 3. Из п.2 следует, по допустимые значения функции определяются неравенством -' > У(х) <+ 4. Наименьшее значение на множестве М, равное 32., функцию достигает В точке А(2' 2). Наибольшего значения на множестВе М функция не достигает. в) Решается задача поиска условного экстремума с ограничением типа равенств. 1. Строим множество М допустимых решенвй-гиперболу х, -л =1 (см. Рис.3.65,в). 2. Линии уровня х, +л -сопвГ представлают собои семейство концентрических окружностей (при сопзг > 0).
При солят >1 окружность х, + х = сола пересекает гиперболу в четырех точках, при сола1 =1 — аа. а светел гиперболы в точках А(1, 0), В( — 1, 0), при 0 < сола1 <1 — не пересеаает гиперболу. (.т)сч 3. Из п.2 следует, что допустимые значения функции определяются неравенством 1>,г'(х) <+ 4. Наименьшее значение на множестве М, равное 1, функции достигает в точках А(1,0) и В(-1.0). Наибольшего значения на множестве М функция не достигает. г) Решаетсл задача поиска условного экстремума с ограничением типа неравенств. 1.
Строим множество М допустимых решений: множество, ограниченное эллипсом — +ха=1, вюпочал внутренние точки эллипса [см. 4 рис.3.65,г). 2. Линии уровня (х, — 3) +хзз =сопз1 представляют собой семейство концентрических окружностей [при сопзг >О) с центром в точке ф3,0). При 1<сопз1<25 окружность х +кз =сопз1 пересекает множество М, при солз1 =1 — касается эллипса в точке А(2, О), при сопз1 = 25 — касается эллипса в точке В(-2,0), при 0<сопз1<1 или сопз1>25 окружность не имеет общих точек с множеством М . 3.
Из п.2 следует, что допустимые значении функции определяются неравенством 1< у'(х)> 25. 4. Наименьшее значение на множестве М, равное 1, функция достигает в точке А(2,0). Наибольшее значение на множестве М, равное 25, фуакцил достигает в точке В( — 2, О) . д) Решаетсл задача поиска условного экстремума с ограниченилми типа неравенств. Данная задача относитсл к классу задач линейного программнрованиа [Щ [функцил у(х) и все функции, задающие ограниченна, линейные). 1.
Строим множество М допустимых решений: в данном случае выпуклый четырехугольник [см. рис.3.65,д и рис.3.35,г к примеру 3.18). 2. Линии уровня х = сопз1 предсшвлшот собой семейство параллельных прлмых. При 1< сопз1 < 3 прлмал х = сопз1 пересекает множество М, при сопз1 = 1 прлмал проходит через вершину А(3, 1) четыршгугольника, при сопз1 = 3 прямы проходит через вершину В(2,3) четырехугольника, при совы <1 иаи совз1 > 3 прамал не пересекает четырехугольник М. 3. Из п.2 следует, что допустимые значенил функции определяются неРавенством 1< У(х)ь 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
