Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Таким образом, фигура Р является цилиндрической, ее образующие параллельны оси Ох н пересекают плоскость Оху в точках множества М (рис.4.5,е). Уравнения Р(х,х)=0 или Р(у, х) = 0 также описывают цилиндрические фигуры, образующие которых параллельны осн ординат или абсцисс соответственно. в котором неизвестная р отсугствуст. Обозначим через М множество решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными ф и б, а также соответствующее множество точек на сфере р = 1. Тогда вместе с любой точкой М(1,фс, йс)и М уравнению (4.7) удовлетворяют также и все точки луча ОМ, исходящего нз начала О системы координат.
Таким образом, фигура Р является конической, ее вершина совпадает с началом координат, а образующие пересекают множество М (рис.4.5,б). еигтвы ввлщкнии Пусть в цилиндрической системе координат Ог фа фигура Р определяется уравнением вида (4.2): Р'(г,х)=0, (4.8) в котором неизвестная ф отсугствует.
Обозначим через М множеспю решений этого уравнения как уравнения с двумя неизвестными г и г, а также соответствующее множество точек на плоскости ф=О (т.е. на плоскости Охх, соответствующей прямоугольной системе координат). Тогда вместе с любой точкой М(ге,О, с ) а М уравнению (4.8) удовлетворяют также и все точки М(ге,ф,г ) окружности радиуса ге с гО центром в точке с = ге на оси аппликат Ох, ! плоскость, содержащая окружность, перпен- „. М(г,ф, ) лнкулярна этой оси (рис.4.6). Таким образом, фигуру тг можно представить как Фигуру вращения, полученную путем вращения мно- М ге,О,хе) жества М вокруг оси аппликат (оси вращения).
4.1.2. Параметрические уравнении геометрических мест точек Функциональная зависимость между координатами точек пространства, например в прямоугольной системе координат Охух, может быть задана в ларамеаерическей фе)ьие, в которой координаты выражаются в виде функций вспомогательной переменной, называемой ларамаераи: где г — параметр, принимающий действительные значения. В общем случае при задании множества не обязательно использовать один параметр, т.е.
вспомогательных переменных может быть несколько, например, двухпара метрическое множество точек описывается системой: (4.10) где г,, г — параметры, принимающие действительные значения. Каждую из систем (4.9), (4.10) называют лараме7вричеслнм уравнением геометриче- ского места точек. Пример 4.4.
Изобразить в координатном пространстве Охух (в прямоугольной системе координат) множества точек, координаты которых удовлетворяют следующим параметрическим уравнениям: х = созг, б) у=з1пг, г>0; в) х=О, а) у=г, у=4 2 =1 — 41 -7 г П а) Из первого уравнения следует, что все точки заданного множества принадлежат координатной плоскости Оух.
Из двух последних уравнений следует, что х =-у. Таким образом. заданное множество — зто прямая г = — у в плоскости Оуг (рис.4.7,а). б Рас.4Л б) Исключим из первых двух уравнений параметр г . Возведя обе части каждого уравнения в квадрат и сложив почленно результаты, получим уравнение окружности ха+ уз =1. Параметром г служит величина угла поворота радиус-вектора изображающей точки, измеряемого от положительного направления оси абсписс (см.
рис.3.4,а). При равномерном увеличении угла поворота г равномерно увеличивается аппликата изображающей точки, так как х=г. Следовательно, заданная система описывает винтовую линию (рис.4.7,б) при г > О. 344 в) Запишем заданное параметрическое уравнение в матричном виде =( +(1 — г,-г ). 4.1.3. Алгебраические уравнении поверхностей Напомним, что миогочяеивт стенали и одной иврвмвииой х назы- зается выражение вида р(х)=а„х" +а„, х" '+...+а,.х+а, гДе ае, а,,..., а„— Действительные числа (коз(1куииивнты миогочлвиа), а„о Π— старший коэб)б)ицивит, а — свободный член. Степень много- члена обозначается дек р(х) = и. Многочлеиаи тра«иврвмвииых х, х, х называется выражение вида ц С, а, К, Ю, г„[„н„ р(«з,хз,«з)=оз «,' «з «з'+аз «,' хз' «з +...+а «," «з" «з", где а,,а,...,а„— действительные числа (комрфицивиты многочлеиа), й,,...,к„; 1,,...,1„; т,,...,т„— целые неотрицательные числа.
Число бей р(х д,х ) = пмх(к, + 1, + т,; к +1 + т~;...; й„+ 1„+ т„) называется степенью многочлент Алгебраической иовврхноствю называется множество точек, которое в какой-либо аффинной системе координат Ох,х х может быть задано уравнением вида Р(«з .~ 'з)=о где р(х,,х,х ) -многочлентрехпеременных х,,х,х . Уравнение вида (4.11) называетсл алгебраическим уравнением с трв мя неизвестными. Ствлвиью уравнения (4.11) называется степень много- члена р(х,, х, х ) . Одна н та же поверхность может быть задана уравнением вида (4.11) с многочленами разных степеней. Порядком алгебраической поверхности называется наименьшая из степеней зтих многочленов.
Всякую неалгебранческую поверхность называют трансцендентной. В примере 4.1,а,б,в,г — поверхности алгебраические: а — первого порядка, б,в,г- второго порядка. Примером трансцендентной поверхности служит 345 (4.11) / Ъ а затем в векторной форме г=ю,.)+г 7+(1 — г,-г ).к, где г=ОМ вЂ” радиус-вектор произвольной точки М(х, у, г) . Полученное уравнение является аффинным уравнением плоскости (см.
разд.1.6.1), проходящей через концы базисных векторов з, 7', к (рис.4.7,в). ° цилиндрическая поверхность у = язв х, образующие которой, параллельнме оси 02, пересекают координатную плоскость Оху в точках синусоидьг у = ып х. Эту линию нельзя задать уравнением вида (4.11). Теорема 4.1 (об инвариаитности порядка алгебраической поверх. ности). Если в некоторой аффинной системе координат в пространстве ловерхность задана уравнением (4.11), то и в любой другой аффинной сис.
теме координат эзла поверхность задается уравнением того же вида (4.11) и той же степени. Другими словами, порядок алгебраической поверхности является пнверпаптом (остается неизменным в любой аффинной системе координат). Теорема доказывается аналогично теореме 3.1. В аналитической геометрии в пространстве изучаются: — алгебраические поверхности первого порядка, описываемые алгебраическим уравнением первой степени с тремя неизвестными а1 хз+~2' г+ з'хз+а„=О; — алгебраические поверхности влзорого порядка, описываемые алгебраическим уравнением второй степени с тремя неизвестными г г аз'4~аг'хг+аз'хз+ в'хз'хг+аз'хз'хз+~в'"г'хз+ + аз Х1+ав.х2+аз.хз+а10 =О.
Замечании 41. 1. Теорема 4.1 фактически выражает свойство многочленов: лри линейной невырожденной замене переменных Р 31+вы 'Хз+З12'Хг+Ззз'Хз ' хг зг+зг х,+згг'х +зы'"з или " 3+8'х 3 3 31 Х1 32 2 33 ХЗ ' г 11 12 !3 гДе з= 3, Я= 3, з з, бега'оО,стеленьмногочлена Р(хз,хг,хз) зз 31 32 ЗЗ не изменяется. 2.
Алгебраическое уравнение (4.11) может не иметь действительных решений. Например, в пространстве Ох,х х нет точек, координаты которых удовлетворяют уравнению хг+х +хг+1=0. Однако в области комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры (3,8,101, любое алгебраическое уравнение имеет решения. Поэтому какдое алгебраическое уравнение (411) вида р(21.2~,23)=0, где г =х,+1 узпС, 2 =х +1.у пС, 23 =хз+1 у н С, задает некоторую алгебраическую поверхность в трехмерном комплексном пространстве С (см.
п.2 замечаний 2.9). Если все 346 ап азг азз Р(«) Р(«1.«2'«з) («1 хг «з 1) азз агз азз аз аг аз =х Р.х, а11 с1$2 а13 азг 22 23 2 азз агз азз аз аз аз ао — мтнрина квадратичной функции где Р= -раетирвиный (дополненный единицей) столбец неремвннмх б) выделяя квадратичную и линейную части: а11 азг а13 а, а а азз агз азз р(х)=р(«1,«2,«з)=(«1 «г «з). точки зтой поверхности вещественные (действительные), т.е. г,=х,, 2 = 2, г = х, а у, = у = у = О, то поверхность называют ввн(вставаний (двйезнвтнельнон).
В противном случае поверхность называют миихюй. 3. Алгебраическими неравенствами с зорана неизвестными называются неравенства вида Р(«1,«г,хз)~0, Р(«1,«2,«з)50, Р(х„хг,«з)>0, Р(Ц,«2,«з)<0, где Р(х,,х,х ) — многочлен трех переменных х,, х, х .
Стеивнью аеевб. Раневского неравенства называется степень многочлена Р(х,, х, х ). 4. Многочлены первой степени и алгебраические уравнения (неравенства) первой степени называются линейными. 5. Многочлен второй степени Р(хрхг хз)=ап х, +ахз хг+азз.хз+2 а12 х1 хг+2.аз х,.хз+ 2 2 2 +2 а х х +2 а,.х,+2 а х +2 а х +а называется также квадратичной функцией изрек нврвмвнных; многочлен аи'«з +агг'хг+азз'хз+2 азг х, хг+2 азз х,.хз+2 агз хг хз г г г называется квадранзнчной форвзой (квадршинчной чаензью функции), многочлен а, .х, + а .
х +а .х — линейной формой (линейной частью функции), коэффициент а — свободным еленам. По сравнению со стандартной записью многочлена некоторые коэффициенты квадратичной функции удвоены для удобства выполнения алгебраических преобразований. б. Квадркпнную функцию (см. п.5) можно записать: а) в матричном виде + 2'Ма, аг аз)' +а =х А х+2 а х+а, где А= ап ага ад а~г агг агз а~э аю азз — мангрова квадратичной формы, а = свнт6ек коэффициентов линейной фарты, х = — стелбеи иеренен- 4.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (ПЛОСКОСТИ) 4.2.1.
Уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ Ненулевой вектор Е, перпендикулярный заданной плоскости, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой плоскости. Пусть в координатном пространстве Олух (в прямоугольной системе координат) заданы: а) д1е(,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
