Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Эти значения параметров Л,,Л считаются недопустимыми. Ртя.г! Уравнение (4.27) называется уравпеиивм пучка плоскостей, содвр жащвго пяескости А,.х+В,.у+С, г+0,=0 и А .х+В у+С .г+1л =О. 17ри любых допустимых зпачепиях параметров Л, Л уравпекие (4.27) задает плоскость, принадлежащую пучку, и наоборот, для любой плоскости пучка пайдутся такие значения паралмтров Л, Л, что уравнение (4.27) будет задавать эту плоскость. Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямьпс (см.
рази.3.2.5). Пример 4.11. Составить уравнение плоскости, проходюцей через прямую пересечения плоскостей 2 х+2.у — г+З=О, б.х-З.у+2 г+1=0 н через точку М'(Л 3,1). С) Искомая плоскость входит в пучок плоскостей, задаваемый уравнением (4.27) Л, (2 х+2.у — г+3)+Лг (6 х — 3 у+2 г+1)=0. 367 Подставляя координаты точки М'(2, 3,1), получаем: Л, (2 2+2.3-1+3)+Л (6 2-3 3+21+1)=0 ее 12 Л,+6 Л3=0.
Возьмем, например, Л = — 1, Л = 2 и подставим в уравнение пучка: — 1.(2 х+2 у — «+3)+2.(6 х-3 у+2.«+1)=0 ее 10 х — 8.у+5 «-1=0. Искомое уравнение получено. ° Свбсизввннвй связкой плвсквсзнвй называется совокупность вож плоскостей, проходящая через фиксированную точку (центр свивки). Несобственной связкой нивсквсЗнвй называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной прямой (целтром несобственной связки плоскостей считается бесконечно удаленная точка). О в Рас.4.22 Уравнение собственной связки плоскостей с центром Ме(хе,уе,хе) имеет вид А.(х — хе)+В'(у уе)+С'(х х ) 0 где А, В, С вЂ” произвольные параметры, одновременно не равные нулю. Уравнение связки плоскостей (собственной (рис.4.22,а) или несобс3'- венной (рис.4.22,6)) можно получить в виде линейной комбинации уравнений трех плоскостей: ЛЗ ° (Аз х+ВЗ'У+С ° х+Р~)+ЛЗ ° (Аз х+В 'У+Сз х+РЗ)+ +3(АЗ«+ зу+ 3 + 3)- ° (4.28) где Л,, Л, Л вЂ” квз41йзнцнвнзны линейной комбинации.
Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случал, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Эти значения параметров Л,, Л, Л считаются недопустимыми. Уравнение (4.28) называется уравнвннви связки нлвсквствй, севдржащвй нзрн нивсквсиЗн А, х+В, у+С, х+Р,=О, А «+В у+С х+ 2 'АЗ 3 у 3 3 При любых допустимых значениях параметров ЛыЛз, Лэ уравнение (4.28) задает плоскость, принадлежащую связке, и наоборот, для любой плоскости связки найдутся такие значения параметров ЛыЛэ,Лэ, что уравнение (428) будет задаваеь эту плоскость.
Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых (см. разд.3.2.5). 42.5. Типовые задачи с плоскостями сосгаидиннн я лициний плоскосткй Разнообразие видов уравнений плоскостей порождается многообразием геометрических способов их задания. По любому набору геометРических данных, однозначно определяющих плоскость, можно составить уравнение этой плоскости, причем геометрические данные будут отражены в коэффициентах уравнения. И наоборот, коэффициенты любого уравнения плоскости имеют геометрический смысл, соответствующий способу задания плоскости.
Для удобства решения типовых задач, связанных с плоскостами, все основные типы уравнений плоскостей и соответствующие геометрические способы задания этих плоскостей отражены в таблице 4.1. Примеры составления плоскостей по геометрическим данным, указанным в таблице 4.1, разбирались в разд.4.2. 1-42.3. Перечислим формулы для вычисления длин отрезков (расстояний) и величин углов по уравнениам образующих их плоскостей. 1.Расстояние а' от точки М'(х',у' г ) до плоскости А х+В у+С г+Р=О вычислявтсяпоформуле: ~А х'+В.у'+С г'+П~ »1= Аз» Вз+Сз 2.
Расстояние между параллельными ллоскоспеми А, х+ В у+ +С~ ° г+0,=0 и Аэ х+В у+С г+П =О находитсякакрасстоянив»(, от точки Мэ(х~,уэ,гз), координаты которой удовлетворяют уравнению Аэ х+Вз.у+Сз г+гэз=О, до плоскости А,.х+В,.у+С,.г+П, =О по Формуле: А 'хз+В1 'уз+ С1'гэ+П1 »1 = ,Я+ в'+ с' и — и 50 Геометрический смысл нциеатов Уравнение КоэФфипиевты 4, в, с коордннатм норма!в П-л У+в.г+с ь 3 СЯОООДНЬгй ЧЛСН А «+В у+ С «+3)=О. А +В +С хО 2 2 2 гг=-д -в у -с, о о о Коэффициенты а,, Ь,. с,, а, Ь .
с -координаты < «-«о+С3 г!+а2 г2 У=Ус+с!'г!+Ьг'гг 2 го+С! г!+Сг гг, напраалягавпгх всвттгргв р а.г+Ь г+с,.а. р =аг'г+Ьг')+ага Параметриче- ское уравнение гак. г ад, (е Ь, сг) «, у, « — координаты м,(,.у„.,), рнадлпавщей плоскости ««о Ууо «го а, Ь, с, О с Ь См. параметрическое уравнение Казффицнсвты «о ' уо ' го ' У, ° 2 ° «, Уг ° г, Уравнение проходвцай через три «-го У-Уо г-го ~ у,-у г,-г =О «2 дг Уг Уо 22 го каардгггвты тачек м,(,у,, ), ы,(;.У,.*,). Плоскость отсекает иа каарднпВтных Осях Отра333н «,33 и« (рнс.4.! 8) КагффнцвснтЫ .г,, у,, 2, Опревепист нВ каарвнво ИМХ ОСЯХ ТОЧКИ, ЧЕРЕЗ которые проходпт «У 2 + + ! у Уравнение В Отрезках 2;ХО, у ХО, 2 ХО 370 Уравнение ПРОХОДЯВЕЙ чс)мз точку и ВОИБВВварнай двум невялиНЫРггвгы вевторам Т а б л и ц а 4.1. Основные тины уравнений плоскостей Плоакость праходвт через точку м,(,,у,,) пер пенднкуларно векпгру а =4 у+В г+С Г (риа.4.8,а) Плоскость проходит ЧСРСЗ ТОЧХУ Ы («о Ум«о) компышрна неколлииеарвым векторам р =а г+Ь.)ос Ь, 1 1 3 1 2 (рис.4.15) Прюеал проходит ЧЕРЕЗ Тачки ы,(.,у..).
М («,У,г ), ы.(; у, *,) (рвс4.17) 3. а) Угол <р между двумя ллоскостями А, х+В, у+С,.г+Р, =0 и нз: Аз х+Вз у+С, г+Рз=О находится ло формуле: стям н1 и н соответственно. б) По формуле находится величина ф того двугранного угмь образованною ляоскостями н, и и, в котором лежат точки, лринадяежащие разноименным лояулространстваи, олрвяяемым данными ляоскослиьни. При решении задач свойства 1-3 используются наряду с метрическими приложениями векторной алгебры (см. разд.1.6.2). Пример 4.12.
В координатном пространстве Охуг заданы вершины А(1,3,-1), В(2 1,-2), С(4, 2,-6) треугольной пирамиды ОАВС. Требуется: а) составить общее уравнение плоскости, содержащей грань АВС; 6) найти расстояние Н от вершины С до шюскости грани ОАВ; в) найти величину ф угла между плоскостями граней АВС и ОАВ; г) найти величину у двугранного угла, образованного гранами АВС и ОАВ пирамиды.
П а) По формуле (4.21) составим уравнение плоскости н„, прохо- три точки А,В,С: х-1 у-3 2-1 1-3 х-1 у -3 г+1 1 -2 -1 =0 4-1 2 — 3 3 -1 -5 разлагая определитель по первой строке, получаем 9 (х-1)+2 (у-3)+5.(я+1)=0 се 9.х+2 у+5 г-10=0. Искомое уравнение составлено. б) Для нахождения расстояния д составим уравнение плоскости, проходящей чере1 точки О, А,В (см. п."а"): и 371 где л1 =А~ 1+В, 1+С1 А' и лз =Аз ~+Вз з'+Сз й — нормали к ляоско- х-0 у — 0 2-0 1-О З-О -1-О х з =0 ее х+2=0. 2 — 0 1-0 -2-0 21-2 Расстояние находим по формуле п.1 (см. метрические приложения) дла М'иС: = — = Гг. ля= в) Острый угол ф между плоскостями 9 х+2 у+5 2-10=0 и х+2=0 находим по формуле п.з,"а": 14 7 соз<р- 4Ю 755 СЛЕдсоатЕЛЬНО, <р = атССОЗ-н7 Е55 г) Двугранный угол И, образованный гранями АВС и ОАВ пирамиды либо равен р( .
острому углу ф между плоскостями граней, либо дополняет его до и: 7р = и- гр. Вычио. ляя угол ~р по формуле п.з,"б", получаем тот же результат, что и в п."в": <р=агссоз-75, В 455 Рас.е 25 т.е. острому углу принадлежат точки, принадлежащие разноименным полупространсгвам. Выясним, в каких полупространствах (одноименных или разноименных) относительно плоскостей граней АВС и ОАВ лежит пирамида.
Для этого достаточно проверить одну точку пирамиды, не принадлежащуго граням АВС и ОАВ. Возьмем точку Ж вЂ” середину ребра ОС: Ж(2, 1,-3) (рис.4.23). Вычислим значения линейных четырехчленов в этой точке: 9 2+2 1+5 (-З)-10= — 5<0 и 1 2+О 1+1+3)+0=-1<0. Следовательно, точка 77 принадлежит одноименным полупространствам. Поэтому двугранный угол при ребре АВ не острый, а тупой, т.е, 7р=п-ф=и — агссоз~ . ° 7 755 ' СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ Системой т линейных алгейраических ураенений с игреня неиз.
еесгнными называется система уравнений вида 372 ,+ „,+ „,=ь, ° а,.х, +а хз+азз.х =Ь, (4.29) а„, х,+а„з ха+а„з хз =Ь„. (4.30) аи а73 а 3 а где А= - матрица системы. Ь = а, х — столбец неизвестных хз нмх членов Рангам системы уравнений (4.29) называется ранг матрицы А системы: г = гйА, т.е. максимальное число линейно независимых строк матрицы А (максимальное число линейно независимых уравнений системы). Рассматривается случай, когда все уравнения системы первой степени, т.е. козффициенты при неизвестных каждого уравнения не равны нулю одновременно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
