Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Позтому матрица А системы ненулевая, более того, все ее строки ненулевые. Поскольку матрица системы (4.29) ненулевая и содержит три сюлбца, то ее ранг г = гй А ~ 3. Ранг может быть равен либо единице ( г = 1, если все строки матрицы А пропорциональны), либо двум ( г = 2, если имеются две линейно независимые строки), либо трем ( г = 3, если имеются три линейно независимые строки). Выясним геометрический смысл и свойства решений системы уравневвй (4,29), Пусть в пространстве задана аффинная система координат Ох,х х . 1(ак показано в равд.3.2.1, множеспю точек Х(х,,х~,х ), координаты которых удовлетворяют линейному уравнению с тремя неизвестными 373 Числа ак, 1=1,...,т, 1=1,2,3 называются коэффнцивнншми системы; Ь,, Ьз,..., Ь вЂ” свободными членами; х~, хз, х — неизвестными.
Решением системы называется такая упорядоченная тройка чисел (а,,аз,а ), что после замены неизвестных х,,хз,х соответственно числами а,, аз, а, каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство. На системы с тремя неизвестными переносятся все термины, применяемые к системам с двумя неизвестными (см. разд.3.2.б). Мтнричная занись неоднородной системы уравнений (4.29) имеет вид ап хт+а;з ха+ам.хз-Ь.,нли а я~+а.з ха+аз.хз-Ь.=О,представляет собой плоскость. Поэтому множество решений системы уравнений явла.
ется пересечениемплоскостей ап х,+ам х +а, х -Ь, =О, 1=1,...,т. Рассмотрим примеры пересечения плоскостей. Если ранг системы (4.29) равен 1, то коэффициенты при неизвестнык всех уравнений пропорпиональны. В этом случае любые две плоскости па. раллельны (система уравнений несовместна (рис.4.24л)) нли совпадают (в этом случае вся система (4.29) равносильна одному, например, первому ее уравнению (рис.4.24,б)).
Если ранг системы равен 2, то в системе имеются два линейно независимык уравнения. Плоскости, соответствующие этим уравнениям, пересекаются, например, по прямой ! (рис. 424,в,г). Поэтому множеством решений системы (4.29) является либо эта прямая (система совместна, все плоскости проходят через прямую 1, т.е.
все плоскости принадлежат собственному пучку плоскостей (рис. 4.24,в)), либо пустое множество (система несовместна (рис.4.24ж)). Если раш системы равен 3, то в системе имеются три линейно независимых уравнения. Плоскости, соответствующие этим уравнениям, пересекаются в одной точке, например, в точке Хе (рис. 4.24,д,е).
Поэтому множеством решений системы (4.29) является либо одна точка Хе (система совместна, все плоскости проходят через точку Хе, т.е. все плоскости принадлежат собственной связке плоскостей (рис. 4.24,д)), либо пустое множество (система несовместна (рис. 4.24,е)). 1 2 374 4З. УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ 4З.1. Уравнение примой как линии пересечении двух илескостеи с А х+В ° у+С ° х+Р, =О, Аз х+Вз у+Сз.х+Рз=О. (4.31) Система (4.31) называется общилк уравнением ирямой в иростраисикве. Общее трекпщще пркиогг ( Ф"+'м"с~к+ого ч( ' ' = 3 л, в с1 л но'.у~с кко =о л~ В1 с~ Норпокькпкоекоотк к: е л г+в г+с.к пель к пкОокоотп к: л,р+в, 1+с, Р Пример 4.13.
В координатном пространстве Охух (в прямоугольной системе координат) заданы вершины А(1,2,3), В(3,0,2), С(7,4,6) треугольвака (рис.4.26). Требуется составить уравнение прямой, содержащей высоту АН,р,„,, 375 Пусть в координатном пространстве Охух (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями и,: А~ к+В~ у+С, х+Р1 — -0; пз.
Аз.х+Вз у+Со х+Рз=О, в которых козффициевты при неизвестных непропорциональны, т.е. (А, В, С~ (Аз В, Сз) = 2. Это условие означает, по плоскости и и и пересег каются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали л, = А, ~+В, )к+С,.)г и и =А ~+Вз е+С .Г неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений П Прямая АН является линией пересечения двух плоскостей: плоско сти и, треутольника АВС и плоскости яз, проходящей через точку А пер пендикулярно вектору ВС (рис.4.26).
По формуле (4.21) составим уравнение плоскости и,, проходящей через три Риал.26 точки А,В,С: х-1 у-2 2-3 3-1 0-2 2-3 х-1 у-2 г-3 2 -2 -1 =0 ее х+3 у-4 2+5=0. 7-1 4 — 2 6-3 б 2 3 4З.2. Уравнение прямой, преходящей через задвинуто точку келляиеарно заданному вектору плрамктрнчкскок урлинкник пряьзой Капомннм, что направляющим векюерам прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный зтой прямой, т.е. принадлежаппвй или параллельный ей. Пусть в координатном пространстве Олуха заданы: а) точ мо( о,Уо,зо); б) ненулевой вектор рма.в'+Ь 7и+с К (рис.4.27). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору р и проходящей через точкУ мо(хо Уо зо). Направляющий веятор прямой р а.1+ь)+ар Рясд.27 376 По формуле (4.14) составим уравнение плоскости и, проходящей через точку А перпендикулярно вектору ВС=(7-3).в+(4-0) 7п+(6-2) й = =4 1+4 7л+4.х: 4 (х-1)+4.(у — 2)+4 (2-3)=0 ео х+у+2 — 6=0.
Следовательно, общее уравнение (4.31) прямой АН имеет вид х+З.у-4 х+5м0, х+у+х-бм0. (4.32) где р — направляющий вектор прямой, а го — радиус-вектор заданной точки Мо(хо*уо хо) пРннадлежлщей пРЯмой. повторное парамесрическсе ураввмще прямой: У Уам.й, мя . Параметрическое ураввевие прямой: Навраввпощий веатор прямой р=ай+Ь )+с Ь < с аа+а (, у у,+Ь!, мя.
с с+се Кативтемтм ураввевие прямой: а ао У-Уа с"аа а Ь с рис ха28 Координатная форма записи уравнения (4.32) называется иарамвтрнч вским уравнением прямой в нростран авве »=хо+а з ° у=у,+Ь з 2 = »о + С ' З, (4.33) СЕй, где а, Ь,с — координаты направляющто вектора р прямой. Периметр з в Уравнениях (4.32),(4.33) нмеет следующий геометрический смысл: величина т пРопоРциональна Расстоянию от заданной точки Мо(х, У, го) до точки М(х,у,х)мМ(х +а.з, уо+Ь Пг +с т). Физический смысл параметра г в параметрических уравнениях (4.32),(4.33) — зто время при равномерном и прямолинейном движении точки М(х,у,с) по прямой.
При у=0 точка Выберем на прямой произвольную точку М(х,у,х). Обозначим у ОМ го — ОМЬ радиус векторы точек М(»,у,») н Мо(хо уо го) (рис.4.28). Точка М принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы М М и р коллинеарны. Запишем условие коллинеарностн (см. рвзд.1.2.1): МоМ =г р, где т — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что МоМ = г — го, получим векторное нарамвтрнчвское уравнение прямой в нроснаранствв: У=ГО+У Р, ЗЕ й, М(х,у,х) совпадает с заданной точкой М . При возрастании г двюкение происходит в направлении нытравляющего вектора. клноничкскок углвнкник пгдмой х-х Выразим параметр с из каждого уравнения системы (4.33): г = — Л. И у уо х хо Г = —, з = —, а затем исключим этот параметр: Ь с — — — а +Ь +с еО. У Уо х хо (4.34) а Ь с Уравнение (4.34) называется каноническим уравнением прямей в ире. странсюеа В этом уравнении коэффициенты а,Ь,с не равны нулю одно.
временно, так как зто координаты направляющего вектора прямой. х х и Риси.29 Замечании 46. 1. Если один или два из трех знаменателей дробей в (4.34) равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например: уо х хо а) каноническое уравнение — в = — о = — — зто уравнение О О с < х~хо прямой, параллельной оси аппликат (рис.4.29,а); у= уо х-хо у-у г-г б) каноническое уравнение — о= — о= — — зто уравнение а Ь О прямой, параллельной координатной плосюсти Оху (рис.4.29,б). 2.
Напраавпощнй вектор р прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор Х. р, где 2н й, также является напрев лающим вектором для той же прямой. 3. Дт нерехода от общего уравнения нрямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия: 1) найти любое решение (х, у .г ) системы < А,.х+В .у+С, г+)3, =О, Аз.х+Вз у+Сз с+1)э=О, определяя тем самым координаты точки Ме(хе. Уе, ге). прштдлежащейг пря- мой; 2) найти направшпощий вектор р прямой как векторное произведение нормалей н, =А, г'+В 3+С, К, л =Аз ~+Вз',1+Сз.й заданных плос- костей: Г В, С, Аз Вз Сз Р =(н~.нз)-а.~ +Ь 2+с К = 3) записать каноническое уравнение (4.34) с у етом п.
и 2. и привести подобные члены. 5. Чтобы нерейти от каноническою уравнения к нараметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру г и жпьсать полученные равенства в виде системы (4.33): к=хе+а'г, у=у,+Ьг, гпй. г=г +с.г, х-х у-уе г-г — = — ю — юг <Ф а Ь с б. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты -те.уо ге точки Мо а коэффипиеытам а,Ь,с придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение свгзки нрямых с центрам в точке Ме(хе, уе,г ), т.е. совокупность всех прямых, пРоходащих чеРез точкУ Ме . 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
