Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Уравнения илесности, проходящей через трн заданные точки Пусть в координатном пространстве Олух заданы три точки Мо(хо,уо,г ), М!(х,ут,х!), Мз(хз,уз,х ), не лежащие на одной прямой (рис.4.17). Требуется состаюпь уравнение плоскости, проходящей через заданные точки. Афс(тнкное урааненсге пеоокоеп! ом-(1-с,-с,).ом,+с,.ом,+с, ом, ' < х=( 1-с,-с,) х,+с, х,+с;х,, ( 1 с! 22) Уз+с! У! 22'У2 с ! е * (! '! сг)ге+с!'«2+!2'гг уравнение паоекоопь прокояамеа через трн заданные точки: х-х х хе «г хе У Уе У,-Уе У2 Уе г-г е г -2 ! е гг ге Рне«а17 Как показано в равд.1.б.1, точка М(х, у, х) принадлежит плоскости, проходящей через точки Мо, М,, М тогда и только тогда, когда ее радиус- вектор ОМ удовлепюряет условию: ОМ=(1 — 1,-1 ) ОМ +г, ОМ,+г ОМ, где 11, г — некоторые действительные числа (параметры).
Это уравнение, а также его координатную форму х=(1 г! Уз)'хе+!!'хг гз 2* У = ( 1 — г! — Уз) ' Уе + 11 ' У1 + гз ' Уз ' я=(1 У1 УЗ) Хе+У! «1 УЗ ~2' будем называть оффинным УРооионием ллоскосоиь проходящей чарок кеочко Ме(хо Уо ге) Мт(яр У! 21) Мз(хз Уз Хз). Используя векторы Р,=М М,=(х,-х ) !+(Уг-уе) 3+(х,-х ) К и Рз ™оМз =(хз-хо) 1+(Уз-Уо) У+(хз-Хо) й в качестве напРавапощик векторов плоскости, составим уравнение вида (4.18): х-хо у-уо «о уз уо хз хо ,—, у,-у, хз-хо 14.2Ц которое назьзвается ураонениоае нлоскостзь нреееодязней чиеез три задан- ные точки. уравижиик плоскости "в отржзклх" Пусть на координатных осях заданы точки Х,(х,,0,0), у',(О,ут,О) и 21(О,О,х,), причем х зеО, у, аО, хз заО (рис4.18). Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через зти три точки.
, е о, у, о, з, о . Рнолла Подставляя в уравнение (4.21) координаты заданных точек Х„у, . У,, получаем: Разделив уравнение на х, . у, х, зз О, получаем уравнение — + — + — =1, х, зе О, уз а О, хз х О, х у г У1 14.22) которое называется уравнением нлоскосизи "а оазраиеах". Говорят, что плоскость, проходящая через точки Х,(х,,0,0), У,(О,у1,0) и 21(0,0,тт), оюнеекаат на координатных осях "отрезки": х, на оси абсцисс, у, на оси ординат и тт на оси аппликат. Разумеется, длины отрезков ОХ,,Оуз и 021 Равны 1) х, ~, ~ у, ~ и ~ тт ~ соответственно. 361 х-х, у-0 х-0 О-, у,-О О-О О-, О-О х,-О Ураананае нхоекоетн "а отрезках": — + — +-т х У Уз =х.уз-хт+х,.у гз+х, у, г-х, у, г, =О.
Замечании 45. 1. Перейти от общего уравнения плоскости (4.15) А х+ В у+С 2+ +Р = 0 к уравнению "в отрезках" (4.22) можно при условии, что все коэффициенты общего уравнения отличны от нуля. Для этого нужно перенести свободный член в правую часть уравнения: А.х+ В у+ С х =-Р, а затем разделить обе части уравнения на -Р: р х+ — о у+ р 2 =1.
Обозначив л, в„ с. х, = — о, у, = — о, г = — ф, получим уравнение в отрезках (4.22): — + — "+-ь=1. ч и ч 2. Уравнения (4.21), (4.22), полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним, однако величины ~ х, ~, ~ у, ~ и ~ г, ~ в общем случае не равны длинам отсекаемых отрезков ОХ,, ОУ и ОУ,. Пример 4.9. В координатном пространстве Олух (в прямоугольной системе координат) заданы точки К(2,3,4), Ь(6,-3,4), М(-4, 6,-4).
Требуется: а) составить общее уравнение плоскости треугольника КЕМ; 6) составить уравнение в "отрезках" для плоскости треугольника КХМ; в) определить точки пересечения этой плоскости с координатными осами. С) а) Составим уравнение (4.21): х — 2 у-3 2-4 4 -б 0 =О. х-2 у-3 2-4 6-2 -3-3 4-4 -б 3 -8 -4-2 6-3 -4-4 Раскрывая определитель и приводя подобные члены, получаем 48.(х-2)+32.(у-3)-24.12-4)=0 ов б х+4 у-3 2-12=0.
6) Переносим свободный член общего уравнения плоскости (см. и."а") х у х в правую часть и делим уравнение на 12: -+- — =1. Получили уравне- 2 3 4 362 ние плоскости в "отрезках". в) По уравнению плоскости в "отрезках" заключаем, что плоскость (см. и."6") проходит через точки Х(2,0,0), У(0,3,0), 210,0, — 4) на координатных осях.
° 42А. Взаимное расположение плоскостей пявяллкльиыж плоскости Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей и, и из, заданных общими уравнениями: и,: А!.х+В, ° у+С, г+П! =О; пз. Аз.х+Вз у+Сз г+Пз О (423) Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеар ности их нормалей и, =А,.»+В!.
!+С к, и =А .»+В у+С .к. Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то н, ~) и, т.е. существует такое число Л «О, что А,=Л А, С,=Л С, и наоборот. Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо П! = Л П . Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид Л.(Аз.х+Вз.у+С. г+П )=О, те. равносильно второму, поскольку Л«О. Таким обраюм, нлоскости (4.23) нараллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их Зравнениях нронорциональны, т.е. существует такое число Л«О, что А, =Л.А, В, =Л В, С, = Л.С, но П! «Л П .
Плоскости (4.23) совладают тогда и только тогда, когда все соответснмующие коэффициенты в их уу»авнеттх нронорциональны: А! =Л.Аз, В, =Л ° Вз, С, =Л Сз, П! =Л Х~з. Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) мозно записать в виде А В С и А! В! С В вЂ” ит и еэ А В С ь»з Аз Вз С Отсюда следует критерий параллельности нли совпадения двух плоскостей (4.23): (А, В, С!) пт~~пт или и,ти со гй( ' ' '~=1.
повкгхиостн ууовня линкйного чктыгкхчлкна Поверхиоаиьюуровня функции Г(х,у з) трех переменных называется геометрическое место точек координатного пространства Охуг, в которых функция принимает постоянное значение, т.е. у'(х, у, х) = сопзГ (см. (19,28,40]). Ряс.4Л9 Для линейного четырехчлена р(х,у с)=А х+В.у+С.г+Р уравнение поверхности уровня р(х,у,х) = сопзг имеет вид А.к+В у+С х+О=сопзг. (4.24) При любом фиксированном значении постоянной уравнение (4.24) описывает плоскость. Рассмотрим поведение семейства поверхностей уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку коэффициенты А, В и С не изменяются, то у всех плоскостей (4.24) будет одна и та же нормаль л = А 7+ В 1+ С.
К. Следовательно, поверхности уровня линейного четырехчлена р(х,у.г)=А х+В у+С а+О представляют собойсемейство параллельных плоскостей (рис.4.19). Поскольку нормаль совпадает с градиентом (см. п.З замечаний 4.2), а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, то при увеличении постоянной поверхности уровня (4.24) переносятся параллельно в направлении нормали. Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей (4.22) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных: А, В С, (4.25) При этом условии система уравнений < А,.х+В,.у+С,.а+О, =О, А, к+Вз.у+Сз.х+Оз =0 имеет бесконечно много решений [101, которые определяют прямую пересе- чения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).
Угол между двумя нлескесвиими можно определить как угол между нх нормальными векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до и. В элементарной геометрии вз двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина <р угла между двумя плоскостями удовлетворяет условию 0<~Р~ э. Если л,— А,.~+В, 2+С к и в — А ~+Вэ у+С к — нормали к плоскостям и, и и соответственно (рис.4.20,а), то величина ~р угла между этими плоскостями вычисляется по формуле: Необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей (4.23) является условие ортогональности нх нормалей, т.е. (л,, и ) = 0: А, Аз+В, Вэ+С| Сэ =О. При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла (рисА.20).
Величина <р двугранного угла удовлетворяет условию 0 < ~р < и . А .А +В,.В +С, С По формуле соир = (" Е) вэ 'йэ (4.26) получаем острый двугранный угол ф, образованный плоскостями (4.23), ес- ли А, А +В, Вэ+С, С >О (рис.4.20,а), и тупой в противном случае: 365 А, А +В,.В +С, С <О (рис.4.20,6). Другими словами, по формуле(4.26) находится тот двулранный угол обраэованный плоскостями, в котором лежат точки, принадлежащие разноинвннми нолупространствам анре ляеммм данными нлоскостяии. На рис.4.20 изображены пересекающиеся плоскости, положительные и отрицательные полупространства отмечены знаками + или — соответственно. Пример 4.10.
Найти величину того угла, образованного плосхостямн и,: 5 х-3 у+4 г-3=0 и и: 2.к+у+2 а+4=0, внутри которого лежитточка М(5,2,1). С) По уравнениям плоскостей находим нормали и =5 4-3.,5+4 К, п =2 !+1 5+2 К, а также величину ф угла междунормалями, используя (4.26): сов~а = 15 1 в ~7'гв'Ч7'Р'т Подставляя координаты точки М(5,2,1) в левые части уравнений плоскостей, выясняем, каким полупросгранствам принадлежит эта точка. Для плоскости и, имеем 5.5 — 3.2+4.1-3>0, значит, точка М лежит в положительном полупросгранстве, определяемом плоскостью и,. Для плоскости и имеем 2.5+ 2+ 2 1+4 > О, значит, точка М лежит также в паложительном полулространстве, определяемом плоскостью и .
Поскольку точка М принадлежит одноименным полулространствам (положительным), то искомый угол — зто угол чг, смежный найденному углу ~р=4: р и в зд ° 4 4 Собственным пучкам плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую (ось лучка). Несобственным пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной плоскости (осью несобственного пучка плоскостей считается бесконечно удаленная прямая). Любые две плоскости и, и и определяют пучок плоскостей, содвр. жаивнй заданные плоскости и, и и . Если плоскости и, и и пересеюются, то прямая т пересечения является осью собственного пучка (рис.4.21,а).
Если плоскости и, и и параллельны, то они определяют несобственный пучок параллельных плоскостей (рис.4.21,6). Пусть заданы уравнения двух плоскостей (4.23): заа и,: А,.х+В, ° у+С, г+Р, =0; и . А х+В .у+С г+П =О. .1липвйпой комбинацией этих уравнений называется уравнение Л, (А, х+В, у+С, г+11,)+Л (А .к+В, у+С, г+,02)=0„(4.27) где числа Л, Л вЂ” квэ44ицивпты линейной комбинации. Его можно записать в форме (Л1'А1+Лг'Аг)'х+(Л1 Вг +Лг Вг) У+(Л,.Сг +Лг Сг) г+Л, 11,+Лг.132=0. Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвествых равны нулю, т.е. при одновременном выполнении условий Л~ Аг+Лг.Аз=О, Л1 В1+Лг.В2=0, Л1 С~+Лг Сг=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
