Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Затем последовательно сделаем три поворота: первый поворот выполним вокрут Х ХВ оси От на утоп у (Оь,у<2н) от оси Ох до оси Ох, (получим систему коор/ дннат Ох,у,т,, оси Ох и Оу, которой ° ~ з изображены лпрнковыми линиями на 9 рис.2.15); О, ---- '. У1 второй поворот выполним вокруг оси Ох, на угол 9 (Оьйьн) от оси ВР, ю ф От до оси Ох, при этом ось Оу, прил " мет положение Оу (получим систему 9ь.р. координат Ох,узтз, ось Оуз которой Раслл5 нзображена двойной лприковой линией на рис.2.15); третий поворот выполним вокруг оси Ог на угол ~р (ОьВр<2п) от оси Ох до оси Ох . Указанные углы у, 9, <р называются уеламв Эйлера, в частности, угол В(г иазываетсяуглеаВ прецессии, угол 9 -уелем иувищив, а угол <р — упзем чвслзеее яВВВи(еюВВ.
Согласно п."б", запишем матрицы переходов Я,, Яз, Я от базиса к базису для указанных поворотов соответственно: 142 совф -япф О япф совф О . О О О О О .Е -з(пЕ О з(пЕ Е созф -в!пф О 5,= з(пф сову О,Я = О О По свойству 1 (см. равд.2.2.1) получаем матрицу перехода Я от базиса прямоугольной системы координат Охух к базису прямоугольной системы ко- Р / ординат Ох у х: ~1'~з'~з (е.е,е) зф р- шф Е 1пф — ф в)пф-япф Е. яр вшф.япе япф созф+созф сове.япф -япф вшф+созф сове сояр -совф вше . в1пе. япф в)пе.
совф сове Отсюда следуют формулы для преобразования прямоугольных координат х=(совф.совф — в)пф.сове зшф) х +( — совф.вшф — япф сове совф).у + +в1п3~/ зше х; у=(з)пф совф+совф сове заир) х+(-вш1р япф+созф сове.совф).у— — сову вше х; Р Р Р в =вше.в(пф.х +вше совф у +сове.х . Поскольку каждая из матриц Я1 Яз Яз ории онавьная то н нх произ ведение также является ортогональной матрицей (см. п.5 замечаний 2.3). О О 1 й =1.в+О г'+О.й,то Я= 1 О О О 1 О е зе з с матрицей Я, заюпочаем, что О = з (так как (юе,е) Рис.2.16 Пример 2.6. Прямоугольная система координат Ое у К получена из стандартной системы координат 01 ута при помощи поворота на угол ф вокруг прямой, проходящей через начало координат и образующей равные углы с координатными осями (на рис.2.16 зта прямая изображена одной точюй О, поскольку перпендикулярна плосюсти рисунка).
Требуется найти углы Эйлера П Составим матрицу 8 перехода от базиса е, 3, й к базису е, у, К'. Так как К=у е =О Т+1 уз+О.к, г' =О е+О. г'+1.К, совО=О и 0606и); 3у=ф (таккак в)п36=1 и 0536<2и); В3=0 (таккак сови=1 и 0<~р<2и). ° 2.2А. Аффиииые преобразовании плоскости и пространства ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА И ПЛОСКОСТИ Напомним (см.
рази.В.2), что преобразованием иросввраисмва называется правило У, которое каждой точке Х пространства ставит в соответствие единственную точку У = у(Х) того же пространства, при зтом точка У называется образам точки Х, а точка Х вЂ” «ревбразам точки У 18,10,23). Преобразование называется азаилию однозначным, если у каждой точки У пространства существует единственный прообраз Х .
Два преобразования у и я пространства назывится равными, если у(Х)= 6(Х) для любой точки Х. йанвиезииией преобразовании 8 и у называется преобразование У 0 я, определяемое равенством (У о 6)(Х) = у(6(Х)). Преобразование е называется мождествеииым, если каждой точке пространства ставится в соответствие эта же точка: а(Х) = Х . Преобразование У ' называется обрвлииым для преобразования у, если у ~ау =~о У '=в.
Преобразование у называетсяобрамимым, если для него существует обратное преобразование. Необходимым и достаточным условием обратимости является условие взаимной однозначности преобразованвя. Аналогичные понятия определяются для преобразований плоскости. Преобразование у пространства можно представить в коердиишвиой рврме. Пусть в пространстве задана система координат, в которой точка Х и ее Образ У имеюТ коордииаТЫ Х(х$'хз'хз) и У(упуз*уз) СООТвеТОТвенио Преобразование У ставит в соответствие упорядоченной тройке чисел х =(х,,х,х ) упорядоченную тройку чисел у =(у,,у, у ).
Такое преобразование можно задать при помощи трех скалярных функций: < У, =ДГТ,Х2,Х ), У2 ~2(Х3' 2' 3)' ,=л(; ,,;), нли, что то же самое, вектор-функцией 1(х) = (г,(х) уз(х) 1' (х)) 144 Преобразование плоскости задаегся двумя скалярными функциями двух переменных: ° =М ") уг = У,(хг.хг). или, чтото же самое, вектор-функцией у(х) =(у(х) уг(х)) АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ Пусть на плоскости фиксирована аффинная система координат 0 е, ег. Преобразование «1 плоскости называется аффнннмн, если координаты у,, уг образа У выражаются через координаты х,, хг прообраза Х (У=от(Х)) по формулам б уг =аз+ам'хг+агг'хг' (г) (г) (г) (Р) где ~( = ' — невырожденная матрица (ма«григ(а аффннного «реоб- ~'> (,ог1 аж) (у,) разооания), у= ', х= — координатныестолбцыобраза г ипро(е) ~ уг ~ (е) ( хг! образа Х (координатные столбцы радиус-векторов ОУ и ОХ ) соответственно, а = — координатный столбец абрам начала коордаиаюн, нли г) ееюаора иеремоса начала координат.
В формулах аффннного нреобразоеаная (2.11) подчеркивается зависимость матрицы преобразованиа и координат векторов от выбранной системы координат. Обозначение системы координат в (2.11) будем опускать, если понатно, в какой системе координат задано преобразование. Замечании 2А 1. Столбец а =( ~( в (2.11) определяет координаты образа О = о(0) ~аг/ начала координат. Действительно. подставляя координаты х, = х = О точки О в(211),получаемкоордииаты у, =а,, у =а точки О =от(0).Можно сказать, что при аффинном преобразовании начало координат переносится на вектор а = ОО, координатный столбец которого равен а . ы5 и -. и и О 1=А.)(г)'дг) й) (к ) (Г~Ф(е ) ~е (е)-+(е ) Ф где А, А — матрицы ( а, о — координатные столбцы вектора переноса) (к) (к ) аффинного преобразования в старом и новом базисах, а Я вЂ” матрица (-)-К) перехода от стцрого базиса к новому. 3.
Ъппппем (2.11). обозначив образ точки Х через Х = оз(Х): 146 2. Аффинное преобразование (2.11) в злобой другой аффинной систеие г Ф Ф координат О е, е задается формулами того же вида. Действительно, пусп известны: матрица Я = Я перехода от старо- (')-(-) го базиса (е) = (е, е ) к новому базису (е ) =(е, ез) и координатный столбец з вектора переноса начала координат з =ОО (рис.2.17).
Тогда по формуле (2.8) х=з+Я х и у=в+Я у, где х,у и х,у — координатные столбцы точек Х,Г (радиус-векторов ОХ,Оу и ОХ.О К) в старой ~~-г Ое,е и новой О е,ез системах координат. Р Ф Р Подставляя в (2.11), получаем Х у =а+А.х У з+Я у =а+А.(в+Я х . =а+А х l з у Учитывая, что матрица Я обра- 2 у х тимая (см. свойство 2 матриц ег перехода в разд.2.2.1), выража- ем координатный столбец у Т Р Ф О е образа У через координатный гисд.п столбец х прообраза Х в сис- теме координат О е,ез.
з'-г ' ( +л *-.)+~мг *'= '~лЫ. л В результате получили аффинное преобразование вида (2.11): Р (-,) Мй с матрицей А =Я ' А.Я и координатным столбцом а =Я '.(а+А з-з) вектора переноса. Таким образом, связь матриц одного и того же аффинного преобразования в разных базисах, а также координатных столбцов вектора переноса, имеет вид Хз =аз+аз1'Х1+1Ьп'Хз (233) Сравнивая формулы (2.13) аффинного преобразования плоскости с формулами (2.8) аффинного преобразования координат, завпочаем, что эти соотношения: х =а+А х и х=з+Я х будут равносильными, если положить Я = А и з =-А .а.
Действитель- -1 -1 ио, умножая обе части равенства х =-А ' а+ А ' х, следующего из первого соотношения, на матрицу А слева, с учетом равенства А А ' = Е по- -1 -1 Ф лучаем А.х= — А А а+А А х, т.е. А х= — а+х, что равносильно х = а+ А х . Таким образом, изменение координат точки будет одно и то лсе, подвергаем ли мы плоскость аффинному преобразованию, оставляя систему координат неизменной, или же оставляем плоскость «еизменной, нодвергая систему координат обратному преобразованию. 4. Аффинное преобразование плоскости порождает преобразование векгоров на плоскости, если рассматривать векторы как упорядоченные пары точек, а именно: прн аффинном преобразовании ог каждоау вектору» (рассматриваемому как упорядоченная пара точек Р = МФ ) ставится в соответствие вектор» (» =М1»', причем М =»1(М), И =ей(И)). координаты которого выражаются через координаты прообраза Р по формулам: » =А.», (2.14) где», » — координатные столбцы векторов», » (относительно одного и того же базиса), А -матрица аффинного преобразованиа (в том же базисе).
Это свойство следует из правила нахождения координат вектора, согласно которому из координат конца вектора надо вычесть координаты его начала. Если т, т, и, и — координатные столбцы точек М, М, Ж, )» соР ответственно,тоучитывая(2.13): т =а+А т, и =а+А.п,получаем » = и — т = (а+ А и -(а+ А . т = А (п — т) = А», что и требовалось доказать. Рассмотрим способы задания аффинного преобразования плоскости. Первый способ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
