Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В полярной системе координат О г«р: а) изобразить ке««р«)ннатнывлнннн г=1, г = 2, г=3, р=-", «р=д, 2' Ф=Ф' б) изобразить точки М,, М с непарными координатами г =3, «р = —, г =3, «р =- —. Найти главные значения поляриык углов зтнх 9% тв 1 4 ' 2 ' 2 4 точек; в) найти прямоугольные координаты точек М,, М . П а) Координатные линии г=1, г=2, г=3 представляют собой окружности соответствующих радиусов, а линии «р =-", «р =-", «р = ~ — полу- 4' 2' 4 прямые (рис.2.30,а). б) Построим точки М1(З, 4 ) и МДЗ, — 4 ) (рис.2.30,б,в).
Их координаты отличалпся полярным углом, однако, имеют одно и то же главное значение «р= 4. Следовательно, зто одна и та же точка, которая совпадает с точкой М(З д), изображенной на рис.2.30,а. в) Учитывая п."б", найдем прямоугольные координаты точки М . По формулам (2. 17) получаем: и 3«Г2 .. и 3«Г2 Х=Г соа«р=З соа — = —; у=г.а1п«р=З.аш 4 2 4 2 т.е. М вЂ”,— . ° Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых 2ав, где нн 2. При хе О нз ник следует, что «я«р = —.
Главное у х значение полярного угла р (-к < «р < н ) находится по формулам (рис.2.29): М,(з,ф 3 -Вн) 9 =— зк 1 4 г=3 Р .2.ЗО Замечания 28. 1. Главное значение полярного угла можно выбрать иначе (2,3), например, 0«р<2н. 2. Расстояние между двумя точками М,(г;, ф, ) и М (г2, Чзз) (длина отрезка М,М ) вычисляется по формуле 1 2 что следует из теоремы косинусов (рис.2.31). 3.'Ориентированная площадь Я„", параллелограмма (рнс.2.31), построенного на радиус-векторах ОМ, и ОМ, находится по формуле Я вЂ” — =ОМ лОМ2 — — г;.гз мп((рз-р2).
1' 2 Она положительна, если <р, <~р (при этом ориентация пары радиус- векторов ОМ, и ОМ правая), и отрицательна, если ф >ф (ориентация пары радиус-векторов ОМ, и ОМ левая). и Пример 2.10. Даны полярные координаты <р =-, г = 4 и 4 3 ° 4 Фе = —,ге =2 точек А и В (рис.2.32). Требуется найти: 2и 3 а) скалярное произведение (ОА, ОВ); б) длину отрезка АВ; в) внешнее произведение ОА л ОВ; г) площадь В треугольника ОАВ; д) координаты середины С отрезка АВ в прямоугольной системе координат, связанной с данной полярной. .Р,) О Рва.2.31 П а) По определению скалярного произведения находим ~ОА.ОВ)4~0АЦОВ) соязрВВг гя.соз(~ря-РА)=4 2 соз — =4. б) Находим длину отрезка (см. п.2 замечаний 2.8): АВ= „+ — 2 „(В -В„) /4 2 2422 2 ЗЗ.
в) Внешнее произведение нах4ншм как ориентированную площадь параллелограмма, построенного на векторах ОА и ОВ: ОА ОВ „Ь(В -4„2=2 4 В Я=ЯЗВ. Площадь положительная, так как векторы ОА и ОВ образуют правую пару З РА РВ)' г) Площаць треугольника ОАВ находим как половину площади параллелограмма, построенного на радиус-векторах ОА и ОВ. Так как  — — =)ОААзОВ)=4зГЗ (см.
пВв"),то Я . =- 4зГ3=2зГЗ. д) По формулам (2А7) находим прямоугольные координаты точек А и В: ,Гз хА =гА сояФА — — 4 — =2; уА =гА зш<рА — — 4 — =2ч3; 167 ( 1'1 . ('3 ха=гв.созрв=2 (- — =-1; у =г .з(п(р =2 — =333, в в в а затем координаты середины С отрезка АВ (см. п.З замечаний 2.1): хА + хв 2+ (-1~ 1 УА + Ув 23ГЗ+ 3ГЗ 33ГЗ 2 2 2 2 2 2 Пример 2.11. На координатной плоскости Оху отмечена точка А(4;-3). НайГА.
ти: а) поларные коорюпюты точки А, О 1 хА! х образа точки А прн повороте радиу~- ФА 1 я вектора ОА на угол —" вокруг начала ко- А з ординат (рис.2.33); А б) полярные координаты точки А,, Ряа.233 образа точки А при инверсии плоскости относительно окружности единичного радиуса с центром в начале координат (см. пример б преобразований плоскости в разд.2.2.4). П а) Найдем полярные координаты точки А .
По формулам (2.17), учитывая рис.2.29, получаем: гА =1(хА+уА = 4 +(-3) =5; ФА=агсФ-4-=мс3$ — =-агсгй —, Гз г 2 . У -3 3 4 4 так как точка А лежит в 1г' четверт3ь При повороте радиус-вектора ОА вокруг полюса на угол 3 полярный радиус не изменяется, а полярный угол увеличивается. Следовательно, по- Ф парные координаты точки А: г ° = г =5, <р ° =<р +-"=-"-агсгй 3, причем А А ' А А 3 3 А' <рА. — главное значение полярного угла (-л < ~рА, 5 и). б) При инверсии относительно окружности радиуса й полярные коор- Ф Р динаты г, а3 образа выражаютсл через полярные координаты г, ф прообраза следующими формулами: Ю 2 г = —, <р=<р г Поэтому, учитывая п."а", находим (для 11 = 1): 1 1 г 5 3 ~р = ~р = — мсзй-. ° А А 2.3.2.
Цилиндрическая система координат Для введения цилиндрической системы координат в пространстве выбирается плоскость (основная ляоскосюь) и на ней задается поларная система кв~динат с полюсом О и поларной осью Ох. Через точку О перпендикулярно основной плоскости проведем ось Ох (ось аллликаю) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла, наблюдаемое со стоРоны положительного направления оси Ох, происходило против часовой стрелки (рис2.34,а).
В цилиювэической системе координат положение точки М, ие принадлежащей оси аппликат, характеризуется поларными координатами г, ~р точки Ме — ортогональной проекции точки М на основную плоскость, и аппликатой х — координатой точки М, — ортогональной проекции точки М на ось апплнкат. Таким образом, цилиндрические координаты точки М вЂ” зто упорядоченная тройка чисел г,ф,г — полярный радиус ( г > О), лаялриый угал (-и < <р ь и ) и алляилаюиа ( — < з < + о ).
У точек, принадлежащих оси аппликат, не определен непарный угол, они задаются указанием нулевого полярного радиуса и аппликатой. Ряе2.34 С цилиндрической системой координат Огдг можно связать прямоугольную систему координат Ою' ~ А (рис.2.34,б), у которой начало и базисные векторы ~, К совпадают с началом цилиндрической системы координат н единичными векторами на полярной оси И оси аппликат соответственно, а базисный вектор ( выбирается так, чтобы тройка ~, (', х была правой (прн этом базис оказываетсл стандаРтным). Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим цилиндрическую систему коордннат (саюаллую с донной лрлмоУгааьио4. Поскольку аппликата 2 точки М в прямоугольной системе координат и аппликата 2 в цилиндрической системе координат совпадают, то формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты х,у,х точки М и ее цилиндрические координаты г,<р,х, имеют вид, следующий из (2.17), (2.18): с х = г.
сов <р, у=г в1п<р, 2=2 ° (2.19) Эти формулы позволяют найти прямоугольные коордвнаты по известным цилиндрическим. Обратный переход выполняется по формулам г=т(х +у соз<р = — ' ~„г+„з * з1ви= —, у ( 2гуу 2=2. (2.20) Главное значение полярного угла <р (-п«р<п) находится по формулам (см. рис.2.29). по з Пример 2.32.
В цилиндрической системе координат Огас: 1г ! с=хе а) построить координат- ные поверхности г = Ю, 1! «р = 0 Ф = 0. Ф = Фе ° 2 = 0 * = ге ' г=й б) найти цилиндрические ,ф Л, 0 координаты точки А, если из('ф)~о вестны ее прямоугольные ко- О ординаты А(4, — 3, 2); в) найти прямоугольные ~е координаты точки В, если известны ее цилиндрические координаты: г = 2, ~р зя в ° в з ' Рвс.2.35 =1. в С) а) Координатной поверхностью г = й, т.е. геометрическим местом точек М(Юр,х) при фиксированном значении поларного радиуса г = )г, является прямой круговой цилиндр, ось которого параллельна оси аппликат (рис.2.35). Этим обьяснлется название цилиндрической системы координат. Координатной поверхностью ф=ф, те. геометрическим местом точек М(г,фе,х) при фиксированном значении полярного угла ф=фе, являетсл полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.35 изображены полуплоскости ф = 0 и ф = фа = з" ).
Координатной поверхностью х = хе, т.е. геометрическим местом точек М(г,<р,г ) при фиксированном значении апплвкаты х = х„, является плоскость, перпендикулярная оси аппликат (на рис.2.35 изображены плоскости х = 0 и х =2). б) Найдем цилиндрические координаты точки А(4, -3, 2). Аппликата г, = 2, полярный радиус и полярный угол находим по формулам (2.20) (см. пример 2.11): з г г ж .
У -3 3 г =тгх +у = 4 +1-3) =5; ф =агсгя — =агсгй — =-агс18 —; х 4 4 а так как -н<<р~н и ортогональная проекция точки А на координатную плоскость Оху (основную плоскость) лежит в Лг четверти. б) Найдем прямоугольные координаты точки В. По формулам (2.19) вычисляем (см.
пример 2.10): 1 ) . зг'3 юх =г созф =2. — =-1; у =г мпф =2 — =т(3' х =1 ° В В В 2 ' В В В 2 ' В 2.ЗЗ. Сферическаи система координат Для введения сферической системы координат в пространстве выбирается плоскость (оеиооиая ияоскоеизь) и на ней задается полярная система координат с полюсом О (иачало сферической еисюеиы коороиизяи) и полярной осью Ох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
