Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 11
Текст из файла (страница 11)
0 =1 1+(-2).0+2.0=1, 0 что совпадает с полученными ранее результатами. ° Пример 1.16, Прямоугольный параллелепипед АВС1ЗА,В,С,1З, построен на векторах АВ=4 Г, А0=5 г', АА =4 К (см. рис.1.38). Точка Р центр грани АВВ,А,, точка д делит ребро А,Р, в отношении А~0: 011, = 4: 1. Требуется найти: б! Пример 1.15. Даны веаторы а =1-2,1+2 Ь, Ь =2 ч+3 1+2 К, с = 1-1с.
Найтискалярные произведения (а,Ь), (а,с). (Ь,с), (а,~), (а,~), (-Х). П По формуле 11.10) вычисляем (а, Ь)=(1 1-2 1+2 1,2 ~+3 1+2.К)=1 2+(-2) 3+2 2=0; (а,с)=(1.~т-2.3+2.1,0 г+1 1-1 я)=1 О+(-2) 1+2+1)=-4; (Ь,с)=(2 Г+З.у+2 1,0 7+1 3-1 Х)=2 О+3.1+2+1)=1; (а,1)=(1 г -2 1+2.7с,1.7+О.
у+О я)=1 1+(-2).0+2 0=1; (а, у')=(1 г — 2 7+2.КО.г+1.у+О я)=1.0+(-2) 1+2 0=-2; (а,я)=(1.г-2 1+2 1,0.г+О у+1.Г)=1 О+(-2) О+2 1=2. Сравнивая вектор а = ~ -2. у+ 2 К со скалярными произведениями (а,1)=1, (а,1)=-2, (а,я)=2 обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует п.З замечаний 1.10. Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись 1см. п.2 замечаний 1.10).
Например, векторам а, Ь, ~ соответствуют координатные столбцы а) величину 1р угла между векторами АС, и РЯ; б) длину ортогональной проекции вектора РЯ на прямую АС. С) Находим координаты векторов в С В, стандартном базисе ~, 1, Ф: 1 1з 1 1 АС, =АВ+А0+АА, =4 з+5. 1+4 Ь; А АС = АВ + АЮ = 4 1+ 5 1+ О. /с; .ер С~1ч~--ь- Р() = -2. ч + 4. )'+ 2 й (см. решение ри ра 1.12). г ~~зй По формуле (1.10) находим скалярз ные проюведенюс 2) з А ( Сп ~ф=4.(-2")+5.4+4.2=20; (АСС, РЯ~=4 (-2)+5.4+0.2 =12; а тавже длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного проюведения): 1АС1=~~~А~ АС~ ~Ь г5 +4 =/57: Я=ДАС,АС)=~Г4 5 =Й1. Длина ~ РО ~ = 2зГб была найдена в примере 1.12.
Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическому свойству 3: — Ро, АС 12 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ В ПРОИЗВОЛЬНОМ БАЗИСЕ Пусть е,, ез, ез — проювольный базис в пространстве. Найдем скалярное произведение векторов а=а,.е,+а .е +а .е и Ь=Ь, е,+Ь .е + +Ьз 'ез з з (а,Ь)=(а1 е1+аз.ез+аз ез, Ь, е, +Ьз.ез+Ьз ез)= ) ~~' а, Ь) фе,,е.).
! 11! 62 Запишем полученную формулу в матричном виде. Для зтого вз чисел (' '1 В,В.), называемых метрическими козффмцнВняихмм базиса, составим !' 1 матРМЦУГР ы Вв Р, еа вз (А) (р ) (л) ( 2'В!) ( 2' 2) ( 2' 3) ('з В!) (Р,А) (Вз ~~) С(в,,ва,ез) (1.12) Координаты каждого из векторов а и Ь представим в виде столбцов соответственно. Тогда для скалярного произведения получим (~.~) (~.;) (~.;) (В2'В!) ( 2' 2) ( 2'Вз) (Вз,в,) (ез,еа) (Вз,ез) (В,Ь)=„) ') а! Ь (сов )=(а, а а ).
~=2/ы или, короче, (И,Ь)=а С(ва,еа,вз) Ь. (1.13) Теорема 1.7 (формула вычислении сиалирнего иреизведеиии в произвольном базисе). В Н1!Мзнзвсаьнам базисе в,, В, е саиярнов нроизведение векторов а и Ь вычисляется яо формуле (1.13), где а, Ь вЂ” координатные столбцы венторое а и Ь соответственно. а С[в!,Ва,ез) -маеРМ- ца Грома (1.12) базиса е, Ва, Вз. Замечании 111. 1. Для ортонормнрованного базиса !, !, Ь матрица Грама имеет вид (,) (,т) т.е. является единичной. В этом случае по формуле (1.13) получаем ( )-(....., )- I а,Ь)=~к, 2+У,.)+2,4, хз.!+Уз,1+аз4)= =(.
у. 2.). 1 о =х,.ха+У,.Уз+а„.аз, что совпадает с (1,10) =( ) ь-( ь,1 2. Для произвольного базиса е,, е на плоскости скалярное произведениевекторов а=а, е,+а е и Ь =Ь, е,+Ьг е находитсяпоформуле: (а,Ь)=а С(е,ег) Ь, где а =, Ь= — координатные столбцы векторов а и Ь соответстг г ) Фя) (-,—;)~ »- ~ег,-,~ ~ег.ег)~— В частности, для ортонормнрованного базиса т', т матрица Грама яв- т-, тт 11 01 ляется единичной: С(1, т)=( ~, позтому скалярное проюведение векто- (0 1) ров а =х, 1+у, т' и Ь =ха.1+у 1 находитсяпоформуле (а,Ь)=х -ха+у уь, что совпадает с (1.9). Заметим, что зта формула также следует ю получен- нойвп.1 при х =х =О. Пример 1.17.
Найти матрицы Грама для следующих базисов: В О а) два единичных вектора е, =ОА, е ег — — ОВ, служащие сторонами правильное С го треуголыппв ОАВ (рис.1.39,а); в б) три единичных вектора е, =ОА, ег = ОВ, ез = ОС, слухтацие ребрами правильного тетраэдра (рис.1.39,б).
Найти длины векторов, имеющих в данных базисах следующие разло- жения: А е б Риел.39 а =1.е, +2.ег; Ь =1.е, — 2 ег+3 ез. С) а) Учитывая, что длины базисных векторов равны единице, а угол междунимиравен —,получаем (~,е)=1, (е,,е )=(ег,е,)=-, (е,е )=1. 3 Записываем матрицу Грама С(е,,е )= т ' Найдем теперь длину вектора а =1 е, +2.е . Составляем координат- (1') ный столбец зтого вектора а = ( ~ . Учитывая формулу (1.13), находим ска- (2~ парный квадрат: (а,а)=а .0(е,,е ).а=(1 2), 2 .~ )=7. Следова- 1! (2! 2 тельно, 1а1=21(а,а) =е7. б) Учитывал, что длины базисных векторов равны единице, а угол меи иду любыми двумл из них равен —, получаем 3 ('я)=(' е.)=(' р)=" (е! ег) (ег е!) (е! ез) (ез е!) (Бг ез) (еэ ег) т' 1 ! ! г 2 Зелнсываемматрицуррама(1.12): б(е!,ег,р)= 2 1 1 ! ! 2 2 Найдем теперь длину вектора Ь =1 е,-2 е +3 е .
Сов!авалем координатный столбец этого вектора Ь =(1 — 2 3)г . Учвтываа формулу (1.13), находим скалврный квадрат: 1 ! 2 2 '1Ь,Ь)=Ь !з(е,,ег,ез).Ь=(1 -2 3) ! 1 ! 1 ! ! г г -2 =9. Следовательно, Я=ДЬ,Ь)=З. ° силлненов нзчгизввдкнив внктоуов во взаимных влзисах 5 — 5!50 Пусть на плоскости задан базис е,, е . Базис е!*, е называетсл таниным но ониютению к базису е,, е, если (е е!')=1, 1е!.ег)0, (ег,е! )=О, 1ег,рг)=1.
Пусть в пРостРанстве задан базис е,, ег, е . Базис е,', ег', е' называется взаимным но огннотению к базису е,, е, ез если 1-;)=~ ..' ° 1 ! 1 ,, е '1=, ! = 1,2,3; 7' = 1,2,3 . 10, 1Ф), Взаимные базисы обладают следующими основными свойствами. 1. Свойство взаимности базисов симметричное: если второй базис взаимен по атно нению к первому, то первый взаимен ко второму.
2. для каждого базиса 1на наоскости иаи е пространстве) сун1есгнОет единственный взаимный базис. З.Пусть векторы а и Ь заданы своими координатамиотносительно взаимных базисов: а =а,'.е,'+а''ез +аз ез Ь=Ь,.е,+Ьз ез+Ьз'ез. Тогда их скалярное нроизведение вычисллетсл но формуле: (а,Ь)=а~ .Ь! +аз Ьз+аз Ьз* т.е. равно сумме произведений одноименных координат векторов, как и в случае ортонормированного базиса. 4. Если е1, ез, ез и е,', ез', ез" взаимные базисы, то кооРдинаты а,, аз, аз любого вектоРа а относительно базиса е1, ез, ез находлтсл но формулам а, = (а, е,'), аз = ((а, ез'), аз = 1(а ез ). Докажем свойство 2.
Пусть на плоскости задан базис е,, е (рис.1.40гз). Вектор е, взаимного базиса перпендикулярен вектору е, так как (ез,е, )=0 (см. второе геометрическое свойство скалярного произведения). Из двух возможных направлений для вектора е,' выбираем то, которое образует острый угол ~р< — с вектором е,, так как (е,,е, )=1>0.
Следовательно. направление вектора е,* определено однозначно. Осталось выбрать его длину, используя (1.7): ~ е,'~ =1--1 — —, так как (е1,е,')=1. Таким об- Я~ СОЗф разом, направление и длина первого вектора взаимного базиса опредевпотся однозначно. То же можно сказать и в отношении выбора вектора е '. Доказательство существования и единственности взаимного базиса в пространстве (рис.1.40,01 проводится аналогично (14]. ез -* Заметим, что для стан- 2 е* 2 дартного базиса 1, 7' на 1 плоскости (нли базиса Ф е, ез 1, 7', Ь в пРостРанстве) 1 1 е взаимный базис совпадает с самим базисом з1,7н (соответственно з, 7', К ). Риа1АО Докажем свойство 3.
Находим скалярное произведение, используя свойства коммугативности и линейности, а также определение взаимных базисов: з з (-='' *' а,Ь)=(а,' е!'+аз ез'+аз 'ез', Ь, е, +Ьз.ез+Ьз'ез)=)' Ха,''Ф''ез)= !=! 1=! з з =,') ~ а,'.Ьз(е, е,')=а,'.Ь, +аз'Ьз+аз.Ьз ° г=! 1=! что и требовалось доказать. Свойство 4 следует из формулы, приведенной в п.3.
В самом деле, (-.—, = —, л,—,,—,) —,' а,е,')=(а,'е +аз'ез+ з'ез е!'1!=а! Аналогично доказываютса остальные формулы в п.4. Пример 1.18. а) Найти базис, взаимный базису, заданному в примере 1.17,а (рис.1.39.а). б) Внутри угла АОВ величиной з взята точка С, удаленная от сторон ОА и ОВ на расстояния 11 и 2 соответственно. Найти длину отрезка ОС (рис.1.41,б). С3 а) Так как базисный вектор е, единичный, то, учитывая геометрический смысл скалярного произведения (см. разд.1.4.1), вектор е,* можно построить следующим образом. Через начало вектора е =ОВ (точку О) и конец вектора е, = ОА (точку А ) проводим прямые, перпендикуларные векторам е, и е, соответственно (лприховые линии на рис.1.41,а).
Точка пересечения этих прямых — конец вектора е, (его начало совпадает с точкой О). Аналогично строится вектор е (построение изображено пприхпунктнрными линиями на рис.1.41а). Тогда по построению справедливо е, ) е, е Л.е!, а также прае,' =(е!(=1, пр-, е" =(е ~=1. Следовательно, учитывая геометрическое свойство 2 и формулу (1.8): (е, е,*)= О, (-,.—;=, —,,—;=, —,,—;=, е,,е')=О, (е,,е, )=1, (е,е )=1, т.е. выполюпотся условия взаимности базисов.
Найдем длины векторов взаимного базиса. Поскольку угол между векторами е, и е,' равен д (напомним, что ~АОВ = — ), то из прямоугольного треугольника с катетом ОА: !е! ~=- -= —. длина вектора е та!! „,,);. кая же. 67 1.5. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1.5.1. Векторное произведение и его свойства Вектор с называется веюиорнмм нрвизведением неколлиневрнмх векторов а и Ь, если: 1) его длина равна произведению длин векторов а и Ь на синус угла между ними: [ с [ = ] а ~ [ Ь | зш <р (рис.1.42); 2) вектор с ортогонален векторам а и Ь; 3) векторы а, Ь, с (в указанном порядке) образуют правую тройку.
Векторное проюведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору. Векторное проюведение обозначается с = [а, Ь] (или ЕхЬ ). 5„=~а].[Ь! ьш<р Рак 1.42 АлГеБРАические сВОйстВА ВекгОРнОГО пРОизВедения Для любых векторов а, Ь, с и любого действительного числа Л: 1. [а,Ь]=-[Ь,а]; 2. [а ь Ь, с] = [а, с]+ [Ь, с]; 3. [Л а,Ь]=Л [а,Ь]. Первое свойство определяет антиснмметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивнвсть и однородность на нервему мнонситегио. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел [10]: первое свойство "противоположно" закону каммутативности умножения чисел (закон атникоммутативности), второе свойство соответствует закову дистрибутивкости умножения чисел по отношению к сложению, треп е — закону ассоциативности умножения.
Поэтому рассматриваемая операция 69 и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным. Докажем первое свойство, предполагая, по векторы с =[а Ь) а и Ь не коллинеарны (в противном случае обе части доказываемого равенства равны нулевому вектору). По определению векторы с=[а,Ь) и а =[Ь,а) имеют равные длины ( ~ с ~ = ~ а ~.
~ Ь |. зш <р = ~ а ~ ) и коллинеарны (так как оба вектора перпендикулярны одной плоскости), По определению тройки векторов а, Ь, с и Ь, а, ~Т вЂ” правые, т.е. вектор с направлен так, что кратчайший поворот от а к Ь происходит в положительном направлении (протнв часовой стрелки), если смотреть из конца вектора с, а вектор а направлен так, что кратчайший поворот от Ь к а происходит в положительном направлении, если смотреть из конца вектора д (рис.1.43). Это означает, что векторы с и с7 противоположно направлены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
