Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 9
Текст из файла (страница 9)
свойство 5 проекций в равд.1.2.2). Поэтому абсцисса линейной комбинации векторов равна линейной комбинации абсцисс этих векторов. Аналогичное рассуждение справедливо для ординат и аппликат. Замечании 17. 1. Основные теоремы 1.3-1.5 о разложении вектора по базису устанавливают взаимно однозначное соответствие между множеством векторов пространства и множеством их координат в данном базисе. А именно, между векторами на прямой и действительными числами, между векторами на плоскости и упорядоченными парами чисел, между векторами пространства и упорядоченными тройками чисел. Например, при фиксированном базисе (е) Г! ез ез) вектоРУ а = х, ' е, + ха 'ез + хз ' ез однозначно соответсп|Уст упорядоченная тройка чисел х,, х, х, и наоборот, каждой упорядоченной тройкечисел х,,х,,х соответствуетвектор а=х, е,+х е +х е,т.е.
а4-Э(х,,х,х ). В частности, если вектор а в базисе (е)=(е,,е,е ) имеет разложение а = 2 е, -З.е +4.е, то этому вектору соответствует тройка (2, — 3, 4) и наоборот. Нулевому вектору в любом базисе в пространстве соответствует нулевая тройка (О, О, О) . 2. Взаимно однозначное соответствие (вектор) ++ (его координаты) сохраняет линейные операции: сумме векторов соответствует сумма нх одноименных координат, произведению вектора на число соответствует произведение его координат на это число. Такое взаимно однозначное соответствие называется изомор ризмом [10).
3. На практике координаты векторов удобно представлять в виде матриц-столбцов (или матриц-строк), которые называются координагнными столбцами (координатными тироками). В базисе (е) = (е,, е, е ) вектору а=к~.е1+л .е +хз ез соответствует координатный столбец а = хз Обозначение базиса (е ) можно не указывать, если не может возникнуть неоднозначности. Линейным операциям над векторами соответствуют линейные операции над их координатными столбцами. Например, если в одном и том же базисе (е) векторам а и Ь соответствуют координатные столбцы а и Ь, то их линейной комбинации с = а а+р Ь соответствует координатный столбец с = а а+ р Ь, т.е.
координатный столбец линейной комбинации векторов равен линейной комбинации координатных столбцов. 48 3 3 =( ь=( Находим координатные столбцы векторов а+Ь, а — Ь, 3 а+2 Ь о) ° ( :) ,~ь=( ='(-г~ 3 3 оп -ь=( 3 3 3 З.а+2 Ь=З. ° г( Результаты совпадают. ° Пример 1.11. Известны разложения векторов а = 2 е, — е; =е, +2 ез; с = — 4 е, +2 ез; 47=7.е, +4 ез относительно базиса е,,ез на плоскости. Разложить вектоР Й: а) по векторам а и Ь; б) по векторам а и с .
П а) Требуется представить вектор Й в виде линейной комбинации векторов а и ь: Й=а а+р.ь . подставим в зто равенство в5даниые раз- 4 — 5550 49 Пример 1.10. Векторы а и Ь относительно базиса е,,е,е имеют координаты: 2, О, — 3 и 4, 2, -1. Требуется найти координаты векторов л+Ь, а — Ь, З.а+2.Ь относительно того же базиса. СЗ Запишем разложения по базису заданных векторов: а=2 е5+О ез — З.ез, Ь=4 е,+2 ез-1.ез.
Используя свойства линейных операций, находим разложения по базису е,, ез, ез искомых векторов: а+Ь =(2+4) е5+(О+2) ез+( 3 1)'ез =б.е,+2 ез 4 ез' а — Ь =(2 — 4) е,+(0-2) е +(-3+1) е = — 2 е,-2 е, -2 е; З.а+2.Ь=3 (2 е,+О е -3 е,)+2 (4 е,+2 е,— 1.е,)= =(3 2+2.4) е, +(З.0+2.2).ег+(3'( 3)+2 ( — 1)1 ез =14 е, +4.ез 11 ез. Следовательно, векторы а+Ь, а-Ь, З.а+2 Ь имеют координаты: б, 2, — 4; — 2, -2, — 2; 14,4, — 11 соответственно. Вычислим искомые координаты, используя матричную форму записи (см. п.З замечаний 1.7). Векторам а и Ь (в заданном базисе) соответствуют координатные столбцы ложенил векторов: 7.е, +4.ез =а.(2 е,-г )+р (е, +2 е ).
Приводя подобные члены в пРавой части, имеем 7.е, +4.е =(2.а+5).е, +( — а+2 Р) ез. Так как обе части равенства зто разложения равных векторов по одному и тому же базису, то можно приравюпь соответствующие координаты. Получим систему уравнений < 7=а.2+р 1, 4=а.(-1)+р 2. Решал систему, находим а=2, р=3, т.е. и' =2 а+З.Ь вЂ” искомое разло- жение. б) Требуется представить вектор о в виде линейной комбинации векторов а и с: Й=а а+р.с. Запишем зто равенство в матричной форме и' = а. а + р. с, заменив векторы их координатными столбцами: которое равносильно системе уравнений с 7=2 а-4 р, 4=-а+2 р. Эта система не имеет решения (прибавив к первому уравнению удвоенное второе, получим неверное равенство 15=0).
Следовательно, вектор о нельзя разложить по векторам а и с (замстим, что векторы а и с коллиневрны ( с = -2. а ), а вектор о не коллинеарен им). ° 1З,б. Оргогональнзяй и ертонормнрованный базисы Два вектора называютсл оршогаиальнммн (иериелднвуллриььии), еси ли угол между ними прямой (величина ~р угла равна -). 2 Система векторов называется орлзогоиальиой, если все векторы, образующие ее, попарно ортогональны. Система векторов называется орлзоиор. мираениней, если она ортогональная и длина каждого вектора равна единице. стандлттньш влзисы нл пгямой, нл плосноствц в пгосттанствк Базисы на прямой, на плоскости и в пространстве определяются не однозначно.
Некоторые из них, наиболее удобные в приложениях, принимаются в качестве стандартных. 50 Стапдвуепный базис на прямой — зто единичный вектор г на данной прямой (рис.1.34,а). Согласно теореме 1.3, любой вектор а, коллинеарный данной прямой, может быть разложен по стандартному базису на прямой (в =1), т.е. представлен в виде а = х (. Стандартный базис на нвоскости — зто упорядоченная пара единичных и перпендикулярных векторов ~, 1 на данной плоскости (рис.1.34,б).
Согласно теореме 1.4, любой вектор а, принадлежэщий данной плоскости, может быть разложен по стандартному базису на плоскости ( в, = ~, е =,1 ), т.е, представлен ввиде а =х ~+у 1. Стандартный базис в пространстве — зто упорядоченная тройка единичных и попарно перпендикулярных векторов ~',1, к (рис.1.34,в). Первый базисный вектор ~ на рис.1.34,в направлен перпендикулярно плоскости рисунка (на читателя). Согласно теореме 1.5, любой вектор а в пространстве может быль разложен по стандартному базису в пространстве (в, =(,вз =1,вз =к ), те. представлен в виде а =х! + у 1+г.к.
1 а=х) у 1 гвс.1.34 Замечании 18. 1. Стандартные базисы на плоскости и в пространстве ортонормироаанные, поэтому во всех приведенных разложениях вектор а предславле- ется в виде суммы своих ортогонаеьных провкиий на соответствующие прямыв иьи оси, задаваемые базисными ввюнорами (см. теорему 1.2 в Разя.1.2.3), т.е. ~~ =пР, а =нР а =х ~; аз =пР1 а =пР а=У.3; а =пР~ а =пРРа =х Г. 5! 2.
Вектор а в пространстве является замыкающей ломаной (см. правило сложения векторов в равд.1.1.2), образованной его проекциями (рис.1.34,е): а =х 1+у 3+2 й =ар(а+яр-а+ар-а. 3. Вектор а в пространстве является суммой своих ортогональных составляющих относительно плоскостей и-.-., н.-, и-- (рис.1.34,е): 1)' гР' )Р а =х ~+у 5ч+х е =а +а „+а ~ед ~еп ен 4. Стандартные базисы иа плоскости и в пространстве явлюотся правыми. 5. Координаты вектора а в стандартном базисе равны алгебраическим значениям длин его ортогональных нроекций на координатные оси (рис.1.34,е): х=лр-а; у=яр-а; г=лр-а. 2 ' е б. В ортонорми)юввнном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат: ~п=Р Р( ): ~п=Р7 е( р» ) (1.5) В стандартных базисах на плоскости и в пространстве направление ненулевого вектора а удобно характеризовать углами, которые он образует с базисными векторами: а — угол между вектором а и первым базисным вектором 1.
~3 — со вторым базисным вектором 1 (рис.1.34,6), Т вЂ” с третьим базисным вектором х (рис.1.34,е). При этом достаточно знать косинусы этих углов, которые называются лалраааяюл(ими косинусами велиара а (в стандартном базисе). На плоскости вектор а можно представить в виде суммы ортогональных проекций (см. п.1 теоремы 1.2): а = ар;а+ ар-.а . Тогда, учитывая п.1 замечаний 1.4(прие =1', <р=а и при е = хч. <р=р), получаем а = ир(а + лр-а = ~ а ~ сов а ь + ~ а ~ сов 1). 2ч.
Разделив это равенство на длину вектора а, в левой части получим единичный вектор е, одинаково направленный с вектором а (см. равд.1.1.2): е = — =сова.~+совР.5. !й Таким образом, координаты единичного вектора е, одинаково направленного с вектором а, равны направляющим косинусам вектора а: 52 (1.б) Пример 1Д2. Прямоугольный параллелепипед АВСРА,В,С,Р, по- В( 1 строен на векторах АВ =4а, АР=5 ), АА, =4 К (см. рис.1.35). Г- Точка Р— центр грани АВВ,А,, точка Р Д делит ребро А,Р, в отношении ~.Ь- -- — — В А,Д:ДР, =4:1.
Найти координаты, й длину и направляющие косинусы век- 1 тора РД,. С) Запишем правило треугольника сложения векторов: АД = АР+ РР . Подставляя в зто равенство разложе- ния векторов АР хз'АЦ =аз"(АВВ+АА1 ) 3'(4'(+4'1) 2'(+2'1 Рис.1.35 вв, х=соза, у=совр.
разумеется, что величины направляющих косинусов связаны условием (см. и 3 теоремы 12): сова а+савв р =1. В пространстве получаем аналогичные равенства а =ар)а+ир)а+арра =~а 1) сова-(+()а~ сов5.3+~а ~ сову е; а е = — =сова )+совр (+сову к, 1й т.е. координаты единичного вектора е, одинаково направленного с вектором а, равны направвпощим косинусам вектора а: х=сова, у=совр, в=сову.
При зтом сов а+сов р+соз~у=1 (см. п.3 теоремы 1.2). АД=5 ° АР+АА( =5 5 5+4 8 =4 1+4 й; лр, получаем 4 3+4 к=2 (+2 Х+Ря. Отсюда Рд=-2.(+4 )+2 х, т.е. аР координаты вектора РР: х =-2; у =4, х = 2. Согласно п.б замечаний 1.8, у щ (~0~=~(-~~'+4'~~'-2(6.~ р ~0 на его длину, находим единичный вектор: 53 РД -2 -, 4 -, 2 — -1- 2 - 1 ГТ = — г+ — к )+ — Ь = —.~+ —.1+-к Ь .
Р(7 г,/Ь Ь/Ь ЫЬ Я Я /б Согласно (1.6), его координатами служат направляющие косинусы: сова= — -4', совр=-4; сову=-4 . ° и' еб 4б 1А. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 1.4.1. Определение скалярного произведении (1.7) Скалярнмм н)вензееденнем двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Ясли хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними ие определен, а скалярное произведение считается равным нулю. Скаларное произведениевекторов а и Ь обозначается (а,Ь)=~аЦЬ! сов(р, где у — величина угла между векторами а и Ь (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
