Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Нулевой вектор, например СС, обозначается символом о и изображается одной точкой (точка С на рис.1.1,а). Вектор, длина которого равна единице или принята за свини!!у, называется едииичиым веюиарам. А АВ В Рви!л Ненулевой вектор АВ кроме направленного отрезка определяет также сод~риски(ие агалуч АВ (с началом в точке А ) н ирлмую АВ (рис.1.1,б). коллинклвнык вкктовы Два ненулевых вектора называются коллииаариыми, если оии принадлежат либо одной прямой, либо — двум параллельным прямым, в противном случае они называются иакаллииеариыми. Коллинеарность векторов обозначается знаком !!.
Поскольку направление нулевого вектора не определе- !5 но, он считается коллинеарным любому вектору. Каждый вектор коллинеарен самому себе. а ТТЬ а Т4Ь 6 Рв Ьа Два ненулевых коллвнеарных вектора называются одинаково иаиравлеииыми (сонанравленньгми), если они принадлежат параллельным прямым и их концы лежат в одной полуплоскостн от прямой, проходзкцей через их начала (рис.1.2,а); либо, если векторы принадлежат одной прямой, н луч, определяемый одним вектором, целиком принадлежит лучу, определяемому другим вектором (рис.1.2,б). В противном случае коллинеариые векторы называются иротивоиоложно иаиравлеиимми (рис.1.2,в,г), Одинаково направленные и противоположно направленные векторы обозначаются парами стрелок ТТ и М соответственно. Понятия коллинсарных, одинаково направленных векторов распространяются на любое число векторов.
КОМНЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ Три ненулевых вектора называются комиланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях (рис.1.3,а), в противном случае они называются иекомилаиаримми (рис.1.3,б). Так как направление нулевого вектора не определено, он считается компланарным с любыми двумя векторами. Понятие компланарных векторов распространяется на любое число векторов. Рва!3 ю РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ Два вектора называются равиымл, если они: а) коллинеарны, одинаково направлены; б) имеют равные длины. Все нулевые векторы считаются равными друг другу.
Это определение равенства векторов характеризует так называемые свободные векторы. Данный свободный вектор можно переносить, не меняя его направления и длины, в любую точку пространства (откладывать от любой точки), при этом будем получать векторы, равные данному. Таким образом, свободный вектор определяет целый класс равных ему векторов, отличающихся только точкой приложения. Далее будут рассматриваться, как правило, свободные векторы, при этом слово "свободные" будет опускаться.
Замечании 1.1. 1. Определение равенства векторов можно сформулировать, не используя понятия длины вектора 12,31. Два вектора АВ и СР, не лежащие на одной прямой, называются раальши, если четырехугольник АВРС являетса параллелограммом (рис.1.4д). Векторы АВ и СР, принадлежащие одной прямой, считаются рааными, если существует равный им вектор Ер, не принадлежащий этой прямой (рис.1.4,б). Это определение эквивалентно следующему: два вектора АВ и СР назывшотся равными, если середины отрезков АР и ВС совпадают(рис.1.4,в). ъ % \ 1 \ < 1 % Ъ Ъ Ъ В С Р В А А В в б Рас.1.4 3.
Отношение равенства векторов является отношением эквивалентности (см. разд.ВЗ). В самом деле, для отношения равенства = (а =Ь вЂ” "вектор а равен вектору Ь "), определенного на множестве упорядоченных пар с а, Ь > векторов, выполняются следующие условия: а) кюкдый вектор равен самому себе (рефлексивность); б) если вектор а равен вектору Ь, то вектор Ь равен вектору а (симметри шость); в) если вектор а равен вектору Ь и вектор Ь равен вектору с, то вектор а равен вектору с (транзитнвность).
2 — 5550 17 Это означает, что множество векторов разбивается на непересекающиеся классы (см. разд.В.З), т.е. с каждым вектором связывается целый класс равных ему векторов, отличающихся только точками приложения. Поэтому говорят (37), что свободный вектор определяет класс равных ему векторов.
3. Для любой точки А и любого вектора а существует единственное точка В, для которой АВ= а . В самом деле, если вектор а ненулевой, то через точку А проходит единственная прямая, параллельная вектору а (рис.1.5,а), либо его содержащая (рис.1.5,6). На этой прямой существуют две точки, удаленные от точки А на расстояние ~ а ~ > О. Из этих двух точек выберем такую точку В, для которой векторы АВ и а оказываются одинаково направленными. По построению получаем АВ = а .
Если вектор а нулевой, то искомая точка В совпадает с данной точкой А . АВ А АВ В рнслз. Таким образом, любой вектор а ставит в соответствие каждой точке А единственную точку В такую, что АВ = а . Это соответствие называют параллельньип переносом. Поэтому свободный вектор можно отождествить с параллельным переносом [2,3]. 4.
Построение, рассмотренное в п.З, называется откладыаанием вектора а от точки А или приложением вектора а кточке А. Используя это построение, можно дать эквивалентные определения коллинеарности и компланарности. Два ненулевых вектора называются коллннеарными, если после приложения их к одной точке они лежат на одной прямой. Три ненулевых вектора называются компланарными, если после приложения нх к одной точке они лежат в одной плоскости. 5.
Кроме свободных вехтороа в приложениях векторной алгебры использукпся скользящие векторы, связанные (приложенные) векторы и др. (8), которые отличаются от свободных векторов определением равенства. Например, скользящие векторы называются равными, если оии лежат на одной прямой, одинаково направлены и имеют равные длины. Другими словами, в отличие от свободного вектора, скользящий вектор можно переносить, не меняя направления и длины, только вдоль содержащей этот вектор прямой. Например, в механике сила, действующая на абсолютно твердое тело, !8 А ЬГ В Рис я д 1.1.2. Линейные операции над векторамн сдожкник вккттпчэн Пусть даны два вектора АВ и СР.
Приложим вектор СР к точке В (концу вектора АВ) и получим вектор ВР, =СО (рис.1.7а; здесь и далее равные векторы отмечены одинаковыми засечками). Вектор АР, называется суммой векторов АВ и СР и обозначается АР, = АВ+СР. Это нахождение суммы называется правилом трвуюльника. Суммудвухнеколлинеарныхвекторов а и Ь можно найти понравилу нараллелограмма.
Для этого откладываем от любой точки О векторы ОА = а и ОВ =Ь, а затем строим параллелограмм ОАСВ (рис.1.7,6). Диагональ ОС параллелограмма определяет сумму: ОС = ОА+ ОВ = а + Ь . Для нахождения суммы нескольких векторов можно построить ломаную из равных им векторов. Тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора ломаной с концом последнего ее вектора, равен сумме всех векторов ломаной. На рис.1.7,в изображена сумма в чепврех векторов а, Ь, с, а' .
Таким способом (нравило ломаной) можно слолопь любое конечное число векторов. Заметим, что сумма векторов не зависит от точек приложения слагаемых и от порядка суммирования. Например, "выстраивая 19 изображается скользящим вектором (см. равд.1.6.3), а угловая скорость— свободным вектором 16]. Сила, действующая на деформируемое тело, явля- ся примером так называемого приложенного вектора. Изменение точки приложения силы приведет к изменению ее воздействия на тело.
Пример 1.1. Дан треугольник АВС С (рис.1.6), точки Е, М, Ь( — середины его сторон. Для векторов, изображенных на рис.1.6, указать коллинеарные, одинаково направленные, противоположно направлен- М 7. ные, равные. П По теореме о средней линии треугольника заключаем, что М7.1 АВ, уФ1АС.
Поэтому векторы АМ, МС, ой. — коллинеарные (так как лежат на одной или параллельных прямых), одинаково направленные и имеют равные длины. Следовательно, это равные векторы: АМ = МС = М.. Аналогично, А77 =М1., АЬ(М Вдг, ВИТЬ М7., С(."гь В1.. ° цепочку" векторов для суммы в виде Ь+с(+с+а, получим вектор, равный вектору с =а+Ь+с+ст. Если ломаная получилась замкнугой, то сумма равна нулевому вектору.
е =а+Ь+с+Й АР1 =АВ+СР ОС = ОА + ОВ = а + Ь О Рнс,!Л вычитании ввктогов Вектор (-а ) называется проюиеонсложным вектору а, если их сумма равна нулевому вектору: а+( — а)= о . Противоположный вектор (-а ) имеет длину ~а ~, коллинеарен и противоположно направлен вектору а (рис.1.8,а„б). Нулевой вектор является противоположным самому себе.
Рас.1.8 Разностью векторов а и Ь называется сумма вектора а с вектором (- . — Ь ), противоположным вектору Ь: а — Ь =а+( — Ь). Для нахождения разности векторов а и Ь приложим к произвольной точке О векторы ОА = а, ОВ = Ь, а также вектор ОВ, = — ОВ = -Ь, противоположный вектору Ь (рис.1.9,а). Искомую разность находим по правилу параллелограмма: ОС = ОА+ ОВ, = ОА -ОВ = а -Ь . Для нахождения разности пропГе использовать правило треугольника (рнс.1.9,б).
Для этого прикладываем к произвольной точке 0 векторы ОА = а, ОВ = Ь . Вектор ВА при этом равен искомой разности ВА = ОА — ОВ = а — Ь . 1 вектором а . Действительно, длина вектора е = — а равна единице: !.! !е!= — !а!=1. ! ! Вектор е коллинеарен и одинаково направлен с вектором а, так как 1 Л= — >О; !.! д) при умножении единичного вектора на число Л получаем колпинеарный ему вектор, длина которого равна ! Л ! .
1 — а 2 ° — в 1 — а 2 е — ее Р сЛЛО На рис.1. 10 изображены векторы, получающиеся в результате умножения данного вектора а на Л=х2 и Л=х-', а также проппюположный век- 2' тор — а =1-1).а. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОНЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами. Для любых векторов а, Ь, с и любых действительных чисел а, р справедливы равенства: 1.а+Ь=Ь+а; 2. (а+Ь)+с =а+(Ь+с); а) при умножении на единицу ( Л = 1 ) вектор не изменяется: 1 а = а; б) при умножении вектора на -1 получается противоположный вектор: (-1) а = — а; в) деление вектора на отличное от нуля число р сводится к его умно- 1 а 1 жению на число Л = —, обратное р: — = —. а; )ь )л )л г) при делении ненулевого вектора а на его длину, т.е. при умножении 1 а на число —, получаем единичный вектор, одинаково направленный с ! !' 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
