Аналитическая геометрия в примерах и задачах_Бортаковский, Пантелеев_2005 -496с (946871), страница 3
Текст из файла (страница 3)
3. В школьном курсе геометрии изучаются метрические и аффинные свойства фигур. К метрическим относятся такие свойства, которые не изменяются при ортогональных преобразованиях — преобразованиях, сохраняющих расстояния между точками, например, признаки равенства треугольников, теорема Пифагора, метрическое свойство параллелограмма, теоремы синусов и косинусов и др.
К аффинным относятся свойства, которые сохраняются при преобразовании подобия (которое является частным случаем аффинного преобразования (см. равд.2.2.4)), например, признаки подобия треугольников, свойство биссектрисы треугольника, теорема Фалеса и др. В.З. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Рассмотрим важные логические понятия, связанные с отношениями, которые, в частности, используются в любой аксиоматике геометрии. Предполагается, что множества и операции над ними знакомы читателю нз школьного курса математики. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ Упорядоченной ларой (х,у) называется совокупность, состоящая из двух элементов х и у, взятых в определенном порядке: элемент х считается в паре первым, а элемент у — вторым. Две упорядоченные пары (х,, у,) и (хз, у ) называются раенммн тогда и только тогда, когда х, =ха и у1 =уз.
Прямым (денлршовым) лронзееденнем множеств Х и У называется множество всех упорядоченных пар (х, у) таких, что хи Х и уп у . Пря- 11 мое произведение обозначается Х х У, а в случае У = Х вЂ” просто Х, т.е. 2 ХхХ=Х Аналогично определяются упорядоченные тройки, четверки и т.д., а также прямые произведения трех, четырех и т.д. множеств. Например, иряд Я Я., Я=Я" ЯдИ чисел называется множество всех упорядоченных наборов (х,„х,...,х„) нз н действительных чисел х,, хз,..., х„.
Пример В1. Для числовых множеств Х = (1, 2 ) и У = (34 ) найти: Хху; УхХ; Х, Уз. С) По определению находим: Х хУ = ((1 3), (1,4), (2,3), (2,4) ); УхХ =((3,1),(3,2),(4,1),(4,2)); Х =ХхХ =((1,1),(1,2),(2,1),(2,2)1.„ Уз =Уху=((З З),(3 4),(4 3),(4 4)). Заметим,что ХхУЯЯ УхХ. ° БИНАГНЫЖ ОТНОШЕНИЯ.
ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Бннарныи отношением р на множесаяве Хху называется подмножество р этого множества упорядоченных пар (х,у), хн Х, ун У. Если пара (х,у) принадлежит отношению р, то пишут (х,у)н р или х р у. Если У = Х, то отношение р, т.е. подмножество множества Х, называют бинарным оиянотвниви на множестве Х . Бинарное отношение р на множестве Х называется: -рефлексивным, если хрх для любого хн Х; -симметричным, если для любых х,ун Х вз хру следует, *по урх; — траизтиивным, если для любых х,у,ан Х нз хру и ура следует, что хрг. Рефлекснвное, симметричное и транзятнвное отношение на множестве Х называется отношением эквивалентности на множество Х и обозначается символом - .
Пример В.2. Даны бинарные отношения: а) отношение = 1х яд у — "х равен у ") на множестве действительных чисел; б) отношение < 1 х < у — "х меньше у д) на множестве действительных чисел; в) отношение < (хьу — Ях не больше у") на множестве действительных чисел; гз г) отношение Б ( х Б у — "х брат у ") на множестве людей; д) отношение - (М -Ф вЂ” "многоугольник М подобен многоугольнику Ф ") на множестве правильных многоугольников; е) отношение т=л(пик(р) на множестве целых чисел: "число т сравнимо с числом л по модулю р ", т.е. остатки от деления чисел т и и на натуральное число р равны. Установить, являются ли заданные отношения рефлексивными, симметричными, транзвтивными, отношениями эквивалентности. П а) Так как х = х для любого действительного числа х, то отношение = рефлексивное.
Поскольку ю х= у следует, что у = х, то отношение симметричное. Так как из равенств х= у и у= я следует, что х = х, то отношение транзитивное. Таким образом, отношение равенства является отношением эквивалентности. б) Отношение "меньше" не является рефлексивным (неравенство х < х неверно) и симметричным (из х < у не следует у < х ), но является транзитввным (так как нз неравенств х< у и у < х следует х< г). Это отношение не является отношением эквивалентности.
в) Отношение "не больше" является рефлексивным (неравенспю х < х справедливо для любых действительных чисел) и траизнтнвным (из неравенств х< у и у<я следует х<х), но не является симмегричнъгм (например, нз 1< 2 не следует, что 2 <1). Это отношение не является отношением эквивалентности. г) Отношение "братства" не является рефлексивным (любой человек не является братом для самого себя), симметричным (угверждение, если х брат у (хБ у),то у брат х (уБх) неверно, поскольку у можетоказаться сестрой для х ), транзнтивным (например, если для трех людей х, у, х имеем х Б у и у Б х, то отсюда не следует, что х Б г, поскольку х может оказаться сестрой для х ).
Это отношение не является отношением эквивалентности. д) Каждый многоугольник подобен самому себе (М -М). Поэтому отношение подобия рефлексивное. Из подобия многоугольников М - лГ следует, что )У - М, значит отношение симметричное. Так как ю подобия многоугольников М - Ж н 11г' - К следует, что М - К, то опюшеиие транзитивное. Таким образом, отношение подобия многоугольников является отношением эквивалентности.
е) Сравнение т=и(пим1р) равносильно условию: разность т-п делится на р (без остатка). Так как число нуль (т-т = 0 ) делится без остатка на любое натуральное число р, то т =т(шобр), значит отношение 13 рефлексивное. Если т-и делится на р, то и л-т делится на р, следовательно, отношение симметричное. Наконец, если числа т-н и н-й делятся на число р, то и их сумма (т-и)+(н-к) = т-к делится на р, т е.
из т=н(пюдр) и л=х(пюдр) следует, что т=к(падр). Позтомуотношение транзнтнвное. Таким образом, отношение сравнения целых чисел по модулю р является отношением эквивалентности. ° РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Говорят, что множество Х разбито на классы, если оно представлено тем или иным способом в виде объединения своих попарно непересекающихся подмножеств.
Например, множество всех студентов вуза разбиваетсл на учебные группы (а множество учеников школы разбивается на классы). Любое разбиение множества Х на классы определяет на Х отношение: х- у — "х находится в том же классе, что и у ". Покажем, что зто отношение, обозначенное символом -, действительно является отношением эквивалентности. В самом деле, оно рефлексивное: х- х, симметричное: х» у ~ у-х (если х находится в том же классе, что и у, тон у находится в том же классе, что и х), транзитивное (из х - у и у - х следует, что все три элемента х, у, х принадлежат одному классу, тогда и х - х ).
Следовательно, рассматриваемое отношение является отношением эквивалентности. Справедливо и обратное утверждение. Любое отношение эквивалентности -, заданное на множестве Х, позволяет разбить зто множество на непустые классы. Классом эквнвалвнтностц порожденным элвмвнгавм х, называется подмножество К, множества Х, состоящее из тех элементов ун Х. для которых х - у . Любой класс К вЂ” непустое множество, так как, в силу рефлексивности х - х, он содержит по крайней мере один элемент х .
Таким образом, отношение эквивалентности на множестве Х определяет разбиение множества Х на непустые классы эквивалентности относительно этого отношения. Каждый класс эквивалентности однозначно определяется любым своим элементом. Совокупность классов эквивалентности называется 4актор-множеством множества Х . Например, отношение подобия (см. п."д" примера В.2) разбивает множество правилъных многоугольников на классы эквивалентности: множество правильных треугольников, множество квадратов и т.д. Отношение сравнения целых чисел по модулю р (см. п."е" примера В.2) разбивает множество целых чисел на р классов эквивалентности, поскольку при делении на р количество различных остатков (О, 1,..., р -1) равно р.
14 ГЛАЗА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 1А. ВЕКГОРЫ И ЛВНВЙНЫВ ОПЕРАЦИИ НАД ВВКГОРАМИ 1.1.1. Вектор, его направление н длина Векторам называется упорядоченная пара точек. Первая точка называется началам вектора, вторая — концом аеюиара. расстояние между началом и концом вектора называется его !)пилой. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым, его длина равна нулю. Если длина вектора положительна, то его называют ненулевым. Ненулевой вектор можно определить тавже как каираалеиимй отрезок, т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек считается первой (началом вектора), а другая — второй (концом вектора).
Направление нулевого вектора, естественно, не определено. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается АВ и изображается стрелкой, обращенной острием к концу вектора (рис.1.1,а). Начало вектора называют также его тачкой ирилаисаиил. Говорят, что вектор АВ ириаожаи к тачка А. Длина вектора АВ или а равна длине отрезка АВ или а и обозначается ~ АВ ~ или ~ а ~. Имея в виду это обозначение, длину вектора называют также модулем, абсолютной величиной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
