Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 41
Текст из файла (страница 41)
47. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную окружностями 'уг = (» Е С: (» — 1( = Ц, 'уг = (» Е С: (» — 2~ = 2) с разрезами вдоль отрезков 7г=(»ЕС:2<Ке»<а, 1пг»=О) и 7» —— (»ЕС:Ь<Ке»<4, 1пг»=0) (а<Ь). 48. Отобразить на верхнюю полуплоскость область, ограниченную округкностями у, = (» Е С: ~» — Ц = Ц, уг — — (» Е С: 1» -Ь 1( = Ц с разрезом по отрезку 'уг = (» Е С: Ке» = О, -а < 1т» < )З) (а > О, гЗ > 0). Глава 4 Интегрирование в комплексной плоскости.
Интегралы Ньютона — Лейбница и Коши Главное внимание в этой главе уделяется интегральной теореме Коши, одной из основных теорем всей теории анатитических функций. С ее помощью устанавливаются глобатьные свойства аиатитических функций. Вместо неопределенного интеграла рассматривается интеграт Ньютона — Лейбница, облалаюший многями достоинствами, Операция интегрирования в смысле Ньютона — Лейбница является обратной по отношению к операции дифференцирования. 4 1.
Интеграл Ньютона — Лейбница 1.1. Первообразная. Определение 1. Пуст~ У: С С и множесн~во Рг не имеет изолировонных точек. Функция Р: С С называется пер вообразной функции у, если Рн = Рг и )зг В Рг с ( ) = у( ) Пусть с — первообразная функции у. Так как гг(г б РР С 6 С) (Р+С)'(г) = с'(г), то У+С также является первообразной функции У. Поэтому первообразная определена неоднозначно и специального обозначения не имеет. Исследуем характер неолнозначности первообразной.
Нам понадобятся понятие кусочно- гладкого пути (см. определение 6, и. 2.9, гл. 2) и неравенство Лагранжа (см. и. 4Л, гл. 2). Определение 2. Множество У С С называется линейно-связным, если дт любых точек г~ Е Я, гз Е Я существует кусочно-гладкий путь, соедиьтющий их и лежаьций в множестве о. Теорема 1.
Пусть У С ь С и Рг — линейно-связное множество, содерзкащее более чем одну точку. Если чг Е РГ У'(л) = О, то функция У постоянная. щ Пуси г, Е Рг, сз В Рг. По определению линейно-связного множества существует кусочно-гладкий путгч соединяющий точки хн лз и лежащий в множестве Рг.
Следовательно, найдется такая непрерывная функция [а, Ь[ - Рг, что )ь(а) = г,, ы(Ь) = г, и уз'(() существует всюду, кроме конечного множества точек. Занумеруем их в порядке возрастания Гь = а < 1, « ... Г„= Ь. Согласно неравенству Лагранжа, имеем [(Уь Р)(1„) — (У Р)((ь,)[<[[У' уг'[[(Гь-(ь,)=О (Ь=), .) Таким образом, (У о Зз)(вь) — У(л~) = (У ь уз)(1 ) У(сз), т Теорема 2. Пусть сг и лз — нервообразные функции У: С С, определенной на линейносвнзном множестве. содержащем более одной точки.
Тогда существуепз такая постоянная С Е С, что ьул Е РГ ез(л) = Р~(а)+С. Ь 150 Гл. 4. Интегрирование в комплексной плоскости. < Рассмшрим функцию Р = Ег - ры Так как тгх б Рт Е'(х) = Ет(х) — Е,'(х) = О, то„согласно теореме 1, функция Н постоянная. м Предлагаем читателю составить таблипу пераообразных основных элементарных функций. 1.2.
Интеграл Ньютона — Лейбница. Определение. Пусть 1: С ч С и Рг — линейно-связ«ое множество„содержащее более одной точки. Функции ( называется интегрируе ной в смысле Ньютона — Лейбници, если оно имеет первообразную. При этом Уа б Рт Функция Е в (1) называется иитегролои Ньютона — Лейбница с фиксированныи нижним пределом интегрирования а и переменныи верхним пределом. Ее значение Е(Ь) называется определенным ь интегралом Ньютона — Лейбница и обозначается 1 1'(() йЬ, где Ь" — переменная интегрирования, от выбора которой величина интеграла не зависит, т. е.
Запись ) 1(х) дх не имеет смысла, поскольку буква х используется лля обозначения верхнего предела интегрирования. Теорема 1 (формула Ньютона — Лейбница). Пусть ); С С, Рт — линейно-связное лгножество, содержащее более одной точки. Если функция ( интегрируемо в смысле Ньютона— ь Лейбница и Ф вЂ” ее первообразная, то ьх(а б Рт, Ь б Рт) интеграл ~,1'(Ь) дй существует, определен однозначно и справедлива формули Ньютона — Лейбница Т(~) йь = Ф(ь) — Ф(а) = ФЯ/ (2) щ Полагаем рх б Рт Е(х) = Ф(х) — Ф(о). Тогда Е(а) = 0 Лтгх б Рт Е'( ) = Ф (х) = У(х).
Согласно определению, имеем ь И) б( т Е(Ь) = Ф(Ь) — Ф(а). Убедимся в том, цо интеграл определен однозначно. Пусть ,((()бС = ф(Ь), ф(а) = Олух б Рт ф (х) = 1(х). По теореме 2, п.1,1, существует постоянная С: Ух б Рт ф(х) = Р(х) + С. Полагая х = а, получим, по С = О. Следовательно, ф(Ь) = Р(Ь), т. е. интеграл определен однозначно. щ Ф 1. Интеграл Ньютона — Лейбница 15! Теорема л.
Пусть у ) С -) С и Рг — линеино-связное мпозкество, состоящее белее чем из одной точки Если функция У интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница, то справедливы равенства: ь у(я) йг = — з~ у(х) йя ч(о б РР Ь б РГ), ь ь ь )'(я) йя = / г'(х) йл+ / г'(г) йз М(а б ВР Ь б ВР с б РГ), )(((О~() =П*) г(. яс ь ь,), < ь /')(О(() = -л ) ч(. я„ь,). (3) (4) (5) (6) Ы Пусть Ф вЂ” первообразиая функции /, Согласно формуле Ньютона — Лейбница (2), имеем у(я) йз = Ф(Ь) — Ф(а) = -(Ф(а) — Ф(Ь)) = — / У(л)йя, ь ь ь гг(г) йе = Ф(Ь) — Ф(а) = Ф(Ь) — Ф(с) + Ф(с) — Ф(о) = / у(г) йг+ / у(г) йг, с ) )(()(() =(Ф() — ь\))'=Ф()=((*), < ь ) у(() й( = (Ф(Ь) — Ф[я))' = -Ф'(г) = -У(з). М Равенство (3) называется правилом перестановки пределов интегрирования, равенство (4)— аддитивностью интеграла относительно пределов интегрирования, формулы (5) и (6) — правилами дифференцировиния интеграла по верхнему и нижнему переменным пределам интегрирования.
(Лг + рд)(л) бе = Л ~ г (я) йя + р / д(л) йя М(а б Я, Ь б Я). Н Пусть Р, Р— первообразиые функций У и д. Тогда чя б Я (ЛЕ+ рО) (я) = ЛРг(л) -ь рО (я) = ЛУ(я) + рд(я) 1.3. Линейность интеграла. Замена переменных и формула иатегрнрованиа по частим. Теорема 1 (о линейности интеграла). Пусть Я вЂ” линейно-связноемнозкество, содерясащее более одной точки. Если функции у ) С вЂ” ) С, д: С ч С, Рг — — Вя — — Я, интегрируемы в смысле Ньютона — Лейбница и Л б С, и б С, то функция Лг + рд токлсе интегрируемо и справедливо равенство Гл.
4. Интегрирование в комплексной плоскости. 152 Следовательно, функция Л у+ рд имеет первообразную и по определению интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница. Пусть Р( ) = ~ Я) д(, а( ) = ~ д(~) дф Тогда (ЛР+ р6) (а) = О, н по определению интеграла получим ь ь (ЛЗ+ рд)(з) дз = (ЛР+ р6) (Ь) = ЛР(Ь) + рС(Ь) = Л / З(з) де+ р ~ д(з) дз. М Теорема 2 (о замене переменной). Пусть У: С вЂ” С, Ьч: С С, а = )лг, — линеиносвязное мнозкество, содержаьцее более одной точки.
Если 4ункция чз ди4ференцируема в кождои точке з б Я, а функция 21 ьа~ интегРирУема В сммспе Ньютона — Лейбница, то функция ( ь о чз)р' также интегрируема и справедливо равенство ьчы ( (Ф )) р'(з) а = / ~(() АГ 'ч(а б Л, Ь б д Ь (2) М ПУсть Р— пеРвообРазнаа фУнкции ~!„дн а б а, Ь б Л и Р((с(а)) = О. Так как ьтс б Я имеем (Р р) (з) = Р М(з)) р ( ) = Г(ч ( )) р (в) = (<У о р)р ) ( ), то функция (Г о зз)зь' интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница, и по определению интеграла справедливо равенство ( ( р(а)) р'(.) дз = Р«р(ьН = / г(г) д(, и Теорема 3 (об интегрировании по частям).
Пусть У: С С, д: С С, Юг = Ря = Я, — линейно-связное множество, состояш,ее более чем из одной точки. Если 4ункции )' и д диф4еренцируельы в каждой точке множества Я и 4уцкция з" д интегрируема в сльысле Ньютонов Лейбница, то функция зд' также интегрируема и справедлива формула интегрирования по частям У(з)д'(з) дз = У(з)д(з)) —. / ('(з)д(з) дз 'ч(а б л, Ь 6 а). и Поскольку (уд) (з) = У (з)д(з) + 1(з)д (з) чз б Я, то (д' = ()д)' — у'д, По определению функция (Тд)' интегрируема в смысле Ньютона — Лейбница. Согласно свойству линейности интеграла, функция гд' также интегрируема по Ньютону — Лейбницу и ((з)д'(з) дл = З~ ((д)'(с) дз — / у'(з)д(з) дз = Г(Ь)д(Ь) — у(а)д(а) — / Т'(л)д(з) дз.
м Из определения первообразной следует, что она принадлежит классу аналитических функций. Напомним читателю, что символом А(П) обозначается класс функций, аналитических в области 6. Если функция у определена на линейно-связном множестве Я, то определение 1, и. 1,1, можно сформулировать следующим образом: функция Р Е А(Я) называется первообразной функции У на множестве Я, если ьУз б а Р (л) = У(з). б 2. Производные в интегралы Ньютона — Лейбница любых поралков 153 Вычислим а качестве примера интегралы 17(г) = З~((1-()" дб, 1, = /(г — 8)е-'йг, Полагая в 2, 1 — (' = в, получим: дб = -дв, 97 1 98 1 99 — в)в дв = — в — — в 1 98 99 27(г) = / (! 1 98 1 99 1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
