Anti-Demidovich (Boyarchuk A.K.). Tom 4. Funkcii kompleksnogo peremennogo (2001)(ru)(T)(365s) (940504), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Имеем »+ 24 м=й, 1 » а точку а* = -24 — в и = О. Тогда окружность Т~ е*е й= —, Вбйх. 3 ' 36 = !й) —, 12' 4» — 3 и.= е'е2 . ° . 4»-ь3 70. Эксцентрическое кольцо, ограниченное окружностями у, = (» 6 С: ~» — 3~ = 9), уз —— (» 6 С: ~» — 8~ =!6) отобразить на кольцо К' = (зе 6 С ~ р < !ге( < 1). Найти р, и Находим точки а и а", симметричные относительно у, и тз. (3 — а)(3 — а*) = 81, (8 — а)(8 — а*) = 256. Решив эту систему, получаем а = О, а* = -24. Дальше можно решать задачу лвумя способами.
1) Отображаем а = О ~-~ ге = О, а = — 24 ~-~ и = оо. Тогда окружность уз перейдет в окружность тз = (в Е С: !ге! = 1). Следовательно, » зе=й —. » ф 24 Поскольку точка» = 24 б уз отображается на окружность у'„то 1 = ~й~ф, ~й~ = 2, !с = 2е', В = Рх. Функция гл = зи(») принимает вид 123 бб. Тригонометрические н гиперболические функции Окончательно имеем в»124 24+24 2 ш=е", р= 3» ' 3 24 3 (точка « = 24 Е уз отображается на окружность радиуса р с центром ш = О). )ь Прн решении некоторых задач, связанных с применением дробно-линейных функций, целесообразно пользоваться так называемой нормальной формой дробно-линейного отображения с двумя неподвижными точками. Всякая дробно-линейная функция Ь .: -"=-хч, отяичная от тожлестаенного отображения и = «, *гг имеет не более двух неподввкных точек, т.е.
точек, которые при отображении Ь переходят саьти а себя. Действительно. уравнение -4Ь «=— с«4т) имеет корни .— *гт -с 'м »т,з 2с Они совпалают неллу собой, если (и — 4] + 4ьс = О, а в противном случае имеем две неподвюкные 2 точки. Если неподвюкной точкой будет со, то зто возможна лишь в сяучае, когда с = О, т.е.
когда Ь— целая линейная функция. Если жс обе неподвижные точки сливаются с бесконечна удаленной точкой, то с = О и 4 = а, что соответствует параллельному переносу. Пусть Ь вЂ” дробно-линейная функция с двумя различными неподвижными точками», н «з. Для удобства будем изображать - и ш = А(«) точками водной плоскости. Рассмотрим также вспомогательную плоскость, в которой будем изображать переменные с и (. Полагаем ю — «т « "«т с = — = 3(ш) С = — „= 3(»).
ит — »т -" — «г В случае «з = оо с = тл — »т = В(ти), ( = « — «т = Я(«) Из формул в = Я(ш), ти = Ь(»), » = 5 т(О получаем: и = (5 о б о Я )(О. Для дробно-линейной функции Всбсб ', устанавливающей зависимость между с н О неподвижными точками являются О и со, в силу чего зта зависимость имеет вид в = ОО где й — некоторая комплексная постоянная. Следовательно, данное линейное преобразование Ь можно задать в виле ш — «, » — »т — й ш — «т» — »г или, в случае »» = со, и — «т = й(» — »т).
Формулу (1) нюывают иормильлои формой дробно-линеиного отображения с двумя неподвижными точками. Поскольку я=в ш — »т» 2 (2) и — «т « — »т не зависит от «, то, полагал» = О, ш = и, получим: ь (3) й= - +йт-с' ° * Если» = оо, то й = -'„. Различают три случая: 1) й > О; 2) й = егя (й ф О); 3) й = тети (д ф О, т и 1).
В случае 1) отображение (1) называется гилерболическии, в случае 2) — элтиптитеским, в случае 3) — ликсодромическии. 71. 1) Отобразить внутренность угла 0 < агб» < тг а (О < а < 2) на верхнюю полуплоскость. 2) Отобразить угол — — < агй«< — на верхнюю полуплоскость так, чтобы ш(1 — т) = 2, 4 2 ш(з) = -1, ш(0) = О. т и 1) Очевидно, что ш = » 2) Отображение шт = («ет «) = «з ет 3 переводит внутренность угла на верхнюю полуплоскость. Рассмотрим условия нормировки, которые удобно записать в виде таблицы 126 Гл. 3. Элементарные функции в комплексной плоскости Отображение ю = ю(ю,) имеет две неподвижные точки: -1 и О. Применим формулу (1), полученную выше: ю+! ю,+! юс — = й, откуда ю = ю се с (1с — 1)юс+ й Осталось найти й.
Воспользуемся тем, что ю, = ъг4 к ю = 2. Имеем 2+ 1 ъУ4+ 1 3~/4 Зъ 4 — 2 — =й 4, т.е. й=,, 14-1= 2 ч'4 2(ъ'4 + 1) 2(ъ'4 + 1) Подставив ю, = сзе'з в формулу для ю, получим: 2(ъ 4+ 1)е з х 3 ю= к 4 (ъс(4 4— 2)е' з зу + ЗъГ4 72. Найти функцию ю, отображающую полукруг К = (з Е С: ф < 1 л йпз > О) на верхнюю полуплоскость прн условиях: 1) ю( — 1) =О, ю(0) = 1, ю(1) = со; 2) ю(л1) = И1, ю(0) = со; 3) ю (2) = с, агам (1) < Из свойств функции Жуковского следует, что функция юс — — --' (х + -') отображает полукруг К на верхнюю полуплоскость. В каждом случае будем находить требуемое отображение ю по условиям нормировки.
1) Запишем условия нормировки в виде таблицы Ясно, что функция ю = ю(з) имеет вид 2) Условия нормировки имеют вил Отобрюкение си = ю(ю,) имеет две неподвижные точки: ю, = 1 и ю, = сс. Как показано выше, в этом случае ю = 1+ й(юс — 1). Коэффициент й находим из условия -1 = 1+ й( — 1 — 1), откуда й = 1. Окончательно имеем ю=1 — 1+ — х+- =- — х+- 3) Поскольку х — -1 ю, — -с ю = с, то, согласно решению задачи 60, с.щ--',1 Л (Зз() С+ 4 б б. Тригонометрические в гиперболические функции !27 Дифференцируя ю как сложнукз функцию, получим: ~ (1) б (- ) 4 (1) з(и йи~ з(х з(ш зйи зйиз з(и йи! а'з откуда з(ю (Гз), з зг зг ага = агбш (з) — агдш, (!) = — — я х = —.
2 2 2 Таким образом з ш — з звз — зз' 3 ° з ш-~-з шз+ -'з 73. Найти функцию ю(з), отображающую полукруг К = (з Е С; 1з ~ < 1 л (т з > О) на круг К = (ю Е С: ~ш~ < 1) при условиях: 2) зи (-') = О, агбю (-',) =' —. 1) ю(ж1) = ж1, ю(О) = -з; Искомая функция ю имеет стандартный вил: ,в юз зз ю=е* —, ВЕН. ю,— а Из условий нормировки получаем: 1-з а;в 1 — а !=е* —, — 1=е —, — з=е'. 1аа 1 — а Постоянную а находим из системы уравнений , 1+а 1 = -з —, 1+а 1 — а — 1=-з —, 1 — а с 1+ а = -з(!+ а) 1 — а = з(1 — а). Ее решения: а = з, а = — з. Искомая функция ю имеет вид — з (и + †,' ) — з з + †' + 2з а' + 2зх + 1 и' + 2зх + ! — 3 — — '(и+ 2)+з -и — з +2! -хз+2зи — 1 зиз+2и+з 3( .) 2) Поскольку и = -', з-з ю, = 1з з-з ю = О, то ю '"' гз зв 4шз — Зз' ш = е* — = е юз+ зз 4юз+ Зз Дифференцируя функцию ш по переменной ю„получим: з(ю 24(ез Йи (з() 24зе 2, зв = — = -- зе', з(шз (4юз + Зз)з ', з(ю, — Зб 3 бш (зз) агб = --+д з(шз 2 М Сначала отобразим полукруг К посредством функции юз — — -- (и+ — „) на верхнюю по! l Зз лупвоскость плоскости юз, а затем построим отображение верхней полуйлоскости на единичный круг при выполнении условий нормировки.
1) Составим таблицу нормировки. Она имеет вид Гл. 3. Элемеитарвме функции в комплексной плоскости С другой стороны, как показано в предыдущей задаче, а)в (-а) агй ' = агав' (-',) — агав', (г) . а)в ~ Подставив а это равенство а)в (-',а) л, аг агй ' = --+д, агав (з) = —, агав (з) = жя, и выбирая агав', (-',) = -я !так как -я < агав' (-,') — агав', (з) < я), имеем — - + д = - -, аз = О. 2 2' Таким образом 4в) — 3а — 2 (х+ -„') — За 2зт+ 3ах+ 2 ае = . Ь 4в, +За -2(х+ 2) +3а 2з' — 3аз+ 2 74. Найти функцию в(з), отображающую область О = (х б С: !з! > 1 л !гпз > О) на верхнюю полуплоскость.
м Такое отобрюкение осуществляет функция Жуковского в = -,' (х+ -'). Можно также воспользоваться дробно-линейной функцией, отображающей область С на первый квадрант, а затем возвести в квадрат полученное. Полагаем в, = — *,', Тогда х = 1 в, = О, з = — 1 ° в = со. При з = а получаем в,(х) = Я = ', ' = й Убедились в том, что функция в, -а -и' отображает 6 на первый квадрант. Следовательно, в=ада = Ь 75.
Отобразить на верхнюю подуплоскость: 1) сектор 5=(х ЕС:!з!< В,О< агах <яо) (0<а < 2); 2) область Р = (з Е С: !з! > А, 0 < ага з < яа) !О < а ~< 2). й я 1) Функция в, = хы отображает, очевидно, сектор 5 на верхний полукруг радиуса Я с центром в точке в, = О. Рассмотрим функцию в +)!ы 1 яы Тогда в, = — йнау а ва = О, в, = ВЫ" а ва = со, ва (Вы а) = -'(1+ а)' = 1.
Следовательно, функция в, отображает указанный полукруг на первый квадрант плоскости в,. Поэтому искомое отображение имеет вид а х +)! в — ва — Ы )г ) в в в т т ~ ~ ! а ~ ! о ~ ~ 1 2) Функция в, = *, „", „отобрюкает область Р на область Р' = (в, б С: !в,~ > Вм" л )ш в, > 0).
Согласно решению задачи 74, имеем в= в Г ~ ~ ~ ~ 2 2 зм" +Ваг / . Ь 76. Отобразить на верхнюю полуплоскость следующие круговые луночки (двуугольники); 1) Р, = (х б С: )х! < 1) О (х б С: !х — а! < 1]; 2) Рт — — (х Е С; !х! < 1) Га (з б С: !х — а! > 1); 3) Рз = (а Е С: !х! > 1) Га (л Е С: )з — а! < 1); 4) Р„= (х б С: (х! > 1) Га (х Е С: )х — а! > 1); 5) Р, = (а б С: !х! > 2) га (з Е С: )х — а/2) < аг2). 129 бб. Трвпшометрические и гиперболические функции М 1) Находим граничные угловые точки, являющиеся точками пересечения окружностей, заданных уравнениями 16( = ! и 16-6( = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
